Тема 08. Поверхні обертання.Циліндричні та конічні поверхні. Канонічні рівняння поверхонь другого порядку (сфера, еліпсоїд, гіперболоїди, еліптичний і гіперболічний параболоїди).

Питання теми

Поверхні обертання.

Циліндричні поверхні.

Конічні поверхні.

Еліпсоїд.

Однопорожнинний і двопорожнинний гіперболоїди.

Еліптичний та гіперболічний параболоїди.

3.7. Поверхні другого порядку

 Розглянемо алгебраїчні поверхні другого порядку. Загальне рівняння такої поверхні має вигляд:

 (3.44)

Опишемо важливі поверхні другого порядку. Скласти собі загальне представлення про більшість поверхонь другого порядку можна, розглянувши поверхні обертання ліній другого порядку навколо їх осей симетрії.

3.7.1. Поверхні обертання

Поверхня , утворена від обертання деякої плоскої лінії , що лежить в площині  яка проходить через пряму , навколо цієї прямої, називається поверхнею обертання. Пряма називається віссю обертання. Кожна точка лінії при цьому опише коло (рис.3.25).

Виберемо прямокутну (не обов’язково прямокутну) декартову систему координат  причому вісь направимо вздовж а вісь помістимо в площині Нехай лінія від обертання якої одержана поверхня, має в цій системі координат рівняння  

Розглянемо точку Через неї проходить коло, яке має центр на осі  і лежить в площині, що

 перпендикулярна цій осі. Рис.3.25

Радіус кола дорівнює віддалі від до осі, тобто  Точка лежить на поверхні обертання тоді і тільки тоді, коли на даному колі буде точка  що належить

лінії

 Точка  лежить в площині , тому  Крім того,  і  оскільки точка  лежить на колі, що проходить через  Координати точки задовольняють рівнянню лінії Підставляючи в це рівняння і , ми отримаємо необхідну і достатню умову того, що точка лежить на поверхні

  (3.45)

Рівняння (3.45) є рівнянням поверхні обертання лінії навколо осі

3.7.2. Конічні поверхні

 Розглянемо на площині пару прямих, що перетинаються і які мають в системі координат  рівняння  Поверхня обертання цієї лінії навколо осі згідно формули (3.49) має рівняння

і носить назву прямого кругового конуса (рис.3.26).

Стиск (або розтяг ) по осі  переводить прямий круговий конус в поверхню з рівнянням

  (3.46)

яка називається конусом другого порядку. Конус складається із прямих, що проходять через початок координат. Переріз конуса

 Рис.3.26 площинами , що перпендикулярні осі представляють собою еліпси

 

3.7.3. Еліпсоїд

 Розглянемо поверхню, утворену від обертання еліпса  навколо осі Така поверхня називається еліпсоїдом обертання, рівняння якої  . Якщо кожну точку на

еліпсоїді обертання зсунемо до площини то всі точки еліпсоїда переходять в точки поверхні, що називається еліпсоїдом (рис.3.27). Рівняння еліпсоїда має вигляд Рис.3.27

 (3.47)

Еліпсоїд представляє собою замкнуту поверхню з центром симетрії в початку координат. Еліпсоїд отримується із еліпсоїда обертання стиском так само, як і еліпс отримується стиском кола. Очевидно, коли всі півосі рівні, із (3.47) ми одержимо рівняння сфери

3.7.4. Однопорожнинний і двопорожнинний гіперболоїди

 При обертанні гіперболи  навколо осі (яка її не перетинає) одержимо поверхню, яка називається однопорожнинним гіперболоїдом обертання

 В результаті стиску цієї поверхні по осі  ми отримаємо поверхню, що називається однопорожнинним гіперболоїдом (рис.3.28). рівняння цієї поверхні має вигляд

 

  (3.48)

 Через кожну точку однопорожнинного гіперболоїда (3.48) проходять дві прямі (прямолінійні твірні)

 Дійсно, перемноживши два рівняння і скоротивши на , отримаємо  тобто рівняння однопорожнинного гіперболоїда (3.52). А це значить, що всі точки прямих ліній при

всеможливих значеннях  і  лежать на однопорожнинному гіперболоїді.

 Такі ж міркування можна провести і для сімейства прямих

 Поверхня, що складається із прямих ліній, називається лінійчатою поверхнею. Отже, однопорожнинний гіперболоїд – приклад лінійчатої поверхні.

 

 Рис. 3.28 Рис.3.29

 Якщо обертати гіперболу  навколо осі  (осі, яка її перетинає), то отримаємо поверхню, що називається двопорожнинним гіперболоїдом обертання. Рівняння цієї поверхні

 В результаті стиску цієї поверхні одержимо поверхню з рівнянням

  (3.49)

Поверхня, яка в деякій прямокутній декартовій системі координат має рівняння вигляду (3.49), називається двопорожнинним гіперболоїдом (рис.3.29). Двом віткам гіперболи відповідають дві не зв’язані між собою частини поверхні.

3.7.5. Еліптичний та гіперболічний параболоїди

 При обертанні параболи навколо її осі симетрії отримаємо поверхню, що називається параболоїдом обертання. Її рівняння

або

 Стискаючи її до площини параболоїд обертання переходить в поверхню з рівнянням

  (3.50)

 Поверхня, яка в деякій прямокутній декартовій системі координат має рівняння (3.50), називається еліптичним параболоїдом (рис.3.30). Відмітимо, що перерізи еліптичного параболоїда площинами, що перпендикулярні осі представляють собою еліпси, а площинами, що паралельні площинам  та параболи.

 Поверхня, що має в деякій прямокутній декартовій системі координат рівняння

  (3.51)

називається гіперболічним параболоїдом (рис.3.31). Її ще називають сідлом.

 Гіперболічний параболоїд будується таким чином: задаються дві параболи і одна з них переміщується так, щоби її вершина ковзала по другій, причому обидві осі парабол паралельні, параболи знаходяться у взаємно перпендикулярних площинах і їх вітки направлені в протилежні сторони. При такому переміщенні рухома парабола описує гіперболічний параболоїд.

 Рис.3.30 Рис.3.31

 Переріз гіперболічного параболоїда площиною, що перпендикулярна осі представляє гіперболу  При цьому, якщо дійсна вісь гіперболи паралельна осі а при  дійсна вісь гіперболи паралельна осі  При  гіпербола вироджується в пару прямих, що перетинаються.

 Гіперболічний параболоїд теж є лінійчатою поверхнею. Як і однопорожнинний гіперболоїд, він має два сімейства прямолінійних твірних, рівняння яких можна записати у вигляді

 1)  

 2)

 Виводяться ці рівняння аналогічно, як це було зроблено для одно порожнинного гіперболоїда.