Тема 56. Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці. Поняття про різницеві методи. Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса.

Питання теми

Лінійна однорідна система диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами

Лінійна неоднорідна система диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами

Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці

Модель природного випуску продукції

Ріст випуску продукції в умовах конкуренції

Динамічна модель Кейнса

Неокласична модель росту

Поняття про різницеві методи. Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса

 

12.11. Лінійна однорідна система диференціальних

рівнянь першого порядку із сталими коефіцієнтами

 Лінійна система диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами має такий вигляд:

  (12.59)

Така система називається неоднорідною системою. Відповідна їй однорідна система лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами має вигляд

  (12.60)

Для запису нормальної системи диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами зручно користуватися матричними позначеннями.

Позначимо ,

.

Тоді

,

і система (12.59) в матричних позначеннях набуває форми

  (12.61)

 Відповідна їй однорідна система має вигляд

  (12.62)

Користуючись методом виключення, переходимо від системи рівнянь першого порядку до одного диференціального рівняння вищого порядку. Виявляється, що лінійне рівняння -го порядку завжди можна звести до системи рівнянь першого порядку. Нехай наприклад , диференціальне рівняння -го порядку дано у вигляді

 . (12.63)

Введемо такі позначення:

.

Тоді з рівняння (12.103) випливає, що

.

Рівняння (12.103) можна подати у вигляді

,

де ,, - матриця розміру  виду

Приклад . Записати диференціальне рівняння

у вигляді системи.

Введемо позначення: , , .

Тоді в силу умови маємо: . Рівняння зводиться до системи вигляду

  Розглянемо однорідну систему диференціальних рівнянь (12.60), де коефіцієнти - сталі числа. Систему (12.60) можна звести до диференціального рівняння -го порядку з сталими коефіцієнтами. Але це робити не обов’язково. Є загальний метод розв’язування системи (12.60), який дозволяє наочніше досліджувати її розв’язки .

Ейлер запропонував шукати розв’язок системи (12.60) у вигляді

  (12.64)

де  - поки що невідомі сталі. Підставляючи в систему (12.60) рівності (12.64) та їх похідні й скоротивши на отримаємо

  (12.65)

Зауважимо, що (12.65) - однорідна система лінійних алгебраїчних рівнянь відносно  

Головний визначник системи

.

З лінійної алгебри відомо, що у випадку, коли , система (12.65) має лише єдиний тривіальний (тобто нульовий) розв’язок.

Нетривіальні (ненульові) розв’язки існують лише тоді, коли .

Прирівняємо до нуля :

  (12.66)

Рівняння (12.66) називається характеристичним рівнянням системи (12.60), а його корені - коренями характеристичного рівняння.

Можливі такі випадки.

1. Корені характеристичного рівняння - дійсні й різні числа. Позначимо їх через . Для кожного кореня запишемо систему (12.65) і розв’яжемо її (можна довести, що одне з чисел  можна вибрати довільним відмінним від нуля , а інші будуть через нього однозначно виражені).

 Отже кореню відповідають розв’язки

  

 кореню - розв’язки

 

 кореню - розв’язки

 

Тоді загальний розв’язок системи рівнянь (12.60) записується як лінійна комбінація (за стовпчиками) знайдених розв’язків:

;

За допомогою матричних позначень розв’язок системи подають у вигляді

=

або

  (12.67)

де  

 називається фундаментальною матрицею системи (12.60).

 Фундаментальна матриця  задовольняє матричне рівняння Це випливає із рівняння (12.62) та правил множення матриць.

Приклад 5 . Розв’язати систему

Р о з в ‘ я з о к. Складемо характеристичне рівняння (12.66)

 

 або

Розв’язки цього рівняння Система (12.65) при  

 

Друге рівняння цієї системи є наслідком першого . Покладемо, наприклад, Тоді маємо Тому

 Система (12.65) у разі, коли набуває вигляду

Ця система зводиться до одного рівняння. Поклавши, наприклад,  дістанемо  Запишемо розв’язки, що відповідають другому кореню  

Тоді загальний розв’язок системи має вигляд

 

2. Корені характеристичного рівняння різні, але серед них є комплексні.

 Нехай парі комплексних спряжених коренів   відповідають розв’язки

  ,…,   

та

   

 причому коефіцієнти та  визначаються із системи рівнянь(12.65). Можна довести , що дійсні й уявні частини цих розв’язків також є розв’язками системи рівнянь. Записавши окремо дійсні й уявні частини даних виразів (в двох рядках), використовуємо їх для запису загального розв’язку системи аналогічно тому, як це було зроблено вище (складаємо лінійну комбінацію з коефіцієнтами по стовпчиках). Зауважимо, що вирази () комплексно спряжені відносно функцій ( ); їх можна не виписувати.

Приклад 6. Розв’язати систему рівнянь

  

Р о з в ‘ я з о к. Складемо характеристичне рівняння

  

 або Його корені  

При  відносно та  отримаємо систему

  

Один з її ненульових розв’язків

 

При  розв’язок комплексно спряжений відносно знайденого.

Тому систему при можна не розглядати. Знайдемо розв’язки вигляду ()

 ,

 Виконуємо елементарні перетворення:

 

(формула Ейлера).

Дійсні частини розв’язків   а уявні частини -  Отже , загальним розв’язком системи буде

 

 

3. Корінь  характеристичного рівняння має кратність .

Тоді:

а) якщо ранг системи (12.65) такий, що то розв’язуємо цю систему й знаходимо  лінійно незалежних розв’язків; кожному такому розв’язкові відповідає стрічка розв’язків вихідної системи, аналогічно тому, як це було зроблено в п.1;

б) якщо  то функції  ….,  слід шукати у виглядів добутків виду  де многочлен з невизначеними коефіцієнтами, порядок якого дорівнює  Щоб знайти ці коефіцієнти, розв’язки  підставляють у вихідну систему. Зауважимо , що невизначені коефіцієнти будуть знаходитися з системи алгебраїчних рівнянь, у якій рівно  змінних вільні , а інші змінні через них виражаються.

Приклад 7. Розв’язати систему рівнянь

Р о з в ‘ я з о к. Як звичайно, функції  та шукаємо у вигляді :  

Характеристичне рівняння системи

  або

Розклавши вираз зліва на множники, отримаємо Отже, простий корінь, а кратний корінь , причому

 При  система (12.65) матиме вигляд

 

Ранг цієї системи дорівнює двом, а тому зведемо її до такої рівносильної системи

 Поклавши, знайдемо:  Отже, кореню  відповідають розв’язки    

При  () ранг матриці системи (12.65) дорівнює одиниці:

Отже ,  і  (маємо випадок 3а). Система (12.65) зводиться до одного рівняння або (вільні змінні ).

Щоб знайти лінійно незалежні розв’язки, покладемо спочатку   Тоді  Далі покладемо   Тоді  Це дозволяє записати ще два рядки розв’язків:   і    

Склавши лінійну комбінацію одержаних розв’язків ( за стовпчиками) , отримаємо шуканий загальний розв’язок системи

Зауваження. Аналогічно розв’язуються системи лінійних диференціальних рівнянь вищих порядків з постійними коефіцієнтами. Такі рівняння виникають, наприклад, при дослідженні коливань конструкції літака , в теорії електричних кіл, квантовій механіці тощо.

12.12. Лінійна неоднорідна система диференціальних

рівнянь із сталими коефіцієнтами

 Лінійна неоднорідна система диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами в матричній формі має вигляд (12.61)

де причому  неперервні на функції, ,  постійні числа.

 Загальний розв’язок неоднорідної системи (12.61) дорівнює сумі загального розв’язку однорідної системи (12.62) і частинного розв’язку  неоднорідної системи

  (12.68)

Доведення цього твердження аналогічне доведенню для лінійного диференціального рівняння - го порядку.

Метод знаходження загального розв’язку однорідної системи розглядався в п.12.11.

Нехай загальний розв’язок системи (12.62). Тоді частинний розв’язок  неоднорідної системи (12.61) будемо шукати за методом варіації довільних сталих

  (12.69)

 Диференціюючи рівність (12.118), одержимо

Підставляємо даний вираз в рівняння (12.61)

Але фундаментальна матриця задовольняє однорідне рівняння  тому  і ми одержимо рівняння

з якого знаходимо

Інтегруючи останню рівність, будемо мати

  (12.70)

Інтегрування матриці означає інтегрування кожного її елемента. Підставляючи знайдену матрицю-стовпець в (12.118), знайдемо  а за формулою (12.117) і загальний розв’язок неоднорідної системи.

Приклад 8. Розв’язати систему

 Р о з в ‘ я з о к. Розглянемо однорідну систему

 легко перевірити, що її загальний розв’язок буде

В матричній формі цей розв’язок виглядає так:

де

 Крім того,

 Знайдемо обернену до матрицю:

 Тоді

 Інтегруючи одержану матрицю, знаходимо

Тоді за формулою (12.69) маємо

Отже, частинний розв’язок має вигляд

Загальний розв’язок системи можна записати у формі

  

12.13. Застосування теорії диференціальних рівнянь

в економіці

 Розглянемо деякі приклади застосування теорії диференціальних рівнянь першого порядку в неперервних моделях економіки, де незалежною змінною є час Такі моделі досить ефективні при дослідженні еволюції економічних систем на тривалих проміжках часу; вони є предметом дослідження економічної динаміки.

12.13.1. Модель природного росту випуску продукції

 Нехай деяка продукція продається за фіксованою ціною  Позначимо через  кількість реалізованої продукції за час тоді на цей момент часу одержаний дохід дорівнює  Частина вказаного доходу витрачається на інвестиції у виробництво, тобто:

  (12.71)

де норма інвестиції (постійне число), причому  

 Якщо виходити із припущення про не насиченість ринку (або про повну реалізацію випущеної продукції), то в результаті розширення виробництва буде отриманий приріст доходу, частина котрого знову буде використана для розширення випуску продукції. Це приведе до росту швидкості випуску (акселерації), причому швидкість випуску пропорційна збільшенню інвестицій, тобто

  (12.72)

де норма акселерації. Підставивши в (12.71) формулу (12.72). одержимо

  (12.73)

 Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Його загальний розв’язок  а частинний розв’язок. Нехай в початковий момент часу  заданий об’єм випуску продукції   звідки

Тоді одержимо частинний розв’язок, що задовольняє початкову умову,

  (12.74)

12.13.2. Ріст випуску в умовах конкуренції

 В цій моделі ми не будемо припускати, що ринок не насичується. Нехай спадна функція, тобто із збільшенням об’єму продукції на ринку ціна на нього не падає (). Тепер із формул (12.71)-(12.73) одержимо нелінійне диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними

  (12.75)

 Оскільки всі члени в правій частині цього рівняння додатні, то  тобто функція  зростаюча. Характер зростання функції визначається за допомогою похідної другого порядку

 Цю рівність можна перетворити, ввівши еластичність попиту

звідки або , оскільки а, значить і  одержимо

  (12.76)

Із рівняння (12.76) випливає, що при еластичному попиті, тобто коли  і графік функції  має випуклість вниз, що означає прогресуючий ріст; при нееластичному попиті напрям випуклості функції  вверх, що означає сповільнений ріст (насичення).

Для простоти візьмемо залежність  лінійну (рис.12.3), тобто

Тоді рівняння (12.75) приймає вигляд

  (12.77)

звідки

  (12.78)

 Із співвідношень (12.77) і (12.78) одержимо:  і при  при  і  при  точка перегину графіка функції  Приведений на рис.12.4 графік цієї функції (однієї із інтегральних кривих диференціального рівняння (12.77) ) – це логістична крива .

 Рис. 12.3 Рис.12.4

 Аналогічні криві характеризують і інші процеси, наприклад розмноження бактерій в органічному середовищі, динаміку епідемій всередині обмеженої спільності біологічних організмів тощо.

 

12.13.3. Динамічна модель Кейнса

 Розглянемо найпростішу балансову модель, що включає в себе основні компоненти динаміки витратної та дохідної частин економіки. Нехай  відповідно національний дохід, державні витрати, споживання і інвестиції. Всі ці величини розглядаються як функції часу . Тоді справедливі такі співвідношення:

  (12.79)

де коефіцієнт нахилу до споживання (); автономне (кінцеве) споживання; норма акселерації. Всі функції, що входять в систему (12.79), додатні.

 Будемо вважати, що функції  і  задані – вони є характеристиками функціонування і еволюції даної держави. Потрібно знайти динаміку національного доходу або  як функцію часу

 Підставляючи вираз для  із другого рівняння (12.79) і  із третього рівняння в перше, одержимо лінійне диференціальне рівняння першого порядку

  

 Будемо вважати, що основні параметри задачі  і  постійні. Тоді рівняння стає лінійним диференціальним рівнянням з постійними коефіцієнтами

  (12.80)

 Загальний розв’язок дорівнює сумі загального розв’язку однорідного рівняння  і якого-небудь частинного розв’язку неоднорідного рівняння. В якості частинного розв’язку рівняння (12.133) візьмемо так званий рівноважний розв’язок, коли  тобто

  (12.81)

 Неважко замітити, що ця величина додатна. Загальний розв’язок однорідного рівняння так що загальний розв’язок рівняння (12.80) має вигляд

  (12.82)

 Інтегральні криві рівняння (12.80) показані на рис.12.5. Якщо в початковий момент часу  то і криві йдуть вниз від рівноважного розв’язку (12.81), тобто національний дохід з часом падає при заданих параметрах задачі і  оскільки показник в експоненти додатний. Якщо ж  то і національний дохід росте – інтегральні лінії йдуть вверх від рівноважного розв’язку Для автономного диференціального рівняння (12.80) стаціонарна точка (12.81) є точкою нестійкої рівноваги.

 12.13.4. Неокласична модель росту

 Нехай національний дохід, де однорідна виробнича функція першого порядку, об’єм капіталовкладень (виробничих фондів), об’єм затрат праці. Якщо величина фондоозброєності , то продуктивність праці виражається формулою

 (12.83)

 Будемо вважати, що виконуються наступні припущення:

 1) має місце природний приріст в часі трудових ресурсів

 2) інвестиції витрачаються на збільшення виробничих фондів і на амортизацію, тобто

де норма амортизації.

 Тоді, якщо норма інвестицій,  або

  

 Рис.12.5 Рис.12.6

 Із визначення фондоозброєності випливає, що

 Диференціюючи дану рівність по  і підставляючи вирази і  одержимо рівняння відносно невідомої функції

  (12.84)

де  визначається за формулою (12.83).

 Стаціонарний розв’язок цього рівняння має вигляд

 Розглянемо конкретну задачу: для виробничої функції  знайти інтегральні криві рівняння (12.84) і стаціонарний розв’язок. Із (12.83) випливає, що і тоді рівняння (12.84) має вигляд

  (12.85)

 Стаціонарний розв’язок цього рівняння випливає із рівності

звідки ми отримаємо ненульовий частинний розв’язок рівняння (12.137):

 Відокремлюючи змінні в рівнянні (12.85), одержимо

 Інтегруючи це рівняння (заміною ), одержимо загальний розв’язок рівняння

  (12.86)

 Сімейство інтегральних кривих збігається зверху і знизу до стаціонарного розв’язку (рис.12.6): тобто при  Отже, при незмінних вхідних параметрах задачі  і  функція фондоозброєності стійко прямує до стаціонарного значення незалежно від початкових умов. є точкою стійкої рівноваги.

12.13.5. Поняття про різницеві рівняння.

Модель ділового циклу Самуельсона-Хікса

 Рівняння виду

  (12.87)

де фіксоване, а довільне натуральне число, члени деякої числової послідовності, називається різницевим рівнянням го порядку.

 Розв’язати різницеве рівняння означає знайти всі послідовності що задовольняють рівняння (12.87). Різницеві рівняння часто використовуються в моделях економічної динаміки з дискретним часом, а також для наближеного розв’язку диференціальних рівнянь.

 Означення. Різницеве рівняння виду

  (12.88)

де деякі функції від  називається лінійним різницевим рівнянням го порядку.

 У випадку, коли коефіцієнти є сталими, методи розв’язування такого класу рівнянь багато де в чому аналогічні

розв’язуванню лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Проілюструємо це на прикладі різницевих рівнянь другого порядку:

  (12.89)

 Загальний розв’язок рівняння (12.89) визначається за формулою

де загальний розв’язок однорідного рівняння а деякий частинний розв’язок неоднорідного рівняння (12.89). Для знаходження загального розв’язку однорідного рівняння складаємо характеристичне рівняння

 1) Якщо корені характеристичного рівняння дійсні і різні, то загальний розв’язок знаходиться за формулою

 2) Якщо корені дійсні і рівні то

2) У випадку комплексних спряжених коренів  загальний розв’язок має вигляд

 Приклад. Розв’язати рівняння

 Р о з в ‘ я з о к. Корені характеристичного рівняння

Тому загальний розв’язок однорідного рівняння

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді Підставляючи цей вираз в наше рівняння, одержимо

Отже,  і

 Таким чином, загальний розв’язок рівняння має вигляд:

 В якості прикладу, що ілюструє застосування різницевих рівнянь, розглянемо модель ділового циклу Самуельсона-Хікса (динамічний варіант моделі Кейнса). В цій моделі використовується так званий принцип акселерації, тобто припущення, що масштаби інвестування прямо пропорційні приросту національного доходу. Дане припущення характеризується рівнянням

  (12.90)

де коефіцієнт фактор акселерації, величина інвестицій в період  величини національного доходу відповідно в му і му періодах. Припускаємо також, що споживання на цьому етапі залежить від величини національного доходу на попередньому етапі, тобто

  (12.91)

 Умова рівності попиту і пропозиції має вигляд:

  (12.92)

 Підставляючи в (12.92) вирази  та знаходимо

  (12.93)

 Рівняння (12.93) називається рівнянням Хікса. Воно представляє собою лінійне неоднорідне різницеве рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами (якщо припустити, що на протязі розглядуваних періодів величини  і постійні).

 Зауваження. Якщо припустити, що

  (12.94)

можна легко знайти частинний розв’язок (12.93). В силу (12.94) із (12.93) одержимо

звідки

  (12.95)

 Вираз в формулі (12.95) називається мультиплікатором Кейнса і є одновимірним аналогом матриці повних затрат.

Література для самоосвіти: [6], [8], [10], [12].