Тема 16. Границя. Натуральні логарифми

 при  . Границі  при  і  при  . Число е. Натуральні логарифми.

Питання теми

Границя  при

Число

Границі  при  і  при

Натуральні логарифми.

5.6. Число

Розглянемо послідовність із загальним членом

  (5.11)

Доведемо, що така послідовність збіжна. Для цього обґрунтуємо, що послідовність - зростаюча і обмежена зверху.

 а) Покажемо, що   

 За формулою Ньютона для бінома

    

   

 або

 

  (5.12)

 Знайдемо

 

  (5.13)

У правій частині рівності (5.13) маємо доданків, тоді як в рівності (5.12) - Крім цього, кожний доданок, починаючи з третього, більший за відповідний доданок правої частини рівності (5.12), а перші два доданки рівні між собою.

Тому

б) Покажемо, що послідовність є обмежена зверху. Справді, якщо в правій частині рівності (5.12) вираз в круглих дужках

на одиницю, то матимемо

  (5.14)

 У правій частині нерівності (5.14) в кожному доданку, починаючи з другого, замінимо в знаменнику співмножники, більші за 2, числом 2.

Матимемо

  (5.15)

Члени правої частини (5.15), починаючи з другого, утворюють спадну геометричну прогресію із знаменником  Сума правої частини (5.15) дорівнює:

Отже,

Тому існує границя послідовності  Її позначають буквою :

  (5.16)

Число відіграє надзвичайно велику роль як для самого аналізу, так і для його застосування. Наближене значення його з точністю до 0,0001:

Деякі властивості числа роблять особливо зручним вибір саме цього числа основою логарифмів. Ці логарифми називають натуральними і позначають символом (не вказуючи основи).

 У теоретичних дослідженнях використовують виключно натуральні логарифми.

 Десяткові логарифми знаходять через натуральні за формулою

де модуль переходу,

5.7. Границі  при  та при

 Границя відношення  при .

 Покажемо, що

 1. Нехай . Оскільки  розглядається в малому околі нуля, то можна припустити, що .

 Тепер треба показати, що для будь-якого як завгодно малого числа  існує таке число , що з нерівності  випливає нерівність . Доведемо спочатку допоміжні нерівності, а саме: покажемо, що при  справджуються нерівності .

 Візьмемо коло з центром у довільній точці  і радіусом, що дорівнює одиниці (рис.5.1), а також , радіанна міра якого .

 Оскільки радіус кола дорівнює одиниці, то довжина відрізка  дорівнює , а довжина відрізка .

Порівняємо площі трикутника , сектора  і трикутника . Оскільки площа частини менша від площі цілого, то ці площі поєднані подвійною нерівністю . Але

Рис.5.1

 

Підставивши значення  в останні нерівності і відкинувши спільний множник , одержимо

.

 Оскільки  і , то при діленні на  знак нерівності зберігається і приходимо до нерівності

.

Звідси

,

але .

 В силу цього за теоремою про границю змінної величини, що знаходиться між двома іншими ( і ), які мають спільну границю, знаходимо

 . (5.25)

 Нехай . Введемо нову змінну  за формулою . Тоді

 .

 Слід зауважити, що при розв’язанні цієї задачі ми не робили ніякого припущення про те, що  є строго аргументом. Тому

,

де .

 

Приклади.

 1.

 2.

 Границя

 Нехай. Покладемо. Тоді.

 Якщо , то і . Із останньої нерівності знаходимо

,

звідки

.

Легко бачити справедливість таких нерівностей:

.

(Нерівності зберігають свій знак, оскільки із трьох чисел, більших одиниці, найменше підноситься до найменшого додатного степеня, а найбільше – до найбільшого, також додатного степеня).

 Згідно з теоремами про границю добутку і частки маємо

 Крайні члени нерівності прямують при  до однієї і тієї самої границі – числа . Тому

  

 Нехай . Покладемо  коли , то . Тому

.

Але

 ,

тому

Отже,

  (5.26)

 Зауваження. Покладемо . Коли , то .

Тому  або

 . (5.27)

 Приклади.

 1.

 2.

 

 .

Правостороння і лівостороння границі функції однієї змінної. Для дальшого викладу теорії необхідно ввести в розгляд поняття правосторонньої та лівосторонньої границь функції. Припустимо, що функція  визначена на деякому проміжку , крім можливо, точки .

 Означення. Число  називається правосторонньою границею функції  в точці , якщо для будь-якого як завгодно малого числа  існує додатне число  таке, що для всіх , які задовольняють нерівності ,

виконується нерівність , і це записують так:

.

 Означення. Число  називається лівосторонньою границею функції  в точці , якщо для будь-якого як завгодно малого числа  існує додатне число  таке, що для всіх , які задовольняють нерівності ,

виконується нерівність ,

і це записують так:

.

Отже , для лівосторонньої границі аргумент береться поблизу

точки  (але ), тоді як для правосторонньої границі

береться поблизу точки  (але ). Зокрема, якщо функція

визначена на інтервалі  чи на відрізку , то в точці  можна розглядати тільки правосторонню границю, а в точці - лівосторонню.

 Зауваження. 1) функція в точці може мати дві границі (правосторонню і лівосторонню), причому ці границі різні; 2) функція в точці має дві границі і вони рівні між собою; 3) хоч одна з границь функції в точці не існує.

 Легко бачити, що коли функція в точці має границю, то вона має в цій точці правосторонню і лівосторонню границі, і вони рівні між собою.

 Справедливе й обернене твердження. Якщо функція  в точці  має лівосторонню і правосторонню границі і вони рівні між собою, то ця функція в точці  має границю, яка дорівнює значенню лівосторонньої і правосторонньої границь.

Техніка знаходження границь функцій.

 Приклади. Знайти границі:

 А. 1..

 Тут границі чисельника і знаменника дорівнюють нулю. Тому застосувати теореми про границі частки не можна. Розкладемо чисельник і знаменник на множники і скоротимо на множник , який перетворює на нуль чисельник і знаменник. Одержуємо

 

2.

.

3.

.

4.  .

5.

6.

.

7.

 Б.

 Домножимо і поділимо на функцію, спряжену даній. Одержимо

 

 

оскільки знаменник при  є функція нескінченно велика.

 

Література для самоосвіти: [2], [4], [9].