Тема 36. Задачі, що приводять до поняття означеного інтеграла. Формулювання теореми існування.

Питання теми

Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла

Визначений інтеграл як границя інтегральної суми

Формулювання теореми існування

 Серед усіх наук, що відкривають

 людству шлях до пізнання законів

 природи, наймогутніша,

 найвеличніша наука – математика.

 С.В. Ковалевська

9. ВИЗНАЧЕИЙ ІНТЕГРАЛ

9.1. Деякі задачі, що приводять до поняття

 визначеного інтеграла

Розглянемо на простому конкретному прикладі задачу обчислення площі фігури, обмеженої неперервною кривою  , заданої на інтервалі , двома ординатами в точках  і , та віссю , (рис.1) , за тією схемою , про яку йшлося в п.8.3.1 за обчислення моменту інерції тіла , де досить чітко просліджувалися три етапи . Розглядувану фігуру далі називатимемо криволінійною трапецією .

Рис. 9.1

Етап 1. Розбиття фігури  (рис. 9.1) на ряд вузьких смужок, паралельних осі . Площу кожної із смужок можна обчислювати наближено, замінюючи її або прямокутником, верхня основа якого проходить через точку на кривій і знаходиться не вище за криву, або трапецією , обмеженою зверху хордою , що сполучає кінці відрізку кривої .

Етап 2. Сума площ усіх прямокутників або трапецоїдних смужок дасть наближене значення площ криволінійної трапеції. Очевидно, що ця площа буде обчислена тим точніше, чим меншою буде ширина кожної смужки .

Етап 3. Для точного обчислення площі криволінійної трапеції слід обчислити границю вказаної суми, коли ширина кожної смужки прямує до нуля . Точне значення площі криволінійної трапеції позначають символом  , який називається визначеним інтегралом у проміжку від  до  функції і вперше введений Й.Бернуллі . Функція  називається підінтегральною , а вираз  підінтегральним. Знак нагадує розтягнуту літеру S , першу літеру латинського слова “summa” .Числа  і  – границі інтегрування (нижня і верхня відповідно ), – підінтегральна змінна . Аналогічно можна підійти і до способу обчислення довжини дуги (див. Рис.9.1) . З’єднуючи точки поділу кривої на частинки хордами , можна вважати, що сума довжин усіх хорд наближено дорівнюватиме довжині дуги . Якщо позначити ширину кожної смужки через , а різницю основ трапеції через , то довжини хорд дорівнюватимуть . Тоді сума довжин усіх хорд виразиться таким чином :  і наближено дорівнюватиме довжині дуги Для обчислення точного значення довжини дуги слід перейти до границі цієї суми , коли всі  прямують до нуля . Якщо - диференційована , то і  при цьому теж прямуватиме до нуля . В результаті переходу до вказаної границі одержимо довжину дуги у вигляді

Рекомендується одержати для обчислення, наприклад, масу кривої (див. рис. 9.1) , знаючи , що її лінійна густина  де - неперервна функція, статичний момент фігури відносно осі , вважаючи, що густина фігури стала, наприклад, дорівнює одиниці, момент інерції тієї самої фігури відносно осі за того самого припущення щодо густини.

Обчислюючи масу дуги , будемо вважати , що в межах маленького відрізка дуги густина маси мало змінюється , тобто її можна вважати сталою . Обчислюючи статичний момент фігури  відносно осі  будемо мати на увазі , що статичним моментом матеріальної точки відносно осі називається добуток маси точки на її віддаль від осі й що за сталої густини масу прямокутної смужки можна зосередити в її центрі і вважати точкою .

Обчислюючи момент інерції фігури  відносно осі , слід вважати, що момент інерції вузенької смужки відносно осі, їй паралельної, дорівнює добутку маси смужки на квадрат її віддалі від осі. Розв’язуючи ці завдання, нескінченно малими величинами, порядок яких більший за одиницю, можна нехтувати. Звичайно, в цьому пункті всі викладки проводилися на інтуїтивному рівні , без належних обгрунтувань. Усі необхідні обгрунтування можуть бути наведені після детального вивчення даного розділу.

19.2. Визначений інтеграл як границя

інтегральної суми

В п.9.1 йшлося про невизначений інтеграл у зв’язку з обчисленням площі криволінійної трапеції, а також розв’язуванням деяких задач на основі складання інтегральних сум. Але там мова йшла про випадок, коли підінтегральна сума на всьому проміжку інтегрування була невід’ємною.

У даному випадку на підінтегральну функцію це обмеження не накладатиметься, але метод побудови інтегральних сум залишиться таким самим, що й раніше. Для прикладу розглянемо фігуру, обмежену графіком функції , зображеним на рис.9.2 віссю  і двома ординатами в точках, де  (ця фігура заштрихована).

Так само, як це було і раніше, інтервал  розіб’ємо на  частинок точками

 

Рис.9.2

(точки інтервалу не обов’язково повинні збігатися з точками ) ) і побудуємо суму

де , яка називається інтегральною. Але ця сума вже не буде площею фігури з тієї простої причини, що на інтервалах  відповідні члени суми будуть від’ємними, а на інших – додатними. Перейшовши в цій сумі до границі, коли , одержимо

  (9.1)

Ті самі міркування, що і в п. 9.1, привели до поняття визначеного інтеграла.

Означення. Якщо границя (9.1) існує і скінченна, не залежить від способів розбиття інтервалу  на частини, ні від вибору точок  в кожній із частин, то вона називається визначеним інтегралом функції  на інтервалі і позначається символом . У цьому випадку функція  називається інтегровною на .

Площа фігури, заштрихованої на рис.9.2, уже не дорівнюватиме . Площа цієї фігури

і ця рівність безпосередньо випливає з означення модуля функції.

Отже, визначений інтеграл не завжди дорівнює площі криволінійної трапеції. Саме визначення визначеного інтеграла ставить ряд проблем: а) за яких умов границя величини (9.1) не залежить від способів розбиття інтервалу  на частини; б) не залежить від вибору точки в кожному з окремих інтервалів  ; в) за яких умов вона буде існувати і буде скінченою. Відповіді на ці запитання можна знайти у фундаментальних курсах математичного аналізу. Тут лише повідомляється (без будь-яких доведень) відповідь на ці проблеми у вигляді теореми.

Теорема. Усяка обмежена на інтервалі  функція  інтегровна, якщо вона має скінченну кількість точок розриву. Зокрема буде інтегровною на інтервалі  функція  , якщо вона неперервна на цьому інтервалі.

Зауваження. Визначений інтеграл залежить тільки від виду функції  і меж інтегрування, але не від змінної інтегрування, котру можна позначати довільною буквою.

Приклад1. Обчислити  на основі інтегральної суми.

Р о з в ’ я з о к. Розіб’ємо інтервал  на  рівних частинок. При цьому довжини всіх інтервалів будуть рівними між собою і дорівнюватимуть . Ординати в точках поділу обчислюватимемо на правому кінці кожного інтервалу. Вони складуть таку послідовність:

Інтегральна сума матиме вигляд

Пропонується здійснити обчислення, взявши ординати на лівому кінці кожного інтервалу.

Як видно із наведеного прикладу, безпосереднє обчислення визначеного інтеграла як границі інтегральних сум пов’язане з певними труднощами. Навіть в простих випадках, коли підінтегральна функція є дуже простою, цей спосіб вимагає громіздких підрахунків. Знаходження інтегралів від більш складніших функцій приводить до ще більших труднощів. Інтегральні суми використовували ще в древні часи при розв’язуванні певних задач, але до тих пір, поки не був відкритий метод обчислення визначеного інтеграла, його застосування було обмежене. Цей метод, відкритий Ньютоном і Лебніцем, використовує глибокий зв’язок між інтегруванням і диференціюванням.

Приклад. Обчислити інтеграл

Розв’язання. На підставі таблиці основних інтегралів і правила ІІІ, /див. Лекцію 2/ маємо

Література для самоосвіти: [2], [4], [7], [9].