Тема 22. Частинні похідні і диференціали вищих порядків.

Питання теми

Частинні похідні вищих порядків

Теорема про рівність змішаних похідних

Диференціали вищих порядків

6.11.Частинні похідні вищих порядків

Розглянемо функцію двох змінних . Її частинні похідні  і  є функціями змінних  і . Від цих похідних також можна знайти частинні похідні. Їх буде чотири, оскільки від кожної з функцій  і  можна знайти частинні похідні по та по . Назвемо їх частинними похідними другого порядку і позначатимемо:

 - функція  два рази диференціюється по ;

 - функція  диференціюється по , а потім по ;

 - функція  диференціюється по , а потім по ;

 - два рази диференціюється по .

Похідні другого порядку також можна диференціювати по  і . Одержані при цьому похідні називаються частинними похідними третього порядку функції. Їх буде вісім. Аналогічно позначаються похідні більш високих порядків.

Приклад. Знайти другі частини похідних від функції .

Р о з в ’ я з о к. Знайдемо перші частинні похідні:

; .

Диференціюємо кожну з них по  і . Одержуємо частинні похідні другого порядку:

.

В розглянутому прикладі

.

Залежність результату диференціювання від порядку диференціювання за різними змінними визначає така теорема.

Теорема. Якщо функція  та її частинні похідні  означені і неперервні в точці  і в деякому її околі, то в цій точці

,

тобто результат диференціювання не залежить від порядку диференціювання за різними змінними.

Доведення теореми опускаємо.

Зауваження. Аналогічна теорема справедлива для будь-якого числа змінних і для похідних більш високих порядків.

Нехай  - диференційована в області  функція двох незалежних змінних  і . В будь-якій точці  цієї області ми можемо обчислити новий диференціал:

.

Будемо називати його диференціалом першого порядку. Він залежить від значень  і , тобто є функцією чотирьох змінних. Закріпивши  і , одержимо функцію двох змінних  і , означену в області .

Диференціал від цієї функції в будь-якій точці  області , якщо він існує, називається диференціалом другого порядку від функції  в точці . Позначається  або .

Отже, за означенням .

Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків. Зокрема,

.

Якщо функція  в області  має неперервні частинні похідні до  - го порядку включно в кожній точці області існують. Обчислимо їх:

тощо.

Введемо символічну  - у степінь : вираз, одержаний в результаті піднесення двочлена, записаного в дужках, у звичайну  - у степінь із подальшою зміною степенів  і , помножених на , частинними похідними відповідного порядку від функції .

Тоді

  (6.72)

…………………………………………….

Зауваження. Якщо  - диференційована функція проміжних змінних  і , які, в свою чергу, є диференційованими функціями  і , то, обчислюючи ,  і т. д. ,ми уже не одержимо формул (6.78) для обчислення диференціалів.

Так,

Тут   і  - не є постійними (постійні ). Отже, в цьому випадку форма запису другого, третього і т. д. порядків не є інваріантною.

Література для самоосвіти: [2], [4], [7], [9].