Тема 59. Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца. Оцінка залишку ряду. Абсолютна і умовна збіжності знакозмінних рядів. Властивості абсолютно збіжних рядів.

Питання теми

Знакочергуючі ряди

Ознака Лейбніца

Оцінка залишку ряду

Знакозмінні ряди

Абсолютна та умовна збіжності

Властивості абсолютно збіжних та умовно збіжних рядів

13.7. Знакочергуючі ряди

 До цих пір ми розглядали ряди, в яких члени були додатні. Тепер розглянемо ряди, члени яких мають знаки, що чергуються, тобто такі ряди:

  (13.16)

де  додатні.

 Теорема Лейбніца. Якщо в знакочергуючому ряді (13.16)  члени ряду такі, що

  (13.17)

і

  (13.18)

то ряд (13.16) збігається, його сума додатна і не перевищує першого члена.

 Д о в е д е н н я. Частинну суму парного порядку  можна написати у вигляді:

Оскільки кожна дужка, в силу нерівностей (13.17) , є додатною величиною, то звідси видно, що із зростанням  частинна сума  також зростає. З іншого боку, якщо переписати  так:

,

то легко побачити, що  залишається зверху обмеженою

В такому випадку, за теоремою про монотонну послідовність, при необмеженому зростанні  частинна сума  має скінчену границю

 Розглянемо тепер суму непарного порядку  :

Очевидно, що Оскільки загальний член ряду прямує до нуля, то

Звідси випливає, що і буде сумою даного ряду.

 Частинні суми парного порядку наближаються до суми

ряду, зростаючи. Написавши  у вигляді

легко встановити, що суми непарного порядку прямують до , спадаючи. Таким чином, завжди

Зокрема, можна стверджувати

  (13.19)

 Теорема доведена.

 Зауваження 1. Теорема Лейбніца справедлива і в тому випадку, якщо нерівності (1.17) виконуються, починаючи з деякого

 Зауваження 2. Якщо знакочергуючий ряд задовольняє умови теореми Лейбніца, то можна оцінити похибку. яку ми допускаємо, замінюючи його суму  частинною сумою  При такій заміні ми відкидаємо всі члени ряду, починаючи з  Але ці числа суми утворюють знакочергуючий ряд, сума якого за абсолютною величиною менша першого члена цього ряду, тобто  Значить, помилка, що допускається при заміні  на , не перевищує за абсолютною величиною першого члена, який відкидаємо.

 Приклад. Найпростішими рядами лейбніцівського типу є ряди

Збіжність обох рядів випливає із доведеної теореми.

13.8. Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжності

 Ряд, члени якого мають довільні знаки, називається знакозмінним. Серед них можуть бути члени як додатні, так і від’ємні.

 Очевидно, що знакочергуючі ряди, розглянуті в попередньому параграфі, є частинним випадком знакозмінних рядів.

 Ми будемо вважати, що члени ряду

  (13.20)

можуть бути як додатними, так і від’ємними.

 Теорема 1. Якщо знакозмінний ряд (13.20) такий, що ряд, складений із абсолютних величин його членів

  (13.21)

збігається, то й даний ряд (13.20) також збігається.

 Д о в е д е н н я. Позначимо через і  частинні суми рядів (13.20) і (13.21).

 Нехай дальше  сума всіх додатних, а  сума абсолютних величин всіх від’ємних членів серед перших  членів ряду (1.20); тоді

 

 За умовою теореми ряд (13.21) збігається, тому існує  і  додатні зростаючі величини, які менші за . Отже, вони мають скінченні границі  і  Із співвідношення  випливає, що і  має границю і ця границя дорівнює , тобто знакочергуючий ряд (13.20) збігається.

 Зауважимо, що ознака збіжності, яка вище доведена, є тільки достатньою ознакою збіжності знакозмінного ряду, але не необхідною.

Існують такі знакозмінні ряди (13.20), котрі збігаються, а ряди, складені із абсолютних величин їх членів, розбігаються. В зв’язку з цим вводяться поняття абсолютної та умовної збіжності.

 Означення. Знакозмінний ряд (13.20) називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд (13.21), складений із абсолютних величин його членів. Якщо ж знакозмінний ряд (13.20) збігається, а ряд (13.21), складений із абсолютних величин його членів, розбігається, то даний знакозмінний ряд називається умовно або неабсолютно збіжним.

 За допомогою поняття абсолютної збіжності теорему 1 часто формулюють таким чином: всякий абсолютно збіжний ряд є збіжним

рядом.

 Приклад 1. Дослідити збіжність ряду

.

 Р о з в ‘ я з о к. Розглянемо ряд, складений із абсолютних величин членів даного ряду

 .

Для дослідження збіжності цього ряду використаємо ознаку порівняння:

,

а ряд

розбіжний,

тому і ряд  розбігається.

 Перевіримо виконання умов теореми Лейбніца (13.17) - (13.18):

1)

2) .

Обидві умови виконуються.

 Оскільки ряд із абсолютних членів даного ряду розбігається і виконуються обидві умови теореми Лейбніца, то даний знакочергуючий ряд збігається умовно.

Приклад 2. Дослідити збіжність ряду .

 Р о з в ‘ я з о к. Ряд із абсолютних величин членів цього ряду має такий вигляд . Оскільки  і ряд  збігається , то даний знакозмінний ряд збігається абсолютно.

Приклад 3. Дослідити збіжність ряду

 Р о з в ‘ я з о к.

(не виконується необхідна умова збіжності), тому даний ряд взагалі розбігається.

 Відмітимо в кінці даного розділу (без доведення) наступні властивості абсолютно збіжних і умовно збіжних рядів.

 Теорема 2 (теорема Діріхле). Якщо знакозмінний ряд (13.20) збігається абсолютно, то буде збігатися і при тому абсолютно ряд, одержаний із даного довільною перестановкою його членів. При цьому сума ряду не залежить від порядку його членів.

 Теорема 3 (теорема Рімана). Якщо знакозмінний ряд (13.20) збігається умовно, то, яке б не взяти наперед число , скінчене або рівне , можна так переставити члени цього ряду, щоби його сума в точності дорівнювала

 

Література для самоосвіти: [8], [10].