Тема 05. Застосування векторів до розв’язування простих задач на площині та в просторі. Рівняння та нерівності першого степеня на площині та в просторі, їх геометричний зміст. Системи рівнянь і нерівностей першого степеня.

Питання теми

Застосування векторів до розв’язування простих задач на площині.

Математичний опис ліній, поверхонь, тіл.

Загальні поняття про лінії.

Алгебраїчні лінії та поверхні.

Лінії і фігури на площині.

Параметричні рівняння ліній.

Рівняння та нерівності першого степеня на площині та в просторі , їх геометричний зміст.

Системи рівнянь і нерівностей першого степеня.

3. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ

3.1. Математичний опис ліній, поверхонь, тіл

3.1.2. Загальні поняття про рівняння

 Нехай в просторі задана прямокутна декартова система координат. Розглянемо сферу радіуса  центр якої знаходиться в точці  з координатами  Сферою називається геометричне місце точок, що знаходяться від центра на одній і тій же відстані  Позначивши через  координати довільної точки  що лежить на сфері, і виразимо через них рівність  Ми одержимо

Піднісши в квадрат обидві частини рівності, одержимо більш зручнішу форму

Очевидно, що це співвідношення виконується для всіх точок сфери і тільки для них, і, отже, його можна розглядати як рівняння сфери в розглядуваній системі координат.

 Розглянемо ще один приклад із геометрії на площині. Графіком функції  називається лінія що складається із точок, координати яких зв’язані співвідношенням  Якщо нас цікавить в першу чергу лінія, а не функція, ми можемо стати на іншу точку зору і вважати, що співвідношення  є рівнянням лінії

 Нехай вибрана система координат. Під рівнянням множини в цій системі координат ми будемо розуміти вираз визначення  через координати його точок, тобто вислів, який вірний для координат точок, що належать, і невірний для координат точок, які йому не належать.

 Часто рівнянню множини точок в планіметрії надається форма

 де функція від двох змінних, а в стереометрії - де функція від трьох змінних. Написаний вище вираз для сфери має такий вигляд, якщо  перенести в ліву частину.

 Означення 1. Рівняння , що зв’язує координати  в деякій декартовій системі координат на площині, називається рівнянням лінії якщо координати точок, що лежать на цій лінії, задовольняють даному рівнянню, а координати точок, що не лежать на лінії, йому не задовольняють.

 Аналогічно можна дати означення рівняння поверхні

 Означення 2. Рівняння , що зв’язує координати  в деякій декартовій системі координат на просторі, називається рівнянням поверхні  якщо координати точок, що лежать на цій поверхні, задовольняють даному рівнянню, а координати точок, що не лежать на поверхні, йому не задовольняють.

3.2.2. Алгебраїчні лінії і поверхні

 Визначення довільних множин точок – задача цілком неоглядна. Визначимо порівняно вузький клас множин, хоча й широкий, щоби детально його вивчити.

 Означення 1. Алгебраїчною лінією на площині називається множина, яка в якій-небудь декартовій системі координат на площині може бути задана рівнянням вигляду

  (3.1)

причому всі показники – невід’ємні цілі числа. Найбільша із сум

 називається степенем рівняння, а також порядком алгебраїчної лінії.

 Означення 2. Алгебраїчною поверхнею називається множина, яка в якій-небудь декартовій системі координат може бути задана рівнянням вигляду

  (3.2)

причому всі показники – невід’ємні цілі числа. Найбільша із сум

 називається степенем рівняння, а також порядком алгебраїчної поверхні.

 Це означення означає, зокрема, що сфера є алгебраїчною поверхнею другого порядку.

 Приведені означення мають істотній недолік. А саме, невідомо, який вигляд буде мати рівняння поверхні чи лінії в якій-небудь іншій декартовій системі координат. Якщо ж рівняння і має в деякій іншій системі координат вигляд (3.5) чи (3.6), то степінь якого із цих рівнянь ми будемо називати порядком лінії чи поверхні. Відповіддю на поставлене питання дають теореми, які називаються теоремами про інваріантність (незмінність) порядку лінії (поверхні).

 Теорема. При переході від однієї декартової системи координат до іншої порядок алгебраїчної лінії (поверхні) не змінюється.

 Зауваження. Властивість інваріантності порядку алгебраїчної лінії на площині чи поверхні не відноситься до різних рівнянь, якими може задаватися лінія чи поверхня в одній і тій же системі координат. Хоча такі рівняння є еквівалентними, серед них можуть бути рівняння різних степенів і навіть такі, які не мають вигляду (3.5) чи (3.6). Дійсно, наступні три рівняння визначають коло радіуса з центром в початку координат:

 

3.2.3. Лінії і фігури на площині

А. Лінії в прямокутній системі координат.

 Між точками площини у декартовій (прямокутній) системі координат і парами дійсних чисел – координатами точок встановлена взаємно однозначна відповідність.

 Як було показано в п.3.2.1, лінія на площині може задаватися або рівнянням

або

.

 У першому рівнянні величина  виражена явно через , тому таке рівняння називають явним рівнянням лінії, а в другому рівнянні - неявним, бо в ньому  не виражено явно через . Слід зауважити, що не завжди вдається з неявного рівняння одну із змінних виразити через іншу. Проте це не перешкода для дослідження лінії за її рівнянням, хоча ці дослідження, як правило, більш складні, ніж у випадку явного задання лінії рівнянням.

 Зрозуміло, що координати будь-якої точки, яка належить лінії, задовольняють її рівняння, а координати точки, яка не належить лінії, не задовольняють його. Таке рівняння і називається рівнянням лінії.

 Приклад 1. Рівняння , де  - дійсне число, визначає лінію, абсциса кожної точки якої дорівнює , а координата може набувати будь-яких значень між  і . Таку властивість має пряма лінія, кожна точка якої віддалена від осі  на величину . Зрозуміло тепер, що рівнянням цієї лінії є пряма, паралельна осі  і розміщена на віддалі  від неї.

 Аналогічно, рівняння є прямою, паралельною осі  і віддаленою від цієї осі на величину . Очевидно, що рівняння  і  є відповідно рівняннями осей і .

Приклад 2. Із шкільного курсу математики відомо, що рівняння , де  і  - числа, є рівнянням прямої з кутовим коефіцієнтом  і відсікає на осі відрізок .

Приклад 3. Напишемо рівняння множини точок, однаково віддалених від осі  і від точки  .

 Р о з в ‘я з о к. Згідно з умовою задачі (рис.3.1), де  - точка, що належить кривій. Очевидно, що  , а  є віддаллю між двома точками площини; тоді . Отже, . Піднісши обидві частини рівності до квадрата, одержимо

 .

Графіком цієї лінії є парабола.

 Важливою задачею є знаходження точки перетину двох ліній. Нехай дві лінії задані рівнянням

 Рис.3.1  і .

 Якщо ці лінії перетинаються, то існує точка, спільна для обох ліній. Тому її координати повинні задовольняти обидва рівняння. Отже, для знаходження точки їх перетину треба розв’язати систему рівнянь:

 Може виявитись, що ця система має кілька дійсних розв’язків. Це означатиме, що ці дві лінії перетинаються в такій самій кількості точок. Якщо система рівнянь не має дійсних розв’язків, то задані дві лінії не перетинаються, тобто не мають спільних точок.

Приклад. При яких значеннях параметра  лінії

 і

 мають лише одну спільну точку?

 Р о з в ’ я з о к. Для знаходження спільних точок розглянемо систему рівнянь:

 З другого рівняння маємо . У результаті підстановки значення  у перше рівняння одержимо

 Щоб це рівняння мало лише один розв’язок, його дискримінант повинен дорівнювати нулю, тобто . Звідси . Отже, якщо  або , то задані лінії (першою з них є коло радіуса 4 з центром у початку координат, а другою є пряма лінія, що залежить від параметра ) мають лише одну спільну точку.

Б. Опис фігур на площині.

 Рівняння , де ,  і  - сталі величини, а

 і  - змінні, є рівнянням прямої на площині. Справді, з цього рівняння одержуємо

,

де , тобто рівняння має той же вигляд, що і в прикладі 2 попереднього пункту. Ті значення  і , які задовольняють це рівняння, зображають на площині точки, що належать цій прямій. Координати тих точок, які не лежать на прямій, не задовольняють рівнянню, тобто в результаті їх підстановки у рівняння в правій частині одержимо не нуль, а якесь число, відмінне від нуля, додатне або від’ємне.

Пряма лінія ділить всю площину на дві півплощини, причому, якщо координати якої-небудь точки , що належить якійсь півплощині, в результаті їх підстановки в рівняння дають число, більше нуля, то і всі точки цієї півплощини теж дадуть число, більше нуля. Тоді всі точки другої півплощини в результаті підстановки їх у рівняння дадуть число, менше нуля.

 Приклад.1.  - рівняння прямої. Побудуємо відповідну пряму і дослідимо півплощини, на які ця пряма ділить площину (рис. 3.2).

 Р о з в ’ я з о к. Усіма точками, що належать прямій , рівняння задовольняється , тобто ліва його частина перетворюється у нуль. Розглянемо точку . Якщо у рівняння замість  підставити і

 Рис.3.2. замість  теж , то одержимо від’ємне

 число. Тому і у всіх точках, що знаходяться нижче від прямої, матимемо нерівність , а вище прямої - .

 У загальному випадку пряма

  ділить площину  на дві півплощини. В одній із них матимемо , а в другій .

 Отже, півплощини задаються нерівностями  або .

 Якщо треба включити і граничну лінію півплощини, то пишуть

 або  залежно від того, яка півплощина мається на увазі.

 Якщо задано систему нерівностей, то вона, взагалі кажучи, визначає деякий многокутник.

 Приклад 2. Побудувати фігуру, що описується системою нерівностей:

 Р о з в ’ я з о к. Щоб побудувати граничну пряму, треба мати дві точки. Наприклад, для першої нерівності при  одержимо і при  одержимо . Тепер можна побудувати три граничні прямі (рис.3.3).

Розглянемо тепер яку-небудь точку, наприклад , і підставимо її координати у нерівності. Легко перевірити, що всі

 нерівності цією точкою задовольняються. Отже, система нерівностей описує область площини , обмежену сторонами трикутника, причому граничні прямі і  включаються в цю область, а

 Рис.3.3 пряма не включається (строга нерівність).

 Штрихування сторін трикутника спрямоване всередину трикутника. Це означає, що область, обмежена сторонами

трикутника, є його внутрішністю. Якби в заданій системі нерівностей всі знаки поміняти на протилежні, то область, що визначалась би одержаною системою нерівностей, була б зовнішньою по відношенню до трикутника. Якщо, наприклад, третю нерівність записати у вигляді , то одержимо область, обмежену відрізком , півпрямою  і півпрямою . Цілком можливі випадки, коли система нерівностей не визначає ніякої області на площині. У цьому випадку вона є суперечливою.

 Міркування, висловлені по відношенню до лінійних нерівностей можуть бути перенесені і на складніші (нелінійні ) нерівності та системи нерівностей. Наприклад, нерівність  описує внутрішність круга з центром у початку координат, включаючи і границю круга. У випадку строгої нерівності границя круга не входить до області площини, що описується нерівністю.

В. Лінії в полярній системі координат.

 При розгляді полярної системи координат було встановлено, що полярний радіус  змінюється від до , а полярний кут  може набувати значень , де .

 Лінію в полярній системі координат можна задати її рівнянням у вигляді  або .

 Побудова лінії здійснюється обчисленням  за заданими значеннями .

 Приклад 1. Побудувати графік функції ,  (чотирипелюсткова троянда).

 Р о з в ’ я з о к. Через те, що , то , тобто вся крива розміщена всередині круга радіуса .

 Для побудови графіка досить розглянути  у проміжку , бо внаслідок періодичності далі всі значення  будуть повторюватись. Значення  і  вигідно обчислювати, вибравши

певний масштаб для , через певні проміжки для .

Точку (рис.3.4) треба будувати на полярному радіусі. якщо . Наприклад, для  маємо (див. точку ),

а для  (див. точку ).

0

 

 Для детальнішого вивчення характеру лінії корисно полярне рівняння записати в прямокутних координатах, користуючись тим, що

 Тоді дане рівняння запишеться у вигляді

 Рис.3.4

 

 Звідси видно, що крива симетрична як відносно осі  так і відносно осі , тобто вона є центрально - симетричною. Цей факт значно спрощує побудову. Проте побудову лінії в даній задачі краще здійснювати за полярним рівнянням лінії.

 Приклад 2. Побудувати графік функції

.

Р о з в ’ я з о к. Побудова графіка в прямокутній системі координат досить важка. Але, якщо перейти до полярних координат, то рівняння стане значно простішим. Справді, введемо полярні координати: . Тоді матимемо

.

 Отже,

.

 Подальша побудова здійснюється так само, як і у попередньому прикладі. Але, перш ніж приступати до побудови, доцільно за допомогою рівняння в прямокутних координатах встановити, що потрібна крива симетрична як відносно осі , так і відносно осі . Тому криву досить

 Рис.3.5 побудувати у першій чверті, а потім

 її доповнити центрально- симетричним відображенням (рис.3.5).

3.2.4. Параметричні рівняння ліній

У деяких випадках, особливо в механіці, рівняння ліній записують так, що координати точки  і  виражаються як функції деякого допоміжного параметра. Таким параметром у механіці і у фізиці виступає час , тобто рівняння руху матеріальної точки записують у вигляді

 Тому такі рівняння і називають параметричними.

 Взагалі кажучи, з першого рівняння можна виразити  через , тобто . Якщо тепер це значення  підставити у друге рівняння, то одержимо

.

 Приклад. Дві прямі обертаються навколо двох нерухомих точок, залишаючись весь час взаємно перпендикулярними. Знайти множину точок їх перетину.

 Р о з в ’ я з о к. Нехай . Побудуємо прямокутну систему координат так, як показано на рис. 3.6. Введемо параметр  як кут прямої з віссю .

 Тоді

.

Отже, параметричні рівняння точок перетину прямих  і  будуть такими:

 Рис.3.6 Щоб перейти до декартових координат,

 піднесемо обидві рівності у квадрат і додамо їх. Тоді одержимо . Далі легко одержати таке рівняння: .

 Отже, шуканою множиною точок перетину прямих є коло радіуса  з центром у точці .

 

Література для самоосвіти: [1], [3], [4], [6], [9].