Тема 29. Похідна за напрямком і градієнт функції, основні властивості.

Питання теми

Похідна за напрямком

Градієнт функції

Основні властивості

7.8. Похідна функції за напрямком і градієнт

Нехай  - функція, означена в області . Розглянемо деяку точку  і деякий напрямок , визначений напрямними косинусами  і  (тобто  і  - косинуси кутів, утворених вектором  з додатними напрямками осей координат  і ). При переміщенні в заданому напрямку  (рис.7.10) точки  в точку  функція  одержує приріст

 , (7.46)

який називається приростом функції  в заданому напрямку .

Якщо  є величина переміщення точки , то із прямокутного трикутника  одержуємо , , отже,

 . (7.47)

Означення. Похідною  функції  в заданому напряму називається границя відношення приросту функції в цьому напрямку до величини переміщення при умові, що останнє прямує до нуля, тобто

 . (7.48)

З цієї точки зору похідні  і  можна розглядати як похідні функції  в додатних напрямках осей координат  і . Похідна  визначає швидкість зміни функції в напрямку .

Виведемо формулу для похідної , вважаючи, що функція  диференційована. Із означення диференціала функції випливає, що приріст функції відрізняється від диференціала функції на вищий порядок малості відносно приросту незалежних змінних. Тому

,

де  і  при  і . Звідси в силу співвідношень (7.47) одержуємо

.

Отже,

.

Переходячи до границі в останній формулі при ,тобто при  і , одержимо формулу для похідної функції в заданому напрямку:

 . (7.49)

Приклад. Обчислити в точці  похідну функції в напрямку, що складає кут  з віссю .

Р о з в ’ я з о к.

.

Зауваження. Для функції  її похідна в напрямку  дорівнює

  (7.50)

 Рис.7.10 Рис.7.11

При вивчені поведінки функції  в даній точці площини аргументів найбільшу зацікавленість являє питання про напрямок найвищого зростання  в цій точці. Задача розв’язується за допомогою вектора, який називається градієнтом функції .

Означення. Градієнтом функції  в точці в даній точці  називається вектор, розміщений в площині аргументів і , який має своїм початком цю точку  і має проекції на координатні осі, що дорівнюють значенням частинних похідних функції  в цій точці :

  (7.51)

Тут  - орти координатних осей  і .

Теорема. Градієнт диференційованої функції  в кожній точці за значенням і напрямком дає найбільшу швидкість зміни функції в цій точці.

Д о в е д е н н я. Запишемо вираз (6.71) похідної  як скалярний добуток двох векторів:

.

Перший із співмножників є .

Звідси  буде мати найбільше додатне значення лише в тому випадку, якщо напрямки векторів  і збігаються; це найбільше значення  дорівнює модулю, тобто числу

.

Теорема доведена.

Напрямок, протилежний градієнту, є напрямком найвищого спадання .

Приклад. Знайти напрямок найшвидшого зростання функції  в точці  і обчислити значення похідної в цьому напрямку.

Р о з в ’ я з о к. Обчислюємо градієнт функції в точці :

.

Отже, шуканий напрямок складає кут  з віссю .

Похідна .

Нехай точка  лежить на лінії рівня  в точці з рівнянням . Кутовий коефіцієнт дотичної до  в точці  (рис. 7.11) дорівнює  (7.61)). Кутовий коефіцієнт градієнта  в точці  дорівнює  .

Порівнюючи ці два кутові коефіцієнти, виводимо: градієнт функції  в точці  напрямлений за нормаллю до лінії рівня , яка проходить через точку .

Зауваження. Градієнт функції  в точці запишеться так:

 , (7.52)

де  - орти координатних осей.

Література для самоосвіти: [2], [4], [6], [9].