Тема 44. Маса лінії. Координати центра ваги плоскої кривої та фігури Приклади застосування означеного інтеграла до розв’язування простих задач механіки, фізики та інших областей. Деякі застосування в економіці.

Питання теми

Маса плоскої лінії

Статичні моменти і центр ваги

Обчислення моментів інерції

Обчислення роботи

Деякі задачі прикладного характеру

10.5. Застосування інтегрального числення у фізиці,

механіці, техніці

10.5.1. Маса плоскої лінії

 У класичній механіці матеріальні тіла часто зображують як просторову область  , що заповнена без прогалин речовиною. Якщо відома маса тіла і об’єм тієї області  , яку вона заповнює, то відношення маси до називається середньою густиною . Часто доводиться мати справу з тілами, в яких густина  в околі різних точок різна. Тоді густина буде функцією точки  , що належить області , тобто . Якщо розглянути нескінченно малу область , що оточує точку , об’єм якої дорівнює , маса – , то . Звідки

.

У випадку, коли  є функцією лише однієї змінної, наприклад , а  (саме цей випадок тут і розглядатиметься), то

 , (10.13)

де .

Якщо розглядати матеріальну плоску криву   з лінійною густиною розподілу мас  то маса елементарного кусочка кривої буде звідки одержимо формулу для обчислення маси кривої

  (10.14)

10.5.2. Статичні моменти і центр ваги Визначення. Статичним моментом  матеріальної точки маси  відносно осі (площини) називається добуток маси точки на її відстань  від осі (площини) :.

Про статичний момент відносно осі говорять лише тоді, коли система матеріальних точок (неперервна або дискретна) є плоскою, тобто знаходиться в одній і тій самій площині, що й вісь. Якщо ж система матеріальних точок не належить одній площині, то мова може йти лише про статичний момент відносно площини.

Для системи матеріальних точок мас  статичний момент  відносно осі (площини) визначається сумою , де  – відстані зі знаком ”+” або “-” залежно від того, де знаходяться точки (для точок, що лежать з одного боку від осі (площини) береться, наприклад, знак “+”, тоді для точок, що лежать з іншого боку, знак “-”).

Нехай у прямокутній системі координат  задана неперервна плоска система матеріальних точок (лінія ) або плоска фігура . Густина (лінійна для лінії, поверхнева для фігури) є функцією однієї змінної, наприклад  , тобто  

Виділивши на лінії елемент дуги, віддалений від осі  на відстань  (від осі  на відстань ) знайдемо елементарні статичні моменти  відносно осей  і :

Отже,

  (10.15)

Якщо центр ваги має координати ,

Звідси

  (10.16)

Розглянемо тепер питання про знаходження центра ваги плоскої фігури, густина маси якої

 Рис.10.11

. Якщо центр ваги фігури (рис. 10.11) знаходиться в точці , а маса фігури  , то згідно з формулами (10.16) , для знаходження  і потрібно знати статичні моменти і масу фігури. Виділимо на осі  елемент  і побудуємо смужку, паралельну осі . Її довжина дорівнює  Оскільки густина є функцією лише , то по всій довжині смужки густину можна вважати сталою, саму смужку – прямокутником (бо  – нескінченно мала величина, а тому центр ваги смужки знаходитиметься в точці з координатами ). Маса смужки . Отже,

Знехтувавши нескінченно малою вищого порядку, одержимо  Остаточно маємо

 (10.17)  (10.18)

Тепер, користуючись формулами (10.16), легко записати координати центра ваги фігури. Можна знайти і статичні моменти деяких тіл, якщо вдасться виразити густину у функції однієї змінної. Із формул (10.15) і (10.16) при , одержимо  де  – довжина дуги,

Помноживши останні дві рівності на , матимемо

У правій частині цих формул маємо величину  поверхні обертання кривої навколо осі, що її перетинає, а в лівій – добуток довжини дуги  на довжину кола, описаного з центром ваги кривої, тобто  (твердження відоме як перша теорема Гюльдіна). Ця теорема дозволяє знайти площу поверхні обертання кривої, центр ваги якої відомий, навколо осі, що її не перетинає. Наприклад, коло радіуса  , обертаючись навколо осі, що знаходиться в площині кола на відстані  від центра кола, утворює поверхню, яка називається тором. Центром ваги кола є його центр. Отже,  , а довжина кола, описаного центром ваги . Отже, поверхня тора

Розглядаючи формули (10.16) і (10.18), аналогічно одержимо при

де  - площа фігури, що обертається навколо осі, яка її не перетинає, а  - об’єм  тіла обертання, тобто остання рівність може бути записана як (друга теорема Гюльдіна).

Для прикладу розглянемо паралелограм  зі сторонами  і кутом  між ними. Нехай вісь обертання  походить через вершину  паралелограма перпендикулярно до сторони  . Легко перевірити , що об’єм тіла обертання

10.5.3. Обчислення моментів інерції

 1. Момент інерції плоскої кривої. Момент інерції системи  матеріальних точок  на площині  з масами  відносно точки  визначається так:

де

 Нехай деяка крива задана рівнянням  представляє собою матеріальну лінію з лінійною густиною  Розіб’ємо лінію на  частин довжини де  і на кожній частині дуги візьмемо довільну точку з абсцисою  . Ордината цієї точки буде  Тоді маси цих частин будуть Наближено момент інерції лінії відносно точки  буде обчислюватися за формулою Якщо функція та її похідна  неперервні на , то при  дана сума має границю і ця границя, що виражає визначений інтеграл, і визначає момент інерції матеріальної лінії відносно початку координат:

  (10.19)

 Аналогічно визначаються моменти інерції лінії відносно координатних осей  і  :

  (10.20)

  (10.21)

 2. Момент інерції тонкого однорідного стрижня. Розглянемо тонкий однорідний стрижень довжини  і обчислимо момент інерції відносно його кінця. Розмістимо стрижень на осі . Тоді момент інерції відносно точки  обчислимо за формулою (11.19)

 

Якщо маса стрижня  то  і

  (10.22)

 Можна, наприклад, обчислити момент інерції стрижня відносно його середини

 3. Момент інерції кола радіуса відносно центра. Оскільки всі точки кола знаходяться на однаковій віддалі від центра, а його маса то момент інерції кола буде

  (10.23)

 4. Момент інерції круга та циліндра. Розглянемо однорідний круг радіуса і масоюРозіб’ємо його на кілець і розглянемо одне із них, внутрішній радіус якого  а зовнішній (рис.10.12). Маса цього кільця з точністю до нескінченно малих вищого порядку відносно  буде

Момент інерції

цієї маси відносно центра дорівнює

наближено  

 Рис.10.12

 Момент інерції всього круга буде дорівнювати сумі моментів інерції всіх кілець і наближено становитиме  Перейшовши до границі при одержимо момент інерції круга відносно центра:

 Оскільки отримаємо

  (10.24)

 Очевидно, що момент інерції круглого циліндра, радіус основи якого і маса , відносно його осі виражається формулою (10.24).

10.5.4. Обчислення роботи

 Нехай матеріальна точка рухається вздовж прямої під дією сили причому сила співпадає з напрямком руху. Потрібно знайти роботу, що виконує сила при переміщенні точки У випадку, коли сила постійна за величиною на всьому шляху, то робота, яку виконує ця сила дорівнює добутку сили на переміщення.

 Припустимо, що сила ( величина її) неперервно змінюється в залежності від положення матеріальної точки, тобто

 Приклад 1. Резервуар, що має форму півсфери радіуса наповнений водою (рис.10.13). Яку роботу необхідно виконати, щоб викачати з нього воду?

 Виділимо на деякій висоті  елементарний об’єм. Об’єм виділеного елемента - це об’єм циліндра, висота якого  а в основі коло радіуса , тобто  Для знаходження  запишемо рівняння сфери  В горизонтальному перетині утворюється коло  звідки

 Тоді

  Рис.10.13

Висота, на яку необхідно підняти елементарний об’єм рідини, дорівнює  Тоді

 

Інтегруючи останню рівність, одержимо

  Приклад 2. Знайти денний виробіток  за робочий день тривалістю 8 годин, якщо продуктивність праці на протязі дня змінюється за емпіричною формулою

де час (год), розмірність продуктивності (одиниця продукції/год), розмірність часу (год). Ця формула дійсно відображає реальний процес роботи (рис.10.14): продуктивність спочатку росте, досягаючи максимуму в середині робочого дня при год, а потім падає.

 Р о з в ‘ я з о к. Вважаючи, що продуктивність змінюється на протязі дня неперервно, денний виробіток можна виразити означеним інтегралом:

де множник, що має розмірність одиниці продукції.

 Рис. 10.14

 Якщо би на протязі всього дня робота велася ритмічно і з максимальною продуктивністю то денний виробіток складав би  або приблизно на 21% більше. Рисунок 10.14 ілюструє розв’язок задачі: денний виробіток чисельно дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої зверху кривою друга крива показує ріст випуску продукції з часом (графік первісної  відповідає правій осі ординат ). Значення год відповідає точці перегину кривої в першій половині робочого дня інтенсивність виробітку продукції вища, ніж у другій. Штрихпунктирна пряма  відповідає випуску продукції з рівномірною продуктивністю

Література для самоосвіти: [2], [6], [7], [9], [12].