Тема 26. Випуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину. Асимптоти графіка функції. Схема дослідження функції та побудова її графіка. Функція попиту.

Питання теми

Випуклість і вгнутість графіка функції

Точки перегину

Асимптоти графіка функції

Схема дослідження функції та побудова її графіка

Гранична корисність і гранична норма заміщення

Функція попиту

6.18. Опуклість і вгнутість кривих. Точка перегину

 Нехай крива задана рівнянням , де  - неперервна функція, що має неперервну похідну  на деякому проміжку . Тоді в кожній точці такої кривої можна провести дотичну (ці криві ще називають гладкими кривими).

Візьмемо на кривій довільну точку , де , .

 Означення. Якщо існує окіл точки такий, що для всіх  відповідні точки кривої лежать над дотичною, проведеною до кривої в точці , то крива в точці називається вгнутою догори (рис. 6.15).

 Означення. Якщо існує окіл точки  такий, що для всіх  відповідні точки кривої лежать під дотичною, проведеною до кривої в точці , то крива в точці  називається вгнутою донизу (рис. 6.16).

 Означення. Точка називається точкою перегину кривої, якщо існує окіл точки  - такий, що для всіх  крива вгнута по один бік, а для всіх  - по другий бік (рис. 6.17, 6.18).

 Рис.6.15. Рис.6.16

 Якщо крива, задана рівнянням  в кожній точці деякого проміжку вгнута догори, її називають вгнутою на цьому проміжку; якщо крива в кожній точці проміжку вгнута донизу, її називають опуклою на даному проміжку.

Не всяка крива має точку перегину. Так, криві, зображені на рис. 6.21, 6.22, точок перегину не мають. Іноді крива може мати тільки одну, а іноді кілька точок перегину, навіть нескінченну множину.

Поставимо задачу: знайти точки вгнутості кривої та точки перегину, якщо вони існують. Для цього доведемо теорему.

 Теорема. Нехай крива задана рівнянням  і нехай існує окіл  точки такий, що функція

 Рис.6.17 Рис.6.18 Рис.6.19 Рис.6.20

 при кожному має похідні до другого порядку включно, причому  в точці є неперервною функцією. Тоді, якщо , то крива в точці  вгнута догори. Якщо , то крива в точці вгнута донизу.

З теореми випливає, що коли крива задана рівнянням , де - визначена і має неперервні похідні до другого порядку включно на деякому проміжку , і в кожній точці цього проміжку, то задана крива на цьому проміжку вгнута. Якщо , то задана крива на цьому проміжку опукла. Інакше, якщо  при , то крива не має точок перегину. Отже точка  може бути точкою перегину кривої, заданої рівнянням , якщо  або в точці  не існує, але  існує.

Надалі розглядатимемо випадок, коли  існує в усіх точках проміжку . Тоді корені рівняння можуть бути абсцисами точок перегину кривої. Те, що похідна другого порядку

дорівнює в даній точці нулю, є тільки необхідною умовою того, щоб  була абсцисою точки перегину кривої, але не достатньою.

 Для того, щоб знайти точки перегину кривої, заданої рівнянням , треба:

1) визначити від функції  похідну другого порядку  і прирівняти її до нуля . З коренів цього рівняння вибрати тільки дійсні корені і ті, які належать області існування функції;

2) в околі кожного вибраного таким чином кореня визначити знак похідної другого порядку  спочатку при значеннях , менших від розглядуваного кореня, а потім при значеннях , більших за даний корінь. Якщо при переході  через вибраний корінь  похідна  змінює знак, то точка  є точкою перегину заданої кривої. Якщо при переході  через  знак похідної другого порядку не змінюється, то  не є точкою перегину кривої.

Зокрема, якщо при переході через  змінює знак “+” на “-”, то крива при проходженні через точку перегину змінює відповідно свій вигляд із вгнутості на опуклість. Якщо  при переході через  змінює знак “-” на “+” , то крива при проходженні через точку перегину  змінює відповідно свій вигляд з опуклості на вгнутість.

Приклад. Знайти інтервали вгнутості й опуклості та точки перегину кривої, заданої рівнянням

.

 Р о з в ’ я з о к. Знаходимо похідні першого та другого порядків: ; .

 Прирівнюємо  до нуля. Дістанемо рівняння

,

звідки знаходимо корені

 Отже, в інтервалах  похідна , а в інтервалі  похідна . Тому в інтервалах  крива вгнута, а в інтервалі - опукла. Точки  є точки перегину кривої.

6.19. Асимптоти кривих

 Нехай крива задана рівнянням , де  є неперервною функцією на відрізку . Тоді задана крива всіма своїми точками знаходитиметься в замкненому прямокутнику , деє найбільше значення функції  на відрізку .

 Якщо функція  задана на нескінченному проміжку або у випадку, коли проміжок скінчений, але містить точки розриву другого роду заданої функції, то криву не завжди можна розмістити в прямокутнику. Тоді крива або окремі її вітки йдуть в нескінченність. При цьому може трапитися так, що крива на нескінченності, “розпрямляючись”, наближається до деякої прямої лінії (рис.6.21).

 Означення. Пряма лінія  називається асимптотою кривої , якщо відстань точки кривої  до прямої  прямує до нуля, коли точка по кривій рухається в нескінченність, тобто

.

 Рис.6.21

 Асимптоти розрізняють трьох типів: “горизонтальні” (паралельні осі ); “вертикальні” (паралельні осі ) і - “похилі”.

 Горизонтальні асимптоти мають рівняння , якщо ; вертикальні рівняння , якщо .

 Розглянемо задачу про відшукування похилих асимптот графіка. Нехай пряма  є похилою асимптотою графіка функції  (рис. 6.23).

 Із означення асимптоти

 . (6.106)

 Тоді

 . (6.107)

Перетворимо останній вираз:

Ця різниця можлива, якщо

звідки

 . (6.108)

Якщо  існує і скінчена, то із (6.115)

 . (6.109)

 Для існування похилих асимптот необхідне існування (і скінченність) обох границь (6.108) і (6.109). При цьому можливі такі окремі випадки.

1. Обидві границі існують, скінченні і не залежать від знаку:

;

.

В цьому випадку пряма  буде двосторонньою асимптотою графіка.

 2. Обидві границі існують і при , і при , але

.

При цьому хоч би  або .

 У даному випадку графік має дві односторонні асимптоти: праву  і ліву .

 3. Обидві границі існують лише при :

 Тут графік має лише праву асимптоту .

 4. Обидві границі існують лише при :

У даному випадку графік має лише ліву асимптоту .

 Приклад. Знайти асимптоти кривої

.

 Р о з в ’ я з о к. Знаходимо границю

.

Отже, .

 Знаходимо границю

.

Значить, .

Графік функції  має двосторонню асимптоту .

6.20. Загальна схема дослідження функції

 та побудова її графіка

 Наочне уявлення про хід зміни функції дає її графік, тому його побудова повинна бути заключним етапом дослідження функції, в якому мають використовуватися всі результати її дослідження. Для зручності дослідження функції рекомендуємо вести в деякій певній послідовності.

1. Знайти область існування функції. Це дає змогу визначити ті точки осі абсцис, над якими пройде чи не пройде графік функції.

2. Знайти точки перетину графіка з координатними осями. Для цього треба розв’язати дві системи рівнянь:

Перша система дає точки перетину з віссю , друга – з віссю .

 3. Дослідити функцію на періодичність, парність і непарність. Розв’язання цього питання полегшить побудову графіка в тому розумінні, що її доведеться виконувати не в усій області існування функції, а тільки в її частині. Так, якщо  - періодична функція з періодом , то графік достатньо побудувати на відрізку числової осі, довжина якого дорівнює , а потім цю частину графіка повторити на кожному відрізку довжини . Якщо функція парна, то графік функції симетричний відносно осі , якщо не тільки при , а потім симетрично відобразити і на від’ємні .

4. Знайти точки розриву функції та дослідити їх характер. Це допоможе встановити вигляд графіка функції поблизу цих точок.

5. Знайти значення функції на кінцях відрізків, де визначена функція. Якщо область існування функції є інтервал (півінтервал) або кілька інтервалів (півінтервалів), то треба знайти граничне значення функції, коли  наближається до одного з кінців розглядуваних проміжків.

6. Визначити інтервали монотонності функції.

7. Знайти екстремальні точки і побудувати їх на площині.

8. Знайти інтервали вгнутості та опуклості кривої, яка є графіком функції.

9. Знайти точки перетину і побудувати їх на площині.

10. Знайти асимптоти графіка функції.

11. Побудувати графік функції.

 

 Приклад. Дослідити функцію та побудувати її графік.

 Р о з в ’ я з о к.

1. Оскільки задана функція дробово-раціональна, то вона не існує в точках, де знаменник дорівнює нулю:

,

звідки .

 Отже, область існування є об’єднання множин .

 2. Нехай , тоді . Нехай , тоді . Отже, графік перетинає координатні осі в точці , тобто графік проходить через початок координат.

 3. Функція не періодична. Проте вона є непарною, тому розглядатимемо тільки .

 4. Чисельником і знаменником є многочлени, неперервні на всій числовій осі. Тому точкою розриву при є тільки одна точка . Дослідимо її характер. Знайдемо односторонні границі

.

 Отже,  є точка розриву другого роду; пряма є вертикальною асимптотою.

 5. Досліджуємо функцію на кінцях проміжків, вона визначена. В точці  ми її дослідили, тепер знайдемо

.

 6. Обчислимо

.

 Розв’яжемо нерівність :

.

Звідси, в інтервалі  функція зростає, а в інтервалах  - спадає.

 7. Знайдемо екстремальні точки. Розв’яжемо рівняння :

,

звідки матимемо стаціонарні точки .

 При переході  через точку  похідна  знака не змінює, а при переході через точку - змінює знак “-” на “+”. Тому  не є екстремальною точкою, а  є точкою мінімуму:

.

8. Знаходимо інтервали вгнутості та опуклості графіка функції

.

 Розв’яжемо нерівність :

.

Ця нерівність справджується при . Отже, в інтервалі  крива вгнута, а в інтервалі  - опукла.

 9. Знаходимо точку перегину. Для цього розв’язуємо рівняння :, звідки .

 При проходженні  через точку похідна змінює знак “+” на “-”. Точка  є точка перегину.

 10. Знаходимо похилі асимптоти:

;

.

Отже, .

Рівняння похилої асимптоти: .

 11. Будуємо графік функції (рис.6.22).

Рис.6.22

6.21. Гранична корисність і гранична норма заміщення

 Основним поняттям теорії споживання є функція корисності Ця функція виражає міру корисності набору , де кількість товару , а кількість товару  Чутливість набору  до незначної зміни  при фіксованому  називається граничною корисністю  і визначається як частинна похідна Аналогічно визначається гранична корисність  як Частіше всього лінії рівня функції корисності (їх ще називають кривими байдужості) є графіками спадних функцій. Тому будемо вважати, що для точок  і  розташованих на одній лінії рівня приростів  і мають різні знаки (рис.6.23).

 Нехай, для визначеності,  а  В цьому випадку говорять, що одиниць першого товару заміщується на  одиниць другого товару (мається на увазі перехід із в ).

 Граничною нормою заміщення  на  в точці  називається границя відношення коли точка  прямує до залишаючись на одній з лінії рівня функції  Гранична норма заміщення позначається  або

Нехай дотична до лінії рівня функції  в точці Із рис.6. видно, що січна прямує до коли тому

де кут нахилу дотичної Рівняння лінії  запишемо у вигляді

або

 Рис.6.23 Рис.6.24

Оскільки кутовий коефіцієнт даної прямої то

,

тобто гранична норма заміщення одного товару іншим дорівнює відношенню їх граничних корисностей.

6.22. Функція попиту

 Нехай ціна товару  ціна товару  дохід споживача. Нагадаємо, що функцією корисності  називається функція, що задає міру корисності (для споживача) набору товарів, який складається із  одиниць товару  і  одиниць товару  Будемо вважати, що споживач може купувати тільки такі набори , вартість яких не перевищує його доходу, тобто

 Означення. Нехай функція корисності  при довільних додатних  і має на множині єдину точку глобального максимуму Тоді  функції від  і

Ці функції називаються функціями попиту.

 Зміст цього визначення полягає в тому, що споживач прагне до найбільшого задоволення від куплених ним товарів при обмежених доходах.

З геометричної точки зору множина - трикутник з вершинами  (рис.6.24 ).

Як правило, функція  зростає при збільшення  і , тому найбільше її значення досягається на відрізку  тобто споживач витрачає на покупки весь свій дохід.

 Функції  є однорідними функціями нульового виміру. Отже, для диференційованої функції попиту виконуються тотожності Ейлера:

 Як правило, графік функції корисності є строго вгнутий. В цьому випадку умови Куна-Таккера дають можливість знайти функцію попиту. Нехай множники Лагранжа, причому  відповідає обмеженню  нерівності  нерівності Тоді функція Лагранжа запишеться так:

Умови Куна-Таккера для функції будуть такими:

Якщо наперед відомо, що функція попиту не перетворюється в нуль, то із четвертого і п’ятого рівнянь системи випливає, що В цьому випадку система буде простішою

Якщо  або  то із перших двох рівнянь системи випливає, що Але тоді  можна виключити із системи. В результаті отримаємо систему рівнянь

Література для самоосвіти: [2], [4], [6],[9], [12].