Тема 11. Лінійне відображення лінійного простору і його матриця, афінне відображення. Перетворення матриці відображення при заміні базису. Ортогональна матриця.

Питання теми

Лінійні простори.

Основні поняття.

Лінійна залежність. Базис.

Лінійні відображення і перетворення.

Перетворення матриці відображення при заміні базису.

4.3. Лінійні простори

4.3.1. Основні поняття

 У векторній алгебрі розглядалися множини (вектори), в яких були визначені операції додавання і множення на число. Двом векторам за правилом паралелограма ми співставляли вектор, який називався їх сумою. Вектору  і числу  співставлявся вектор, яки називається добутком  на число

 Розглядаючи множину матриць одних і тих же розмірів, ми ввели операції додавання (сума матриць), а також операцію множення матриці на число. Властивості цих операцій співпадають з відповідними операціями з векторами.

 В кожній множині операції визначаються по-своєму, але мають одні і ті ж властивості: комутативність і асоціативність додавання, дистрибутивність множення на число по відношенню до додавання чисел і т.д. Нижче будуть наведені й інші приклади множин, в яких визначені операції, що мають такі ж властивості.

 Природно виникає необхідність дослідити множину, що складається із елементів довільної природи, в якій визначені операції додавання двох елементів і множення елемента на число. Ці операції можуть бути визначені довільним чином, лише б мали певний набір властивостей.

 Означення. Множина називається лінійним простором, а його елементи – векторами, якщо:

1) Заданий закон (операція додавання), за яким довільним двом елементам із  ставиться у відповідність елемент який називається сумою.

2) Заданий закон (операція множення на число), за яким елементу  із і числу ставиться у відповідність елемент із який називається добутком  на і позначається

3) Для довільних елементів і  із  і довільних чисел

і виконуються такі вимоги (аксіоми):

 10.

 20.

 30. Існує елемент такий, що для кожного виконується рівність

 40. Для кожного існує елемент  такий, що

50.

60.

70.

80. Добуток довільного елемента на число 1 дорівнює  тобто

Якщо обмежитися дійсними числами, то  називається дійсним лінійним простором; якщо ж визначене множення на довільне комплексне число, то лінійний простір називається комплексним.

Вектор  називається протилежним вектору Вектор  називається нульовим вектором або нулем.

Приклад 1. Розглянемо множину визначених і неперервних на відрізку  функцій однієї змінної  Довільним двом функціям  і  із цієї множини можна співставити їх суму яка також буде визначена і неперервна на , а, значить, буде належати даній множині. Числу і функції  ставиться у відповідність функція яка, очевидно, також буде належати даній множині. Всі вісім аксіом виконуються. Роль нуля відіграє функція тотожньо рівна нулю. Отже, визначені та неперервні на відрізку  функції утворюють лінійний простір.

Приклад 2. Нехай множина всіх многочленів однієї змінної, степінь яких не вище заданого числа Сума двох многочленів із є також многочлен степеня не вище  і добуток многочлена із  на число належить Легко перевірити, що всі аксіоми лінійного простору виконуються. Роль нуля відіграє многочлен, всі коефіцієнти яких дорівнюють нулю.  буде дійсним або комплексним лінійним простором в залежності від того чи будуть многочлени з дійсними або комплексними коефіцієнтами.

Із аксіом випливає існування тільки одного нульового вектора, а також для кожного вектора існування тільки одного протилежного. Дійсно, допустимо, що існують два елементи 01,02, що задовольняють аксіомі 30. Тоді 01+02=01=02. Аналогічно, якщо деякий вектор  має два протилежних  і  то сума  повинна дорівнювати і  і

Рівність  означає, що протилежним для нульового вектора є він самий, а із рівності випливає, що протилежним вектором для  є вектор

Суму векторів  і  будемо позначати  і називати різницею векторів  і

Звідси випливає, що  для довільного  Дійсно,

Добуток довільного числа на нульовий вектор дорівнює нульовому вектору

Якщо  то або , або

Вираз

називається лінійною комбінацією векторів

 

4.3.2. Лінійна залежність. Базис

 Лінійна комбінація називається тривіальною, якщо всі її коефіцієнти дорівнюють нулю.

 Означення. Система векторів  називається лінійно незалежною, якщо їх лінійна комбінація дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли всі її коефіцієнти дорівнюють нулю. В противному випадку, тобто коли існує рівна нулю нетривіальна лінійна комбінація векторів, система векторів називається лінійно залежною.

 Система із  векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один із векторів є лінійною комбінацією інших. Якщо в систему входить нульовий вектор, то вона є лінійно залежною.

 Означення. Базисом в просторі  називається довільна впорядкована кінцева система векторів, якщо: а) вона є лінійно незалежною; б) кожний вектор із  є лінійною комбінацією векторів цієї системи.

 Впорядкована система координат – це, коли кожному вектору в даній системі відповідає певний номер. Із однієї і тієї ж системи векторів можна одержати різні базиси, нумеруючи по-різному вектори.

 Коефіцієнти розкладу довільного вектора простору за векторами базису називаються компонентами або координатами
вектора в цьому базисі.

 Вектори базису  будемо записувати як матрицю-рядок:  а координати  вектора  за базисом в матрицю-стовпчик: який назвемо координатним стовпчиком вектора.

 Тоді ми можемо записати розклад вектора за базисом в такому вигляді

  (4.10)

 Теорема 1. В заданому базисі координати вектора визначаються однозначно.

 Д о в е д е н н я. Допустимо протилежне. Нехай маємо дві рівності  і  з яких випливає  В силу лінійної незалежності векторів  всі коефіцієнти лінійної комбінації дорівнюють нулю, тобто  при всіх

 Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли лінійно залежні їх координатні стовпчики.

 Координатний стовпчик суми векторів дорівнює сумі їх координатних стовпчиків. Координатний стовпчик добутку вектора на число дорівнює добутку координатного стовпчика даного вектора на це число.

 Для доведення досить виписати такі рівності:

  

 Теорема 2. Якщо в лінійному просторі існує базис із  векторів, то довільний інший базис в цьому просторі складається із того ж числа векторів.

 Д о в е д е н н я. Нехай в лінійному просторі існує два базисі  і причому Кожний з векторів базису розкладемо за векторами базису і складемо матрицю, стовпчиками якої будуть одержані координатні стовпчики. Кожний стовпчик має висоту  а їх всього Тому матриця має розміри  і ранг її не перевищує  В силу теореми 2 п.4.1.3 стовпчики матриці лінійно залежні, а, значить, залежні і вектори Таким чином, наше припущення приводить до протиріччя. Теорема доведена.

 Означення. Лінійний простір, в якому існує базис із  векторів, називається вимірним, а число розмірністю простору. Розмірність простору будемо вказувати нижнім індексом, наприклад - вимірний лінійний простір.

 В нульовому просторі немає базису, оскільки система, що складається із одного нульового вектора, є лінійно залежною. Розмірність нульового простору дорівнює нулю.

 Може виявитися, що яке б не було натуральне  в просторі  знайдеться  лінійно незалежних векторів. Такий простір називається нескінченновимірним. Базису в ньому не існує.

 Якщо в вимірному просторі задані два базиси  і , то ми можемо розкласти кожний вектор базису  за векторами базису :

  (4.11)

Координати  можна записати у вигляді квадратної матриці

Стовпчики матриці це координатні стовпчики векторів  за базисом  Тому стовпчики матриці  лінійно незалежні і

 Матриця, ий стовпчик якого є координатний стовпчик вектора  за базисом називається матрицею переходу від базису до базису

 Рівність (4.11) можна записати в матричному вигляді

  (4.12)

 Перемножуючи рівність (4.12) на матрицю  одержимо

Звідси випливає, що  є матрицею переходу від базису  до

 Вияснимо, як зв’язані між собою координати одного і того ж вектора в двох базисах  і Позначимо через  і  координатні стовпчики вектора  в цих базисах. Це означає, що  і  звідки одержимо  Якщо матриця переходу від базису  до  то  і тоді  або  З останньої рівності одержимо:

  (4.12)

4.3.3. Лінійні відображення і перетворення

 Означення 1. Нехай  і два лінійних простори. Відображенням  простору  в простір  називається закон, за яким кожному вектору із співставляється єдиний вектор із . Ми будемо це записувати коротко так:  Образ вектора  позначається

 Означення 2. Відображення  називається лінійним, якщо для довільних двох векторів і  із і довільного числа виконуються рівності

  (4.13)

 Із означення випливає, що при лінійному відображенні лінійна комбінація векторів переходить в таку ж лінійну комбінацію їх образів.

 Лінійне відображення називається лінійним перетворенням, якщо простори і  співпадають.

 Приклади.

 1. При афінному перетворенні простору трьохвимірний простір векторів відображається сам на себе. При цьому сума векторів переходить в суму образів, а результат множення вектора на число – в добуток його образу на це ж число. Тому афінне перетворення є лінійним.

 2. Нехай  і  простір функцій, які неперервні відповідно на відрізках  і  Співставимо функції  із  функцію  із  Так побудоване відображення, очевидно, є лінійним.

 3. Розглянемо вимірний простір  (простір стовпчиків висоти ) і матрицю  Спів ставимо кожному стовпчику  із  стовпчик  Він має висоту Таким чином визначається відображення в В силу властивостей множення матриць це відображення буде лінійним.

 4. Відображення, що співставляє кожному вектору нульовий, є лінійним. Воно називається нульовим відображенням.

 Розглянемо лінійні простори і  розмірностей  і  і відображення  Нехай  базис в просторі Тоді образ довільного вектора  може бути представлений у вигляді

  (4.14)

 Виберемо базис в просторі . Нехай це  Кожний вектор  розкладемо за цим базисом

 Якщо компоненти вектора  за базисом  позначити то рівність (4.14) можна переписати так:

Звідси, в силу єдності розкладу за базисом, маємо

  (4.15)

 Якщо із чисел  скласти матрицю

то рівність (4.15) можна записати в матричній формі

  (4.15/)

 Означення. Матрицею лінійного відображення  в парі базисів і  називається матриця, стовпчики якої є координатними стовпчиками векторів  за базисом

 Очевидно, що матрицею лінійного відображення  є матриця  яка визначена вище . Матриця лінійного відображення визначається однозначно. Якщо ми маємо лінійне перетворення, то матриця буде квадратною.

 Отже, вибір базису в просторах  і  встановлює взаємно однозначну відповідність між лінійними відображеннями  в  і матрицями розмірності

 Розглянемо лінійне відображення  Нехай в і  вибрані базиси  і  а лінійне відображення  задається матрицею Перейдемо в просторах і  до базисів  і  з матрицями переходу і  відповідно. В базисах  і лінійне відображення  має матрицю переходу  Потрібно знайти зв’язок між і  

 Розглянемо довільний вектор  і його образ Позначимо координатні стовпчики  в базисах  і  відповідно через  і  а координатні стовпчики вектора  в базисах  і  через  і За формулою (4.12) маємо

 Підставивши ці вирази в формулу (4.15/), одержимо звідки знаходимо  Але, з другого боку,  за визначенням  Оскільки матриця лінійного відображення для даної пари базисів однозначно визначена, одержимо

  (4.16)

Формула (4.16) дає зміну матриці лінійного відображення при заміні базисів.

 Якщо маємо лінійне перетворення  то  і формула (4.16) приймає вигляд

  (4.16/)

 Розглянемо два лінійних відображення  і .

 Сумою відображень  і називається відображення  яке визначається рівністю  Якщо в і  вибрані базиси, то координатні стовпчики векторів  і  запишуться через матриці відображень як  і Отже,  буде мати координатний стовпчик  тобто лінійне відображення і його матриця дорівнює сумі матриць відображень і

 Добуток лінійного відображення  на число визначається як відображення  яке співставляє вектору  вектор Легко перевірити, що воно є лінійним і має матрицю

 Добутком відображень називається результат послідовного виконання двох лінійних відображень  і  і позначається  (відображення, яке виконується першим, пишеться справа ).

 Нехай в просторах  і вибрані базиси  і  а  і матриці відображень  і  в базисах  і  та  і відповідно. Розглянемо координатний стовпчик  довільного вектора Координатні стовпчики векторів  і  позначимо відповідно через  і Тоді за формулою (4.12) маємо  і  Отже, відображення має матрицю в базисах  і

Література для самоосвіти: [1], [9], [11].