Тема 42. Визначення та обчислення об’єму тіла за площами паралельних перерізів; об’єм тіла обертання.

Питання тем

Визначення та обчислення об’єму тіла

Обчислення об’єму тіла за площами його поперечних перерізів

Обчилення об’єму тіла обертання

10.2. Обчислення об’ємів

10.2.1.Обчислення об’єму тіла за його за площами

 поперечних перерізів

На рис. 10.5 задано тіло, що обмежене зверху поверхнею  , а також площинами , , , .

Нехай треба визначити будь-яку площу  перерізу тіла

площиною, перпендикулярною до осі . Виділимо в тілі частинку, одержану двома паралельними перерізами, віддаленими один від одного на величину .Тоді об’єм виділеної частини  

Інтегруючи, отримаємо

  (10.5)

 Рис.10.5 Рис.10.6

10.2.2. Об’єм тіла обертання

Нехай фігура  (рис.10.6) обертається навколо осі . У результаті утвориться тіло обертання. Знайдемо його об’єм. Для цього виділимо смужку шириною  . Його висоту можна взяти такою, що дорівнює. У результаті обертання фігури  навколо осі  смужка опише циліндричне тіло висотою  з радіусом основи  . Його об’єм  Після інтегрування отримаємо

  (10.6)

Приклад 1. Гіперболічний циліндр перетнутий двома площинами, з яких перша перпендикулярна до твірної, а друга проходить через фокус гіперболи перетину циліндра першою площиною так, що лінія її перетину з першою площиною перпендикулярна до осі гіперболи і утворює кут  з першою площиною (рис. 10.7). Знайти об’єм гіперболічного відрізка , якщо відстань від фокуса гіперболи до її найближчої вершини дорівнює

2 м, а довжина перпендикулярного до її осі відрізка , що з’єднує дві точки гіперболи і проходить через фокус, дорівнює 10 м .

Р о з в ‘ я з о к. Нехай відрізок

 м,м, фокус гіперболи ,  – одна з віток гіперболи. Позначимо , . Тоді точка  матиме координати

 

 Отже рівняння гіперболи буде таким:  

Підставивши сюди координати точки  і, враховуючи, що  , одержимо таку систему рівнянь для визначення  і :

 Рис.10.7

Звідси

Із рівняння гіперболи знаходимо (тут розглядається

лише одна вітка гіперболи при ). Перетнемо тіло  площинами  i , паралельними площині  . В результаті одержимо скибку товщиною , віддалену від площини  на відстань  і висотою  .Через те , що  нескінченно мала величина, то цю скибку можна вважати призмою, висота якої дорівнює . Тому її об’єм

Звідси

Приклад 2. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі  синусоїди (рис. 10.8).

Р о з в ‘ я з о к. Відступимо тут від стандартної формули для обчислення об’єму тіла обертання (див. 10.6), бо вона,в даному випадку приводить до складніших обчислень. Підемо іншим шляхом, розглянувши

елементарний об’єм тіла,

утвореного обертанням навколо осі  виділеної

 смужки. У результаті її обертання

 Рис.10.8

утвориться тонкостінна циліндрична трубка, висота якої , внутрішній радіус , зовнішній – . Її об’єм  з точністю до нескінченно малих першого порядку. Тому

Література для самоосвіти: [2], [4], [7], [9].