Тема 12. Власні числа і власні вектори квадратної матриці, характеристичне рівняння.

Питання теми

Власні числа і власні вектори лінійного перетворення.

Характеристичне рівняння.

Властивості власних векторів і власних значень.

4.3.4. Власні вектори і власні значення лінійного перетворення

 Означення. Ненульовий вектор  який задовольняє умові

 , (4.17)

називається власним вектором лінійного перетворення а число власним значенням. Говорять, що власний вектор  відповідає власному значенню

 Задача знаходження всіх власних векторів лінійного перетворення має важливе значення як для кінцево вимірних просторів, так і у випадку нескінченновимірних просторів. Ми розглянемо її для лінійного простору кінцевого виміру

 Якщо в просторі  вибраний базис, то рівність (4.17) можна записати в координатах як що зв’зує матрицю перетворення  і координатний стовпчик  вектора або

  (4.18)

де одинична матриця  В розгорнутому вигляді (4.18) можна записати так:

  (4.18/)

Із рівності (4.18/) знаходимо координати власного вектора  Це система  лінійних алгебраїчних рівнянь з  невідомими. Оскільки власний вектор ненульовий вектор, то не всі його координати повинні бути рівними нулю. Однорідна система (4.18/) має нетривіальні розв’язки тільки тоді, коли її визначник дорівнює нулю, тобто

  (4.19)

Рівняння (4.19) називається характеристичним рівнянням. Із характеристичного рівняння знаходяться всі власні значення лінійного перетворення Ясно, що в дійсному просторі комплексні корені не можуть бути власними значеннями.

 Знайшовши із рівняння (4.19) всі власні значення , ми кожне із них підставляємо в систему (4.18/) і знаходимо власні вектори , що відповідають цим власним значенням.

 Приклад. Знайти власні значення та власні вектори лінійного перетворення що задається в деякому базисі матрицею

 Р о з в ‘ я з о к. Запишемо характеристичне рівняння (4.19)

, тоді  і власні значення матриці   Нехай  власний вектор, що відповідає власному значенню  Для визначення його координат запишемо систему рівнянь (4.18/)

загальний розв’язок якої буде

Оскільки ми шукаємо ненульові розв’язки однорідної системи, то, покладаючи  і  одержимо два власних вектори, що відповідають власному значенню  

 і  причому

Приведемо без доведення деякі властивості власних векторів і власних значень.

 10. Власні вектори , що відповідають попарно різним власним значенням , лінійно незалежні.

 20. Якщо  і матриці лінійного перетворення  в різних базисах, то характеристичні многочлени цих матриць співпадають, тобто

 30. Якщо деяке власне значення  перетворення  є коренем характеристичного рівняння кратності то йому відповідає не більше лінійно незалежних власних векторів.

 40. Власні значення симетричної матриці дійсні, а власні вектори, що відповідають різним власним значенням ортогональні.

 50. Матриця лінійного перетворення  в базисі має діагональний вигляд тоді і тільки тоді, коли всі вектори базису – власні вектори перетворення, причому на головній діагоналі знаходяться його власні значення.

60. Якщо всі корені характеристичного многочлена матриці

різні, то існує така матриця  із визначником, що не дорівнює нулю, що матриця  діагональна.

 Доведення цих властивостей можна знайти в більш детальних підручниках (див., наприклад, Д.В.Беклемишев. Курс аналитической геометри и линейной алгебры. - М.: Наука. 1980.- 336 с.).

Література для самоосвіти: [1], [9], [11]