Тема 61. Властивості степеневих рядів. Неперервність суми. Інтегрування і диференціювання степеневих рядів.

Питання теми

Властивості степеневих рядів

Неперервність суми

Інтегрування степеневих рядів

Диференціювання степеневих рядів

13.10.3. Властивості степеневих рядів

 Теорема 1 (неперервність суми степеневого ряду). Сума  степеневого ряду (13.39) є неперервною всередині проміжку збіжності.

 Д о в е д е н н я. Візьмемо деяке додатне  Тоді числовий ряд з додатними членами

  (13.49)

збігається. Але при  члени ряду (13.39) за абсолютною величиною не більші відповідних членів ряду (13.49). Тому, за ознакою Вейєрштрасса, ряд (13.39) рівномірно збігається на відрізку  і його сума буде неперервною на цьому відрізку.

 Наслідок. Якщо границі інтегрування ,  лежать всередині інтервалу збіжності степеневого ряду , то за теоремою 3 (п.13.9.3) його можна почленно інтегрувати на проміжку , оскільки він буде рівномірно збігатися на , що містить проміжок  ().

 Теорема 2 (диференціювання степеневих рядів). Якщо степеневий ряд (13.39)

має інтервал збіжності , то ряд

  (13.50)

одержаний почленним диференціюванням ряду (13.39), має той же інтервал збіжності ; при цьому сума ряду (13.50)  де сума ряду (13.39).

 Д о в е д е н н я. Доведемо, що ряд (13.50) рівномірно збігається на відрізку який повністю лежить всередині інтервалу збіжності.

 Для цього візьмемо деяку точку  таку, що  В цій точці ряд (13.39) збігається, значить а тому можна вказати таке постійне число  що  . Якщо  то

де

 Таким чином, члени ряду (13.50) при  за абсолютною величиною менші за члени числового ряду з додатними членами:

 За ознакою Даламбера цей ряд збігається:

Отже, ряд (13.50) рівномірно збігається на відрізку і за теоремою 4 (п.13.9.3) його сума є похідна від суми даного ряду на відрізку , тобто  

 Оскільки довільну внутрішню точку інтервалу  можна помістити в деякий відрізок то звідси випливає, що ряд (13.50) збігається в довільній внутрішній точці інтервалу

 Доведемо тепер, що ряд (13.50) розбігається поза інтервалом  Припустимо, що ряд (13.50) збігається при деякому Інтегруючи його почленно в інтервалі  де ми одержали б, що ряд (13.39) збігається в точці а це протирічить умовам теореми. Таким чином, інтервал  є інтервал збіжності ряду (13.50). Теорема повністю доведена.

 Ряд (13.50) знову можна почленно диференціювати і продовжити так як завгодно багато разів. Отже, одержимо висновок:

 Наслідок. Якщо степеневий ряд збігається в інтервалі  то його сума представляє собою функцію, що має всередині інтервалу збіжності похідні довільного порядку, кожна з яких є сумою ряду, одержаного в результаті почленного диференціювання даного ряду відповідне число разів; при цьому інтервал збіжності кожного ряду, одержаного в результаті диференціювання, є той же інтервал

 Приклад 1. Знайти інтервали збіжності степеневих рядів.

 а) ; б) .

 Р о з в ‘ я з о к. а) Знайдемо радіус збіжності степеневого ряду за формулою (13.44)

.

Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу, тобто при

При :  розбігається, тому що

При :  розбігається (не виконується

необхідна умова збіжності). Отже, ряд збігається при

 б) За формулою (13.45) знаходимо радіус збіжності

При  : .

Оскільки

, то

знакочергуючий ряд розбігається.

При :  розбігається (не виконується

необхідна ознака збіжності. Інтервал збіжності даного ряду

 Приклад 2. Знайти суму ряду

 Р о з в ‘ я з о к. Позначимо суму цього степеневого ряду через  Радіус збіжності даного ряду  а інтервал збіжності  Продиференціюємо почленно його два рази (наслідок теореми 2) :

Останній ряд рівномірно збігається всередині проміжку  і представляє собою суму нескінченно спадної геометричної прогресії із знаменником  а тому сума

 Зауважимо, що

 Розв’язуючи дане диференціальне рівняння із заданими початковими умовами, одержимо:

 Оскільки то  і сума заданого ряду