Тема 37. Основні властивості означеного інтеграла. Формула Ньютона- Лейбніца.

Питання теми

Властивості визначеного інтеграла

Формула Ньютона-Лейбніца

9.3. Властивості визначеного інтеграла

Означення визначеного інтеграла  було до цього часу дане для інтервалу , тобто при . Від цього обмеження звільняє нас наступна властивість:

10.

 Доводять це твердження на основі побудови інтегральних сум, роздроблюючи інтервал  на частини в напрямі від  до  точками на осі  з абсцисами

 де  Якщо перелік точок розбиття вести від  до , матимемо

Для цих двох послідовностей одержимо такі інтегральні суми:

де  - довільна точка з інтервалу

Перейшовши в цих сумах до границі, коли , одержимо

20. .

Доведення легко здійснити , вважаючи  у попередній властивості.

30. Для довільних двох інтегрованих функцій ,  і постійних  має місце рівність

Ця властивість випливає із властивості границь (границя суми дорівнює сумі границь і постійний множник виноситься за знак границі. Ця властивість справедлива для довільного числа доданків.

40. Для довільних трьох чисел справедлива рівність

  (9.2)

Доведемо спочатку це твердження для  Побудуємо інтегральні суми на інтервалі  і на інтервалах  і

Оскільки границя інтегральної суми не залежить від способів розбиття відрізка  на частинки, то ми можемо розбити відрізок  на малі відрізки так, щоби точка  була точкою поділу. Тоді інтегральну суму по всьому відрізку можна розбити на дві інтегральні суми ( по відрізку  та по відрізку  ):

 Перейшовши в даній рівності до границі при  одержимо співвідношення (9.2).

 Якщо  то за доведеною властивістю можна написати

, звідки

50. Нехай на  - інтегрована на . Тоді

,

що очевидно. Звідси .

Величина називається середнім значенням інтеграла . Очевидно, що між числами  i  знайдеться таке число , що  . Але це число , яке знаходиться між найменшим та найбільшим значенням неперервної функції  повинно бути деяким значенням функції. Звідси ми одержуємо теорему, що носить назву теореми про середнє в інтегральному численні.

60. Теорема (про середнє) . Якщо – неперервна на відрізку  і , то на  знайдеться таке число  , що

 . (9.3)

70. Якщо на відрізку , де  функції  і  задовольняють умові  то

  (9.4)

 Розглянемо різницю

Тут кожна різниця

  Отже, кожний доданок суми невід’ємний, невід’ємна і вся сума, а тому і границя невід’ємна, тобто

 Із (10.4) при одержимо, що для

 80. Якщо  на  - інтегрована і  , то

9.4. Формула Ньютона-Лейбніца

 

 Будемо вважати, що нижня границя у визначеному інтегралі  зафіксована, а верхня  буде змінюватися, тобто розглянемо інтеграл  (ми тут позначили змінну границю звичною для нас буквою ). При постійному  цей інтеграл буде функцією від  яку позначимо через

Теорема 1. Якщо неперервна функція і , то має місце рівність

 

 Іншими словами, похідна від інтеграла за верхньою межею дорівнює підінтегральній функції, в яку замість змінної інтегрування підставлено значення верхньої межі.

 Д о в е д е н н я. Надамо аргументу  приросту Тоді одержимо (за властивістю 40 )

Приріст функції  дорівнює

 Тоді

До останнього інтеграла застосуємо теорему про середнє

 де  лежить між  і  Зауважимо, коли  то Отже,

 (остання рівність має місце в силу неперервності функції  Теорема доведена.

 Наслідок. Довільна неперервна функція має первісну.

 Дійсно, якщо функція  неперервна на відрізку то за теоремою про існування означеного інтеграла існує означений інтеграл , тобто існує функція За теоремою 1 вона є первісною від

 Теорема 2. Якщо  яка-небудь первісна від неперервної функції то справедлива формула

  (9.5)

Ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Д о в е д е н н я. Нехай деяка первісна від функції  За теоремою 1 функція також є первісною від функції Але дві довільні первісні від однієї і тієї ж функції відрізняються одна від одної на постійний доданок Отже, ми можемо написати

Ця рівність є тотожністю, а тому вона при відповідному виборі  справедлива для всіх значень  Для визначення покладемо в даній тотожності Тоді

 Отже,

 Поклавши  одержимо формулу Ньютона-Лейбніца:

або, замінивши позначення змінної інтегрування  на одержимо формулу (9.5).

 Якщо ввести позначення

формулу (9.5) можна записати так:

 Формула Ньютона-Лейбніца дає практичний і зручний метод обчислення визначеного інтеграла в тому випадку, коли відома первісна від підінтегральної функції. Тільки з відкриттям цієї формули визначений інтеграл зміг отримати те значення в математиці, яке він має сьогодні. Обчислення визначеного інтеграла як границю інтегральної суми були відомі ще за часів Архімеда, проте застосування цього методу обмежувалося тими простими випадками, коли вдавалося обчислити ці границі. Формула Ньютона-Лейбніца встановлює простий зв’язок між первісною та визначеним інтегралом, що значно розширює область застосування визначеного інтеграла до різних задач техніки, механіки, астрономії і т. д.

Приклад. Обчислити інтеграл

Р о з в ’ я з о к. На підставі таблиці основних інтегралів і формули (9.5)маємо

 Теорема 3. Нехай  інтегрована на і має скінчену кількість точок розриву першого роду,  – неперервна функція і є первісною від  на інтервалі . Тоді

.

Література для самоосвіти: [2], [4], [7], [9].