Тема 39. Невласні інтеграли з безмежними границями та з необмеженою підінтегральною функцією.

Питання теми

Невласні інтеграли з безмежними границями

Невласні інтеграли від необмежених функцій

9.7. Невласні інтеграли та їх застосування

Усі поняття, зв’язані з інтегралами, що розглядалися раніше, як правило, стосувалися інтегрованих функцій на замкненому інтервалі. Проте в багатьох застосуваннях доводиться мати справу з інтегралами або від необмежених функцій на нескінченному замкненому інтервалі, або з інтегралами на нескінченному проміжку інтегрування. В останніх двох випадках інтеграли називаються невласними.

9.7.1. Невласні інтеграли на необмежених інтервалах

Розглянемо спочатку випадок, коли функція однієї змінної задана на нескінченному інтервалі

Нехай для кожного фіксованого  функція  на  інтегрована, тобто  для всіх  визначена і неперервна функція. Тоді  позначається символом , який називається невласним інтегралом на необмеженому інтервалі. Якщо величина цього інтеграла скінчена й існує, то цей інтеграл називається збіжним. Якщо величина цього інтеграла нескінченна або не існує, то інтеграл називається розбіжним. Так, наприклад,

 

Отже, дані інтеграли є збіжні.

Інтеграл  - розбіжний.

Цілком аналогічно, коли  задана на інтервалі  і для всякого фіксованого  інтегрована, то  У випадку задання функції  на інтервалі  , вважаючи, що вона інтегрована за будь-якого фіксованого , матимемо інтеграл , який можна подати так:

Наприклад,

 -

збіжний інтеграл, а інтеграл

 

розбіжний.

Вважаючи, що на проміжку  функція  не має особливих точок, розглянемо інтеграл . Його можна

трактувати так:

де граничний перехід за  i  вважається незалежним один від одного. Може виявитися, що в цьому розумінні границя не існуватиме при  . У цьому випадку границю називають головним значенням інтеграла  і позначають символом

Приклад.

не існує,

але

Критерії збіжності. Абсолютна збіжність.

Оскільки  за допомогою заміни змінної  переходить у , далі досить розглядати лише інтеграл вигляду .

Питання збіжності або розбіжності невласного інтеграла є досить важливим у застосуваннях. Якщо в результаті якихось досліджень одержали невласний інтеграл, перш ніж його обчислювати, потрібно встановити, існує він чи ні, буде збіжним чи розбіжним. Якщо він не існує або розбіжний, то його обчислення не потрібні. Кожен, хто візьметься за його обчислення, не дослідивши на збіжність, марно витратить час.

Правильні такі твердження:

10. Нехай  і на кожному обмеженому інтервалі  інтегрована. Тоді інтеграл  збіжний в тому й тільки в тому випадку, коли функція , визначення рівнянням , залишається обмеженою для всіх .

Зауваження. Якщо в цьому твердженні відкинути умову , то воно може виявитись хибним. Нехай, наприклад, дано інтеграл  Первісною тут є - обмежена функція , але подвійна підстановка  не має змісту, бо  при  не прямує ні до якої границі: інтеграл не існує.

20. Інтеграл  тоді й тільки тоді збіжний, коли будь-якому заданому числу  відповідає таке число , що при  і  виконується нерівність

Приклад. Довести, що  - збіжний.

Д о в е д е н н я.

звідси  , якщо  тобто

30. Якщо  збіжний, то збіжним є також інтеграл  і при цьому . Інтеграл  називається абсолютно збіжним, якщо збіжний.

40. Теорема порівняння. Якщо для  виконується нерівність , причому ці обидві функції невід’ємні, то із збіжності інтеграла  випливає збіжність інтеграла , а із розбіжності  випливає розбіжність .

Як функція порівняння, важливу роль відіграє функція . Оскільки  і , одразу ж стає зрозумілим, що  збіжний при і розбіжний, якщо

Приклади. Дослідити збіжність інтегралів:

а), б) , в)

Р о з в ’ я з о к. а) Оскільки , то

 Безпосереднім обчисленням останнього інтеграла легко встановити, що він збіжний при  Тому і даний інтеграл є збіжний при  Неважко довести, що при  інтеграл розбіжний.

б) Інтегруванням частинами дістанемо

 

Звідси елементарно одержимо такі висновки: заданий інтеграл збіжний при ; якщо , то збіжність буде неабсолютною; при  інтеграл збіжний абсолютно, бо

при  інтеграл розбіжний.

в) Для дослідження інтеграла  доведемо спочатку, що існує таке , за якого вірна нерівність Оскільки при  ця нерівність виконується, то для тих значень , за яких , виконуватиметься і дана нерівність.

Нерівність для похідних лівої і правої частин набирає вигляду  і виконується при . Справді, маємо , що істинно. Отже, для всіх  маємо . Інтеграл  збіжний, якщо збіжним є інтеграл . Оскільки  для  то  збіжний при , тобто при для всіх скінчених  .

Цілком очевидно, що при  заданий інтеграл розбіжний.

На основі теореми порівняння створено ряд конкретних критеріїв збіжності невласних інтегралів. Заслуговує на увагу і такий критерій збіжності:

50. Якщо існує границя

 ,

то із збіжності інтеграла  при  випливає збіжність інтеграла , а із розбіжності першого інтеграла при C > 0 випливає розбіжність другого.

 Сформулюємо ще одну ознаку збіжності, незалежну від теореми порівняння і застосовну навіть для знакозмінної підінтегральної функції.

60. Якщо інтеграл  є обмеженою функцією величини , тобто , а  -

монотонна функція, що прямує до нуля при , то інтеграл

 збіжний.

З цим, а також з іншими критеріями збіжності інтегралів детальніше можна ознайомитись в кн. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – Т. 3. – М., Л.: Гостехиздат, 1949.

9.7.2. Невласні інтеграли від необмежених функцій

Нехай на інтервалі  задана функція , яка хоча б на одному із кінців або навіть всередині інтервалу має розриви другого роду, наприклад, при  

Розглянемо інтеграл  . Виникає питання про те, існує чи ні такий інтеграл. Якщо існує, то за яких умов і як його обчислювати. Розглянемо наприклад, інтеграл

У цьому інтегралі в точках  підінтегральна функція перетворюється в нескінченність ( розриви другого роду ) . Природно, границі інтегрування за обчислень замінити на , щоб виключити з розгляду точки розриву. В результаті одержимо

 Якщо тепер перейти до границі при , то одержимо

Повертаючись до загальних міркувань, формально можна записати, вважаючи, що у всіх вказаних точках  функція має розриви другого роду:

Кожний з інтегралів праворуч можна записати як суму двох інтегралів, вибравши між точками  ще одну точку  Тоді

Тобто завжди можна кожний з інтегралів звести до такого вигляду, щоб підінтегральна функція мала розрив лише на одному з кінців інтервалу інтегрування.

Отже, далі підлягають детальному вивченню інтеграли від розривних функцій лише в тому випадку, коли тільки на одній з границь інтегрування функція  має розрив.

Означення. Якщо для інтеграла  при , де  або не існує, або дорівнює , існує скінчена границя, то його називають невласним інтегралом функції  від  до  і позначають

За цієї умови інтеграл називають збіжним, а функцію  інтегрованою на інтервалі . Якщо ж ця границя нескінченна або не існує, то його називають розбіжним. У тому випадку, коли підінтегральна функція має розрив за значення, що дорівнює нижній границі інтегрування , інтеграл можна звести до того випадку, коли розрив відповідатиме верхній границі інтегрування:

де функція  має розрив у точці  , або

Приклади. 1)

У цьому інтегралі підінтегральна функція розривна при , якщо . Маємо

Відповідно до визначення заданий інтеграл збіжний, якщо  і розбіжний, якщо

2)

Підінтегральна функція тут має розриви на обох кінцях інтегрування при  i . Тому інтеграл запишемо так:

Тут у першому інтегралі розрив при , а в другому при .

Обчислимо спочатку перший інтеграл

Підстановка  зведе інтеграл до вигляду

 

Тут варто зазначити, що підстановка звела невласний інтеграл до інтеграла у звичайному його розумінні.

Аналогічно другий інтеграл

Остаточно одержимо:  Заданий інтеграл виявився збіжним.

Ознаки збіжності невласних інтегралів від необмежених функцій.

Тут можна обмежитися розглядом лише невласного інтеграла вигляду , де функція  перетворюється в нескінченність лише в точці  , бо всякі інші випадки, як це було показано раніше, можуть бути зведені до розглядуваного тут.

Для такого інтеграла є правильними такі твердження (дуже схожі до тих, що розглядалися у процесі вивчення інтегралів з нескінченними границями):

10. Якщо  на інтервалі , то інтеграл

збіжний тоді і тільки тоді, коли функція  

існує і скінчена на інтервалі .

20. Інтеграл  тоді і тільки тоді збіжний, коли для всякого  знайдеться таке , що , якщо  належать відкритому інтервалу .

30. Якщо  збіжний, то збіжним є інтеграл .У цьому випадку  називається абсолютно збіжним, а функція  - абсолютно інтегрованою.

40. Нехай функція , невласний інтеграл

 збіжний і на інтервалі  виконується нерівність . Тоді існує і буде збіжним інтеграл . Якщо при цьому  і , то із розбіжності інтеграла  випливає розбіжність інтеграла  (теорема порівняння).

50. За функцію порівняння зручно брати функцію . На інтервалі , якщо  , маємо:

і для

Звідси випливає, що інтеграл  (,  - дійсне число) збіжний при  При  цей інтеграл розбіжний.

60. Із п.п. 40 і 50 випливає, що збіжний, якщо функція  на інтервалі  обмежена, а при  він розбіжний.

 Цей результат одержуємо з рівності  Справді, оскільки  збіжний, то збіжним буде і .

На основі твердження п. 60 очевидним стає факт збіжності інтегралів

Жоден з цих інтегралів не виражається через елементарні функції в скінченому вигляді.

Література для самоосвіти: [2], [4], [7], [9].