Тема 41. Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин. Обчислення площ плоских фігур в декартових і полярних координатах.

Питання тем

Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин

Обчислення площі плоскої фігури

Обчислення площі в декартових координатах

Площа криволінійного сектора в полярних координатах

10. ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

10.1. Площа плоскої фігури

10.1.1. Обчислення площі в декартових координатах

В п.9.2. мова йшла про те, коли розглядається площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю кривою  причому  на відрізку  може бути як додатною, так і від’ємною, то площа такої криволінійної трапеції обчислюється за формулою

  (10.1)

Нехай у прямокутній системі координат фігура  (рис.10.1) обмежена кривими

Виділимо у фігурі смужку шириною . Її довжина дорівнюватиме . Тоді площа смужки .

Звідси Отже,

  (10.2)

 Рис.10.1 Рис.10.2

 Обчислимо тепер площу криволінійної трапеції у випадку, коли крива задана рівняннями в параметричній формі

  (10.3)

Нехай рівняння (10.3) визначають деяку функцію  на відрізку а тому площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою

 Зробивши заміну в цьому інтегралі  і враховуючи, що  одержимо

  (10.4)

10.1.2. Площа криволінійного сектора

в полярних координатах

Нехай криві, що обмежують фігуру, задані рівнянням в полярній системі координат і відрізками двох полярних радіусів (рис. 10.2) .Знайдемо площу фігури якщо:  ,

 У фігурі  виділимо сектор з центральним кутом  Вважатимемо, що дуги, які обмежують сектор , є дугами кіл радіусів . Очевидно, що площа сектора  між дугами  i  дорівнює  Інтегруючи, одержимо

  (10.5)

Приклад 1.

 Знайти площу фігури, обмеженої гіперболою , віссю  і прямою, яка з’єднує точку , що лежить на гіперболі, з початком координат.

Р о з в ’ я з о к. З рівняння гіперболи маємо

Щоб знайти площу заштрихованої на рис.10.3 фігури, досить знайти площу фігури  , а потім від площі трикутника  відняти площу фігури .

Отже, .

Найкращим методом для обчислення цього інтеграла є інтегрування частинами. В результаті інтегрування дістанемо

 

Оскільки

то .

 Цікаво, що цю площу можна записати у вигляді

 Рис.10.3 Рис.10.4

,

де  - функція, обернена відносно функції .

Пропонується переконатися в цьому самостійно.

Приклад 2. Знайти площу фігури, обмеженої кривою

.

Р о з в ’ я з о к. Перейшовши в цьому рівнянні до прямокутної системи координат, легко встановити, що відповідна крива є центрально-симетричною відносно системи координат. Крім того, із заданого рівняння видно, що , тобто крива повністю знаходиться всередині кола радіуса  з центром в початку координат, що дотикається вона до кола лише в точках , проходить

 через початок координат при , дотикаючись до прямих . Отже графік заданої функції має вигляд чотирипелюсткової троянди (рис. 10.4). Очевидно, що для обчислення площі досить знайти площу заштрихованої фігури і потім її помножити на 8. Отже,

Література для самоосвіти: [2], [4], [7], [9].