Тема 38. Інтегрування з допомогою заміни змінної та інтегрування частинами.

Питання теми

Інтегрування підстановкою у визначеному інтегралі

Інтегрування частинами у визначеному інтегралі

9.5. Інтегрування підстановкою у визначеному інтегралі

 Теорема . Рівність

 (9.6)

що є аналогічною формулі (9.6), завжди правильна, якщо виконуються такі умови:

1) функція  неперервна на інтервалі ;

2) функція  визначена і неперервна в деякому інтервалі  і не виходить за межі проміжку , коли  змінюється в ;

3)

4) існує в  неперервна похідна

Д о в е д е н н я. Якщо - первісна від функції , то ми можемо записати такі рівності:

Справедливість другої рівності перевіряється диференціюванням обох частин по

Із першої рівності отримаємо

 Із другої рівності будемо мати

Праві частини останніх виразів рівні, отже, будуть рівні і їх ліві частини.

Тут варто зазначити, що в разі інтегрування підстановками повертатися до старої змінної не треба. Слід тільки пам’ятати, що в разі кожної заміни змінної потрібно обчислювати нові границі інтегрування.

Приклад . Обчислити

 Р о з в ‘ я з о к. Зробимо заміну  тоді

 Якщо  то  якщо  то

Тоді

9.6. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі

Нехай функції і  диференційовані функції від . Тоді  Інтегруючи обидві частини цієї рівності в межах від  до одержимо  

Оскільки то  , тому будемо мати

 або

  (9.7)

Основні випадки, в яких ця формула повинна застосовуватися, висвітлені в п.8.3.4. Формула (9.7) аналогічна формулі інтегрування частинами в невизначеному інтегралі (8.2) .

Приклад 1. Обчислити

Р о з в ‘ я з о к. Інтегруємо частинами:

 

Приклад 2. Обчислити

Р о з в ‘ я з о к.

Матимемо таке рекурентне співвідношення:

При  одержимо

при   

 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

при   

Для непарних  також можна отримати значення інтеграла, здійснивши інтегрування частинами два рази, рекурентне співвідношення, подібне до одержаного за парних  , а це дасть можливість обчислити інтеграл за будь-яких непарних . Пропонується читачеві все це проробити самостійно.

Література для самоосвіти: [2], [4], [7], [9].