Тема 58. Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами: ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші.

← К оглавлению

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65

Питання теми

Ознаки порівняння рядів з додатними членами

Ознака Даламбера

Радикальна ознака Коші

Інтегральна ознака Коші

13.3. Ознаки порівняння рядів з додатними членами

Збіжність чи розбіжність знакододатного ряду часто встановлюється шляхом порівняння його з іншим рядом, наперед відомо збіжним або розбіжним. В основі такого порівняння лежать наступні теореми.

Нехай задані два ряди з додатними членами

(13.4)

(13.5)

Теорема.1 Якщо члени ряду (13.4) не більші відповідних членів ряду (13.5), тобто , то із збіжності ряду (13.5) випливає збіжність ряду (13.4), а із розбіжності ряду (13.4) випливає розбіжність ряду (13.5).

Д о в е д е н н я. 1) Нехай ряд (13.5) – збігається. Позначимо частинні суми рядів (13.4) і (13.5) через і . Оскільки

то, очевидно,

Ряд (13.5) – збігається, тому існує границя його частинної суми

Із того, що члени рядів (13.4) і (13.5) додатні, випливає, що і тоді в силу нерівності

Отже, частинні суми послідовності обмежені. Крім того, послідовність монотонно зростаюча, а тому вона має скінчену границю при

Отже, ряд (13.4) збігається.

2) Нехай ряд (13.4) – розбігається. Тоді ряд (13.5) не може збігатися, тому що за доведеною теоремою (п.1) ряд (13.4) повинен збігатися, а це протирічить нашому припущенню.

Приклад.1 Дослідити збіжність ряду

Р о з в ‘ я з о к. Ряд знакододатний. Для дослідження його на збіжність використаємо ознаку порівняння:

і ряд збігається ( тут ), а тому за першою ознакою порівняння даний ряд збігається.

Зауваження. Теорема має місце і у випадку, коли нерівності виконуються, починаючи з деякого

Відкинувши перших членів у рядах (13.4) і (13.5), які не вплинуть на збіжність чи розбіжність даних рядів, одержимо умови даної теореми.

Теорема 2. Якщо існує границя

(13.6)

то із збіжності ряду (13.5), при випливає збіжність ряду (13.4), а із розбіжності ряду (13.4) – розбіжність ряду (13.5) при

Д о в е д е н н я. Нехай ряд (13.5) збігається і Взявши довільне як завгодно мале число за визначенням границі, для

достатньо великих будемо мати

, звідки

Одночасно з рядом (13.5) буде збігатися і ряд одержаний множенням його членів на постійний множник Звідси, за попередньою теоремою, випливає збіжність ряду (13.4).

Якщо ряд (13.5) розбігається і то в цьому випадку обернене відношення має скінченну границю і тоді ряд (13.4) повинен бути розбіжним, інакше, якщо б він збігався, то по доведеному, збігався би і ряд (13.4), що протирічить припущенню.

Приклад 2. Дослідити збіжнісь ряду

Р о з в ‘ я з о к. Нехай а Ряд збігається.Оскільки

то із збіжності ряду випливає збіжність і ряду

13.4. Ознака Даламбера

Теорема. Якщо для ряду (13.4) з додатними членами відношення го члена до го при має (скінчену) границю тобто

(13.7)

то:

1) при ряд (13.4) збігається;

2) при ряд (13.4) розбігається;

3) при теорема не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду.

Д о в е д е н н я. 1) Нехай Розглянемо деяке число що задовольняє умові Із означення границі та співвідношення (13.7) випливає, що для всіх буде виконуватися нерівність

(13.8)

Дійсно, оскільки величина прямує до границі то , починаючи з деякого номера різниця між величиною і числом може бути зроблена за абсолютною величиною менше за довільне як завгодно мале додатне число, в тому числі, менше за тобто

Звідси і випливає нерівність (13.8).

Запишемо нерівність (13.8) для різних значень починаючи з номера :

. (13.9)

Розглянемо тепер два ряди:

Другий ряд є геометричною прогресією з додатним знаменником , тому він збігається. Члени цього ряду, починаючи з , менші за члени першого ряду. За першою теоремою порівняння рядів ряд - збігається, а це і є ряд (13.4).

2) Нехай Тоді з рівності (13.7) випливає (при ) , що, починаючи з деякого номера , буде виконуватися нерівність

або Але це означає, що члени ряду (13.4) зростають, починаючи з номера , а тому загальний член ряду не прямує до нуля. Значить, ряд розбігається.

Зауваження 1. Ряд (13.4) буде розбігатися і в тому випадку, коли Це випливає з того, що починаючи з деякого номера , буде виконуватися нерівність , або .

Зауваження 2. Якщо , то ознака Даламбера не дає можливості встановити, збігається чи розбігається даний ряд. В одному випадку такий ряд може збігатися, а в іншому – розбігатися. Для вирішення питання про збіжність таких рядів необхідно застосувати іншу ознаку.

Зауваження 3. Якщо , але відношення для всіх номерів , починаючи з деякого, більше за одиницю, то такий ряд розбігається.

Це випливає з того, що при буде виконуватися нерівність , і загальний член не прямує до нуля при

Приклад 1. Дослідити збіжність ряду

Р о з в ‘ я з о к. Використаємо ознаку Даламбера : ,

, тому ряд розбігається.

Приклад 2. Дослідити збіжність ряду .

Р о з в ‘ я з о к. Використовуючи ознаку Даламбера, одержимо

<1; отже, даний ряд збігається.

13.5. Радикальна ознака Коші

Теорема. Якщо для ряду з додатними членами (13.4) величина

, (13.10)

то:

1) при ряд (13.4) збігається;

2) при ряд (13.4) розбігається;

3) при теорема не дає відповіді на питання про збіжність чи розбіжність ряду.

Д о в е д е н н я. 1) Нехай Розглянемо число , що задовольняє умові Починаючи з , будемо мати

звідки випливає, що

або

Розглянемо тепер два ряди:

Другий ряд збігається, оскільки його члени утворюють геометричну прогресію. Члени першого ряду, починаючи з , менші за члени другого ряду, а тому він за ознакою порівняння збігається.

2) Нехай Тоді, починаючи з деякого номера , будемо мати

або

Але, якщо всі члени даного ряду, починаючи з деякого , більші за одиницю, то ряд розбігається, оскільки його загальний член не прямує до нуля.

Зауваження. Як і в ознаці Даламбера, випадок вимагає додаткового дослідження. Серед таких рядів можуть зустрітися як збіжні, так і розбіжні.

Приклад. Дослідити збіжність ряду

Р о з в ‘ я з о к. Використаємо радикальну ознаку Коші:

>1 – ряд розбігається.

13.6. Інтегральна ознака Коші

Розглянемо ще одну ознаку, яка відрізняється по формі від всіх попередніх.

Нехай ряд має форму

, (13.11)

і є значення при деякої функції , визначеної для . Припустимо, що ця функція неперервна, додатна і монотонно спадна.

Теорема. Нехай члени ряду (13.11) додатні і не спадають, тобто

(13.12)

і нехай така неперервна неспадна функція, що

(13.13)

Тоді :

1) якщо невласний інтеграл збігається, то збігається і ряд (13.11);

2) якщо невласний інтеграл розбігається, то розбігається і ряд (13.11).

Д о в е д е н н я. Зобразимо члени ряду геометрично, відкладаючи на осі абсцис номера членів ряду, а на осі ординат – відповідні значення членів ряду . Побудуємо на цьому ж рисунку графік неперервної функції , що задовольняє умові (13.13). Ясно, що ця функція буде проходити через точки (рис. 13.1).

Рис.13.1 Рис.13.2

Зауважимо, що площа го прямокутника дорівнює , а сума площ побудованих прямокутників дорівнює частинній сумі ряду З іншого боку, ступенева фігура, утворена цими прямокутниками, містить область, що обмежена кривою і прямими ; площа цієї області дорівнює Отже,

(13.14)

На рис.13.2 перший (зліва) із побудованих прямокутників має висоту , а тому його площа буде Площа другого прямокутника і т.д. Площа останнього із побудованих прямокутників буде

Отже, сума площ всіх побудованих прямокутників дорівнює

З іншого боку, як легко помітити, ступенева фігура, утворена цими прямокутниками, міститься всередині криволінійної трапеції, обмеженої кривою і прямими

Площа цієї криволінійної трапеції дорівнює Тому

звідки

. (13.15)

Розглянемо тепер обидва випадки.

1). Нехай невласний інтеграл збігається. Оскільки

то в силу нерівності (1.15) будемо мати

тобто частинна сума ряду, яка є монотонно зростаючою (члени ряду додатні) , залишається обмеженою. Значить, при має скінчену границю , тобто ряд збігається.

2). Нехай невласний інтеграл розбігається, тобто Це значить, що необмежено зростає при зростанні Але, в силу нерівності (13.14), також необмежено зростає при зростанні , тобто ряд розбігається.