Тема 63. Інтерполяція.

Питання теми

Інтерполяція

Інтерполяційна формула Лагранжа

Інтерполяційна формула Ньютона

13.16. Інтерполювання функцій

 Нехай відомі числові значення  деякої величини , які відповідають числовим значенням величини  /вузли інтерполювання /. Вважаючи  функцією від , складемо таблицю із цих чисел:

Такі таблиці виникають на практиці в результаті дослідів, які проводяться над величиною ; але їх складають і для аналітично заданих функцій : таблиці квадратів та кубів чисел, таблиці логарифмів, таблиці тригонометричних функцій і т.п.

 Часто виникає потреба в ущільненні таблиць, тобто в обчисленні проміжних значень , відсутніх в таблиці, задовольнившись при цьому лише наявним запасом табличних значень цієї величини . Також буває потрібним знайти на базі таблиці аналітичний вираз деякої функції , яка набувала б табличних значень  за табличних значень . Звичайно, за  беруть многочлен степеня , що має таку властивість (інтерполюючий многочлен).

 Ознайомимося з деякими методами інтерполювання.

13.16.1. Інтерполяційна формула Лагранжа

Інтерполяційний многочлен запишемо у вигляді:

 Для знаходження невизначених коефіцієнтів  будемо покладати в цій рівності по черзі  вимагаючи при цьому, щоб

 Тоді одержуємо

 Підставивши знайдені значення коефіцієнтів у вираз інтерполяційного многочлена, одержимо інтерполяційну формулу Лагранжа:

 Поклавши в цю формулу , що дорівнює потрібному нам проміжному (нетабличному) значенню, одержуємо відповідне проміжне (нетабличне) значення . За табличних значень  маємо відповідні табличні значення .

13.16.2. Інтерполяційна формула Ньютона

 У випадку, коли вузли інтерполювання  утворюють арифметичну прогресію (рівновіддалені)

( - крок інтерполювання), користуються інтерполяційною формулою, яка використовує скінченні різниці функції .

 Скінченою різницею першого порядку величини називається різниця між двома послідовними її табличними значеннями:

 Скінченою різницею другого порядку величини  називається різниця між двома послідовними різницями першого порядку:

Аналогічно визначаються і скінченні різниці вищих порядків.

 Із означень одержуємо:

 Можна показати методом математичної індукції, що і в загальному випадку коефіцієнти виразу  є біноміальними, а весь вираз  нагадує розгорнутий -ий степінь суми. Тому

 У цій формулі  є номер табличного значення , або інакше - число кроків , які відділяють табличне значення  від , тобто

 Якщо будемо обчислювати нетабличне значення , що відповідає нетабличному значенню , і збережемо вигляд правої частини рівності для , то величина  буде такою самою функцією від  , якою функцією від  раніше було  ( за всіх  табличних  переходить в  ).

 Замінивши  на , одержуємо інтерполяційну формулу Ньютона:

 У розгорнутому вигляді  є многочлен степеня  відносно . За всіх табличних значень  аргументу дорівнює відповідному табличному значенню  функції , тобто .

 Зауваження. Якщо функція  лінійна або якщо розміщення на координатній площині  точок  наближено нагадує пряму лінію , то для одержання проміжних (нетабличних ) значень  не має необхідності в інтерполяційних формулах, побудованих на базі усієї таблиці. Достатньо використати лише два ближчих вузли інтерполювання. Нехай  і потрібно знайти , знаючи відповідні табличні значення  та . Із рівняння прямої

одержимо

 Цю формулу називають формулою лінійного інтерполювання. Нею часто користуються у випадках, коли вузли інтерполювання близькі один до одного.

 Одержимо формули диференціювання функції, заданої таблицею, у випадку рівновіддалених вузлів інтерполювання.

 Інтерполяційну формулу Ньютона запишемо так:

Оскільки

 тощо,

то

 тощо.

 Для знаходження похідних функцій  за табличних значень аргументу  покладено  і тому

 

  тощо.

 Ці формули поширюються на будь-яке табличне значення аргументу  оскільки будь-яке значення з таблиці скінчених різниць можна вважати початковим, так що