Тема 04. Скалярний добуток двох векторів, його властивості. Векторний добуток, його властивості. Змішаний добуток трьох векторів, його властивості.

Питання теми

Скалярний добуток векторів.

Властивості скалярного добутку.

Скалярний добуток векторів, заданих координатами.

Векторний добуток векторів.

Властивості векторного добутку.

Векторний добуток векторів, заданих координатами.

Змішаний добуток векторів.

Змішаний добуток векторів, заданих координатами.

2.12. Скалярний добуток двох векторів

Скалярним добутком двох векторів  і називається добуток довжин цих векторів на косинус кута, утвореного векторами, тобто

 Тут символ  означає кут між векторами. Нехай .

Тоді  тобто скалярний добуток будь-якого вектора  на одиничний вектор визначає величину проекції вектора на напрямок одиничного вектора.

 Скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного з них на проекцію іншого на напрям першого.

 Приклад. Під дією даної сили тіло перемістилося у даному напрямку на величину . Обчислити роботу сили (рис.2.12).

 Рис.2.12

Р о з в ’ я з о к. Розкладемо силу  на суму двох доданків : . Очевидно, робота суми сил дорівнює сумі складових сил. Але робота сили , перпендикулярної до напрямку шляху, дорівнює нулю, а робота сили , паралельної шляху, дорівнює добутку модуля сили на довжину шляху:

.

 Але , тому остаточно одержимо

.

 Скалярний добуток позначається одним з трьох способів:

.

 Основні властивості скалярного добутку.

10.

Якщо  то  Якщо  то або  або  або а у нульового вектора напрям - довільний.

20. - випливає зразу з означення .

30.

40..

Нехай  Тоді

 

,

бо добутки взаємно перпендикулярних одиничних векторів дорівнюють нулю, а добутки паралельних однаково спрямованих одиничних векторів дорівнюють одиниці.

 Отже,

 , (2.9)

тобто дорівнює сумі добутків однойменних координат векторів.

Якщо , то з (2.9) маємо

  (2.10)

 Тому

  (2.11)

 З формули (2.10) маємо

 . (2.12)

 Формулами (2.10) і (2.12) визначаються відповідно квадрат довжини вектора і квадрат віддалі між точками  і .

 Якщо вектор -одиничний, то його проекціями на осі координат і  відповідно є і . Тому з формули (2.11) маємо

 . (2.13)

 Оскільки , то

  . (2.14)

 Якщо у формулі (2.14) вектор ,то одержимо косинус кута, що його утворює вектор з віссю :

 Аналогічно матимемо косинуси кутів і вектора з осями відповідно і:

 Приклад. Визначити кут між векторами  і , якщо вектор

перпендикулярний до вектора , а вектор перпендикулярний до вектора .

 Р о з в ’ я з о к. Із перпендикулярності векторів і маємо

.

 Аналогічно.

 Отже, маємо систему рівнянь:

 Віднявши від першого рівняння друге, одержимо

Тоді   

Отже,

2.13. Векторний добуток двох векторів

 Як відомо із шкільного курсу фізики, моментом сили відносно точки  називається добуток сили на довжину плеча (плече сили – це відрізок від точки до лінії дії сили ), тобто . Розглянемо силу , момент якої відносно точки треба знайти. Очевидно, момент буде повністю визначений, якщо будуть задані:

1) числові значення моменту, що дорівнює ;

2) площина, у якій лежать сила  і точка ;

3) напрям, в якому діє сила.

Всі ці три характеристики можна виразити за допомогою одного вектора , якщо 1) ; 2)  ( - площина); 3) спрямуємо вектор так, щоб цей напрямок був деяким однозначним чином зв’язаний з напрямом сили (рис. 2.13 а,б). У ролі такого зв’язку

між напрямами виберемо “правило свердлика “: проведемо вектор  так, щоб обертання головки свердлика збігалося з напрямом дії сили, а поступальний рух свердлика збігався з напрямом вектора . Тоді, у випадку, показаному на рис. 2.13б – донизу. Вектор є вектором моменту сили. Якщо ввести в розгляд вектор (рис.2.13), то, враховуючи, що

 

 

 Рис. 2.13а Рис.2.13б

, матимемо числове значення вектора :

а напрямок його визначається за “правилом свердлика”. Вектор можна паралельно перенести в точку . Добуток можна трактувати як площу паралелограма, побудованого на векторах і .

 Розглянемо впорядковану трійку векторів  яка віднесена до спільного початку. Вектори  утворюють праву трійку, якщо з кінця вектора видно найкоротший поворот від вектора  до вектора проти стрілки годинника. В противному випадку, якщо цей поворот видно за стрілкою годинника, то вектори утворюють ліву трійку.

 Означення. Векторним добутком вектора  на вектор

називається такий третій вектор , довжина якого чисельно

дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах  і , перпендикулярний до площини цих векторів і спрямований так, що вектори утворюють праву трійку.

 З означення випливає, що довжина вектора становить

.

Векторний добуток на  позначається символом

 або .

 Отже, в розглянутому прикладі про момент сили можна записати:  або , а напрямок вектора , якщо

поглянути на напрямки обертання головки свердлика, відповідає тому, який визначається означенням векторного добутку.

 До поняття векторного добутку приводять багато інших задач фізики і техніки. Наприклад, зв’язок між кутовою швидкістю обертання, лінійною швидкістю і радіусом обертання теж дається векторним добутком .

 З означення векторного добутку випливає, що він перетворюється в нуль тоді і тільки тоді, коли хоч би один з векторів дорівнює нулю, або якщо вектори колінеарні (тобто паралельні).

 Умови колінеарності двох векторів  і  виглядає так:

 і, зокрема, .

Умову колінеарності можна виразити і так: , де - числовий множник.

 Розглянемо векторний добуток векторів, заданих координатами.

Користуючись означеннями векторного добутку, легко довести, що

Останні три рівності легко запам’ятати за схемою, зображеною на рис.2.14, рухаючись у напрямку, показаному стрілками. Якщо рухатись

 Рис.2.14

у протилежному напрямку, то матимемо

.

Нехай .

Тоді

.

 Враховуючи таблицю одиничних ортів, одержимо

.

Отже,

 . (2.15)

Основні властивості векторного добутку.

 10.  (ця властивість доведена раніше).

20. .

 Доведення цієї властивості випливає з рівності (2.15). Справді, в результаті перестановки множників у добутку 2-й і 3-й рядки визначника в (2.15) поміняються місцями, а це означає, що знак визначника зміниться.

30. і .

Ці рівності теж легко доводяться на основі рівності (2.15).

 40.

Читачеві пропонується довести цю властивість самостійно.

 Приклад . Знайти віддаль від точки  до прямої,

що проходить через точку  паралельно вектору .

 Р о з в ’ я з о к. На векторах і побудуємо паралелограм (рис.2.15). Оскільки згідно з означенням векторного добутку площа паралелограма чисельно дорівнює модулю векторного добутку векторів і , то .

 Отже,

.

 Тому

.

 Оскільки , то

 Але .

Тепер вже легко записати, чому дорівнює .

Рис.2.15

2.14. Векторно-скалярний (змішаний) добуток

трьох векторів

 Коли мова йде про добуток трьох векторів і , можливі такі випадки:

 Легко зрозуміти, що перший добуток є вектором, бо  є скаляр, а добуток скаляра на вектор – вектор; у третьому випадку маємо векторний добуток , що множиться векторно на вектор , тобто зводиться до обчислення векторного добутку після того, як обчислено . У другому випадку справа зводиться до обчислення скалярного добутку після того, як обчислено .

 З розглянутих трьох добутків змішаним є . Вивченням цього добутку і займемося.

 Зрозуміло, що чисельно визначає площу паралелограма, побудованого на векторах  і . Нехай . Тоді Чисельно . Але  за означенням векторного добутку, а , бо вектор  проектувався на вектор .

 Отже чисельно можна вважати рівним об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах і із знаком “+” або “-” (рис .2.16). Об’єм, очевидно, буде додатним, якщо  - гострий, а якщо цей кут тупий, то об’єм буде від’ємним.

Змішаний добуток, як правило, записують так: .

Змішаний добуток векторів, заданих координатами.

 Нехай

.

.

 Отже,

або

  . (2.16)

Рис. 2.16

 

 Висновок. Векторно-скалярний добуток трьох векторів заданих своїми проекціями, дорівнює визначнику третього порядку, складеному з цих проекцій.

 З формули (2.16), користуючись тим, що при перестановці двох сусідніх рядків визначника його знак змінюється на протилежний і відповідно переставляються множники у мішаному добутку, вірна така рівність:

,

тобто кругова перестановка трьох множників векторно-скалярного добутку не змінює його величини.

 Перестановка двох сусідніх множників змінює знак добутку. Із формули (2.16) випливає також, що .

 Якщо три вектори  компланарні (паралельні одній і тій же площині), тоді  і, значить, - необхідна і достатня умова компланарності векторів і . Цей факт очевидний і з геометричних міркувань. Об’єм паралелепіпеда в цьому випадку дорівнює нулю.

 Приклад 1. Знайти найкоротшу віддаль між двома прямими, якщо одна з них проходить через точку  паралельно вектору , а друга проходить через точку  паралельно вектору  (рис.2.17).

Рис. 2.17

 Р о з в ’ я з о к. Побудуємо вектор і проведемо через точку пряму  паралельну , а через точку пряму , паралельну прямій . Тоді прямі  і  та  і  визначають собою дві паралельні площини. Віддаль між цими площинами  і буде найкоротшою віддаллю між прямими  і . На векторах ,  і  будуємо паралелепіпед. Його об’єм

(куб. од.)

 Знайдемо площу основи паралелепіпеда:

Тоді (кв. од).

Але. Звідси

(л. од.).

 Приклад 2. Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах , де  і  - одиничні взаємно перпендикулярні вектори.

 Р о з в ’ я з о к. Площа паралелограма дорівнює модулю векторного добутку векторів. Тому знайдемо

, бо

 і .

Далі маємо . Оскільки  і  - одиничні взаємно перпендикулярні вектори, то .

 Отже, (кв. од.).

Література для самоосвіти: [1], [3], [4], [9].