Тема 54. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Характеристичне рівняння. Загальний розв’язок лінійного однорідного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами.

Питання теми

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду

Права частина виду

Права частина виду

12.10. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

 Розглянемо диференціальне рівняння

  (12.46)

в якому - дійсні числа, а - функція спеціального виду

  (12.47)

де - многочлени n-го і m-го степеня, - дійсні числа. Виявляється, що це рівняння можна досить легко розв’язати, не вдаючись до методу варіації довільних сталих і навіть без інтегрування. Це надзвичайно важливо, бо багато практичних задач зводиться саме до такого рівняння.

 1. Для простоти розглянемо спочатку частинний випадок функції (12.47), коли :

.

 Тоді рівняння (12.70) набуває вигляду

  (12.48)

 Його загальний розв’язок  як відомий з п.12.9 є сумою загального розв’язку  відповідного однорідного рівняння та частинного розв’язку  неоднорідного рівняння:  З’ясовуємо, що вигляд частинного розв’язку залежить від того, збігається чи ні число  з коренями характеристичного рівняння (12.39).

 а). Нехай число не є коренями характеристичного рівняння (12.39):  Тоді частинний розв’язок  слід шукати у вигляді

  (12.49)

де - многочлен -го степеня відносно  з невизначеними коефіцієнтами :

 Систему для визначення цих коефіцієнтів отримують після підстановки функції (12.49) у рівняння (12.48). Справді, така підстановка приводить до рівняння

  

Зліва й справа від знака рівності стоять многочлени -го степеня, бо многочлен -го степеня, причому  а - многочлени відповідно 1-го і 2-го степеня. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях  зліва й справа рівності  отримаємо алгебраїчну систему  рівнянь з  невідомими

 б). Нехай число  є однократним (простим) коренем характеристичного рівняння (12.39):  У цьому разі  і зліва в рівності  фігурує многочлен 1-го степеня. Ця рівність не є тотожністю при жодних сталих

 Тому частинний розв’язок  у цьому разі шукатимемо у формі

  (12.50)

 в). Нехай число  є двократним коренем характеристичного рівняння  Зауважимо, що в разі збігу коренів характеристичного рівняння маємо  Якщо то виконується рівність  Це означає, що зліва у рівності  фігурує многочлен 2 -го степеня з невизначеними коефіцієнтами. Щоб отримати многочлен го степеня, слід шукати частинний розв’язок у вигляді

  (12.51)

 Приклад 1. Розв’язати рівняння

 Р о з в ‘я з о к. Загальний розв’язок  відповідного однорідного рівняння було знайдено в прикладі 1 а) п.12.9:

 Дане рівняння є частинним випадком диференціального рівняння (12.48), у якому а - многочлен першого степеня вигляду:  Оскільки  є однократним коренем характеристичного рівняння  частинний розв’язок диференціального рівняння шукатимемо у формі (12.50)

абоде  - невизначені сталі. Диференціюючи двічі , маємо

 Підставляючи  в дане рівняння , маємо або  Прирівнюючи вирази при однакових степенях  зліва й справа в одержаній рівності отримуємо систему

Отже, частинний розв’язок :

 Загальний розв’язок:

 Зауваження 1. Якби справа в рівнянні прикладу 3 стояв, наприклад, вираз  то, переконавшись, що  не збігається з коренями характеристичного рівняння відповідного однорідного рівняння, шукали б розв’язок  у формі

 Зауваження 2. Якби зліва в рівнянні прикладу 3 стояв вираз , то відповідне характеристичне рівняння  мало б кратні корені: В цьому разі  а розв’язок  шукали б у формі

2. Розглянемо диференціальне рівняння загального вигляду

 

 У цьому разі форма частинного розв’язку  істотно залежить від того, збігається чи ні комплексне число  з коренями  характеристичного рівняння (12.39).

 а). Нехай число  не є коренем характеристичного рівняння:  Тоді частинний розв’язок  шукають у вигляді

  (12.52)

де  і - многочлени з невизначеними коефіцієнтами одного і того самого степеня, що дорівнює найбільшому степеню многочленів  та .

 б). Якщо число  є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок  має вигляд

  (12.53)

 Зауваження 3. Навіть якщо функція (12.47) є “неповним” виразом вигляду  або , частинні розв’язки (12.52) та (12.53) залишаються незмінними.

 Важливим частинним випадком функції (12.47) є функція вигляду

  

де і - сталі числа. При цьому

 а). Якщо число  не є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок шукають у вигляді

 б). Якщо  є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок  має вигляд

 При цьому справедливе зауваження, аналогічне попередньому: ці вирази залишаються “повними”, навіть якщо один з додатків у правій частині формули (12.54) дорівнює нулеві.

 Приклад 2. Дослідити, чи буде обмеженим при  загальний розв’язок рівняння

де  і - дійсні сталі числа.

 Р о з в ‘ я з о к. Загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння  ми знайшли в прикладі 1 б) п.12.9:

 Для знаходження частинного розв’язку слід перевірити, чи буде число  збігатися з коренем відповідного характеристичного рівняння  Якщо  то  частинний розв’язок має форму

 Якщо  то  розв’язок  має вигляд

 Навіть, не знаходячи чисел  і , можна дослідити розв’язок вихідного рівняння на обмеженість. Справді, в разі, коли

 загальний розв’язок рівняння

 

 При  функція є необмеженою, якщо хоч одне з чисел ,відмінне від нуля.

 Якщо ж  то загальний розв’язок рівняння має вигляд

При функція залишається обмеженою.

Приклад 3. У природі й техніці часто доводиться зустрічатись з коливаннями – механічними, електромагнітними, акустичними. Коливання іноді призводять до небажаних наслідків. Так, раніше пілотам досить часто доводилося зустрічатися з явищем, відомими під назвою флатер, яке спостерігається в авіації. Класичний флатер – це небезпечні коливання конструкції літака. Вібрація верстата може призвести до браку. Під дією вібрації змінюється внутрішня структура металу, що призводить до руйнування конструкції. З коливаннями пов’язані також випадки руйнування мостів, парових турбін. Причина цих катастроф – явище резонансу, який виникає, коли частота так званих власних коливань системи практично збігається з частотою зовнішньої сили. Розглянемо це на прикладі механічних коливань тягара маси  що знаходиться на пружній ресорі, нижня точка якої рухається вертикально за законом . Нехай відновлюючи сила пропорційна відхиленню:  де жорсткість ресори, - відхилення від рівноваги. Згідно з другим законом Ньютона

 або

Спрощуючи це рівняння, отримуємо

  (12.54)

де

Відповідне (12.54) однорідне рівняння  має комплексно спряжені корені:

 Загальний розв’язок  рівняння вільних коливань  або

  (12.55)

де

 Коливання, які описуються рівнянням (12.55), називаються гармонічними .

 Нехай права частина рівняння (12.54) має вигляд

що часто зустрічається на практиці. У разі, коли частота зовнішньої сили  збігається з частотою вільних коливань  , має місце резонанс. Справді, в цьому разі частинний розв’язок рівняння (12.54) слід шукати у вигляді

де сталі  і  знаходяться методом невизначених коефіцієнтів. Тоді загальний розв’язок рівняння вимушених коливань (12.54)

 

або

  (12.56)

де

 Звідси випливає, що при  другий доданок справа у рівності (12.56) необмежений ( тобто амплітуда коливань необмежено зростає), - а це і є явище резонансу, про руйнівну силу якого вже згадувалось.

 Резонанс може приносити й користь. Він використовується при створенні вібраційних приладів, в телекомунікаціях, автоматиці. При настроюванні радіоприймача на задану частоту саме завдяки резонансові ми чуємо звук.

 Зауваження 4. У розглянутому прикладі при запису рівняння руху не враховувалась сила опору , де стала амортизатор. Якщо враховувати опір, замість рівняння (12.54) отримують диференціальне рівняння

  (12.57)

де

 Згідно з викладеним, рівняння (12.57) розв’язується або методом варіації довільних сталих, або (в деяких частинних випадках) методом добору, розглянутим раніше.

 До рівняння типу (12.57) зводиться вивчення інших процесів. Так, при дослідженні віброактивності механізмів просування тканини швидкісних промислових швейних машин приходять до вивчення закону руху, що описується рівнянням

  (12.58)

де кут повороту, момент інерції, коефіцієнт сил тертя й в’язкого опору, коефіцієнт кутової жорсткості пружини регулятора, - момент рушійних сил.

Дослідження розв’язків цього рівняння, впливу на них моменту інерції  дало можливість майже повністю усунути вібрацію й западання рукоятки важеля регулятора довжини стібка, небажані коливання рейки при малих довжинах стібка в швейних машинах нового конструктивно-уніфікованого ряду.

До рівняння типу (12.57) зводиться рівняння для електричного кола, що складається з ємності  опору  та індуктивності . рівняння теплового об’єкта тощо.

Література для самоосвіти: [8], [10].