Тема 52. Інтегрування деяких рівнянь другого порядку шляхом пониження порядку рівняння.

Питання теми

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку (загальна теорія)

Лінійне однорідне рівняння. Структура загального розв’язку

Лінійне неоднорідне рівняння. Структура загального розв’язку

Метод варіації довільних сталих

12.8. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків

 Лінійним диференціальним рівнянням -го порядку

називається рівняння вигляду ,

 (12.30)

причому - задані неперервні функції.

Зауважимо, що невідома функція  та всі її похідні входять у це рівняння лінійно, тобто в першому степені. Якщо в рівнянні (12.30) права частина - тотожний нуль, тобто  то рівняння

 

 (12.31)

називається лінійним однорідним рівнянням, яке відповідає рівнянню (12.30).

12.8.1. Лінійне однорідне рівняння

Позначимо для зручності ліву частину рівняння (12.30) через , де  диференціальний оператор

тоді рівняння (12.30) можна подати у вигляді

  (12.30а)

а рівняння (12.31) – у вигляді

  (12.31а)

 Безпосередньо перевіряється, що оператор  є лінійним, тобто:

 а)

б) .

 Наведемо властивості розв’язків однорідного рівняння.

 10. Сума розв’язків  та  рівняння (12.31) буде розв’язком того самого рівняння.

 20. Якщо розв’язок  рівняння (12.31) помножити на сталу , то отримаємо розв’язок цього самого рівняння.

 30. Лінійна комбінація розв’язків  і  рівняння (12.31)  буде розв’язком того самого рівняння.

 Доведемо властивість 10. Оскільки  то  Рекомендуємо самостійно довести інші властивості (зауважимо, що властивість 3 є наслідком перших двох).

 Аналогічно тому, як формулюється поняття лінійної залежності (незалежності) векторів, вводиться означення лінійної залежності (незалежності) функцій.

 Кілька функцій називаються лінійно залежними, якщо одна з них є лінійною комбінацією інших. В противному разі ця система функцій лінійно незалежна. Дві функції  та  будуть лінійно незалежними, якщо їх відношення  не є сталою величиною в розглядуваному проміжку зміни. Для того, щоб  функцій були лінійно незалежними в деякому проміжку зміни , необхідно і достатньо, щоб їх визначник Вронського

був відмінний від нуля в будь-якій точці проміжку неперервності коефіцієнтів рівняння (12.31). У теорії диференціальних рівнянь доводиться відмінність від нуля визначника Веронського на всьому інтервалі неперервності у разі відмінності його від нуля в якій-небудь точці  цього інтервалу.

 Загальний розв’язок рівняння (12.55) має вигляд

  (12.32)

де - довільні сталі, а - лінійно незалежні розв’язки рівняння (12.31).

 Рівняння (12.31) має  і тільки  лінійно незалежних розв’язків, сукупність яких називається фундаментальною системою розв’язків рівняння (12.31).

 Зауваження. Якщо відомо  частинних лінійно незалежних розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння (12.31), то порядок рівняння можна понизити на одиниць. Зокрема, якщо відомий один частинний розв’язок лінійного однорідного рівняння другого порядку, то загальний розв’язок може бути знайдений квадратурами (тобто інтегруванням).

12.8.2. Лінійне неоднорідне рівняння

Розглянемо деякі властивості рівняння (12.30а).

 10. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння (12.30а) є сумою якого-небудь його частинного розв’язку  та загального

розв’язку відповідного однорідного рівняння (12.31а) :

  (12.33)

 Справді,  є розв’язком рівняння (12.30а), оскільки - лінійний оператор і  (за умовою):

 

Доведемо, що вираз (12.33) є загальним розв’язком рівняння (12.30а).

Для цього покажемо, що довільні сталі , які входять у цей розв’язок, можна підібрати так, щоб виконувались початкові умови

 . (12.34)

 Справді, оскільки  з умов (12.34) одержуємо

Це лінійна система алгебраїчних рівнянь відносно , головний визначник якої є визначником Вронського для функцій  при . За умовою ці функції лінійно незалежні і, отже , визначник Вронського відмінний від нуля. Таким чином, система має єдиний розв’язок , якому відповідає розв’язок задачі Коші (12.30а) , (12.34). Властивість доведено.

 20. Якщо відомий загальний розв’язок рівняння (12.31а), то загальний розв’язок рівняння (12.30а) можна знайти методом варіації довільних сталих Лагранжа за допомогою квадратур.

 Справді, будемо шукати розв’язок неоднорідного рівняння (12.30а) у формі

  (12.35)

де - поки що невідомі функції від .

Тоді для визначення похідних від  будемо мати систему алгебраїчних рівнянь

  (12.36)

 Покажемо доведення цієї системи на прикладі диференціального рівняння другого порядку

 Нехай загальний розв’язок лінійного однорідного рівняння

 Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукатимемо у вигляді  Диференціюючи, одержимо

Нехай виконується умова

тоді

Знайдемо другу похідну

Підставляючи  і  в диференціальне рівняння, одержимо

Перепишемо це рівняння таким чином

  

Оскільки розв’язки однорідного рівняння, то вирази в дужках тотожньо рівні нулю; тому із останнього рівняння одержимо

 Отже, ми одержали систему рівнянь для визначення похідних  аналогічну системі (12.36)

  (12.36а)

 Із системи (12.36а) знаходимо  Нехай  Тоді, після інтегрування одержимо

 Загальний розв’язок неоднорідного рівняння запишеться у вигляді

  (12.37)

 Приклад. 3. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння  методом варіації довільних сталих.

 Р о з в ‘ я з о к. Розв’яжемо відповідне однорідне рівняння

Характеристичне рівняння має корені  Тоді

загальний розв’язок ЛОДР

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді

 

де  визначаються із системи (12.36а)

Тоді

Отже

і загальний розв’язок початкового диференціального рівняння матиме вигляд

Література для самоосвіти: [8], [10].