Тема 51. Диференціальні рівняння вищих порядків.

← К оглавлению

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65

Питання теми

Диференціальні рівняння вищих порядків

Рівняння виду

Задача про другу космічну швидкість

12.7. Диференціальні рівняння вищих порядків

Нехай задано диференціальне рівняння го порядку, розв’язане відносно старшої похідної:

. (12.25)

Загальний розв’язок рівняння го порядку має вигляд

де - довільні сталі. Якщо загальний розв’язок отримується в неявній формі

його називають загальним інтегралом.

Задамо початкові умови для рівняння (12.25): нехай при

. (12.26)

Для задачі (12.25)-(12.26) має місце теорема Коші існування та єдиності розв’язку: початкові значення визначають один і тільки один розв’язок, якщо при цих значеннях функція неперервна й має скінченні похідні першого порядку за .

Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь го порядку, які зводяться до диференціальних рівнянь нижчого порядку.

12.7.1. Рівняння виду

Щоб знайти загальний інтеграл цього рівняння, необхідно разів про інтегрувати його ліву й праву частини. Справді, оскільки після першого інтегрування одержимо

де будь-яке фіксоване значення а довільна стала інтегрування. Після другого інтегрування маємо

Продовжуючи аналогічно, отримаємо загальний розв’язок

Приклад 1. При подачі деталей за допомогою транспортуючої стрічки диференціальне рівняння руху ведучого барабана має вигляд

де момент інерції барабана; момент, що утворюється на ведучому валу; момент опору рухові (сталі числа, кут повороту, час). Знайдемо залежність від

Дане рівняння є рівнянням розглядуваного типу . Позначивши через величину одержимо

Інтегруючи це рівняння двічі, будемо мати загальний розв’язок

де довільні сталі. Якщо при то із загального розв’язку одержимо Тоді із загального розв’язку отримаємо частинний розв’язок або

12.7.2. Рівняння виду

Це рівняння не містить явно За допомогою підстановки , де шукана функція, рівняння зводиться до рівняння першого порядку

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок рівняння

Р о з в ’ я з о к. Оскільки права частина не містить явно

введемо заміну Тоді і рівняння набуває вигляду

Відокремлюючи змінні та інтегруючи, одержимо

де довільна стала. Повертаючись до функції будемо мати

Після інтегрування одержимо загальний розв’язок рівняння

Рівняння виду

що також не містить явно зводиться за допомогою заміни до рівняння го порядку.

12.7.3. Рівняння виду

Це рівняння не містить в правій частині явно Зробимо заміну

Тоді

і рівняння стає після заміни рівнянням першого порядку

Знайшовши загальний розв’язок даного рівняння ,

одержимо рівняння

Загальний інтеграл рівняння має такий вигляд

Приклад 3. Задача про другу космічну швидкість.

Визначити найменшу швидкість, з якою потрібно кинути тіло вертикально вверх, щоби воно не повернулося на Землю. Опором повітря нехтувати.

Р о з в ‘ я з о к. Позначимо масу тіла а Землі - За законом тяжіння Ньютона сила притягання, що діє на тіло дорівнює

віддаль від центра Землі до цента ваги кинутого тіла, гравітаційна стала. Згідно другого закону Ньютона диференціальне рівняння руху має вигляд

або

(12.27)

В рівнянні (12.27) взято знак мінус тому, що в задачі прискорення від’ємне. Диференціальне рівняння (12.27) належить до виду, що розглядався в п.12.7.3. Будемо шукати розв’язок рівняння при таких початкових умовах:

Тут радіус Землі, швидкість кидання. Позначимо

швидкість руху. Підставляючи в рівняння (12.27), одержимо

Відокремлюючи змінні та інтегруючи, будемо мати

Із умови, що на поверхні Землі при визначимо

Тоді

(12.28)

За умовою тіло повинно рухатися так, щоби його швидкість була завжди додатною (направлена вверх), отже Оскільки при зростанні величина стає як завгодно малою, то умовабуде виконуватися при довільному , коли вираз в дужках формули (12.28) буде невід’ємним