Тема 49. Задачі геометричного і фізичного характеру, що приводять до диференціальних рівнянь. Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші.

Питання теми

Вступні відомості про диференціальні рівняння

Задачі геометричного і фізичного характеру, що приводять до диференціальних рівнянь

Диференціальні рівняння першого порядку

Задача Коші

Геометрична інтерпретація диференціального рівняння першого порядку

12. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ

12.1. Вступні відомості про диференціальні рівняння

 Звичайним диференціальним рівнянням називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну , невідому функцію  та її похідні. Найвищий порядок похідної від шуканої функції, що входить в диференціальне рівняння, називається його порядком. Отже, загальний вигляд диференціального рівняння -го порядку такий:

 .

 Найпростіші диференціальні рівняння вже розглядалися при вивченні інтегрального числення. Справді, нехай дано функцію . Знайдемо її визначений інтеграл. Маємо:  і, отже, .

 Інтегруючи, отримаємо:

,

де  – довільна стала.

 Виявляється, що будь-яке диференціальне рівняння  також має безліч розв’язків виду , де  – довільна стала

 Розглянемо приклади.

 Задача 1. Записати рівняння кривої, якщо відомо, що точка перетину будь-якої дотичної до кривої з віссю абсцис однаково віддалена від точки дотику та від початку координат.

 Зробимо схематичний рисунок (рис.12.1). Нехай т. - це точка в якій проводимо дотичну.  - точка перетину дотичної з віссю . За умовою відстані  та  рівні, тобто  .

 Тоді

Піднесемо до квадрату обидві частини рівності та спростимо отриманий вираз   

Запишемо рівняння дотичної:

де - координати точки дотику.

 Рис.12.1

Точки  і  належать дотичній, причому т. - це точка дотику. Якщо т. належить дотичній, то її координати мають задовольняти рівняння дотичної. Підставимо координати точок  та  в рівняння дотичної:

 

Звідси виразимо :

Тоді

Після нескладних перетворень отримаємо диференціальне рівняння першого порядку

 Всяка функція вигляду  задовольняє даному диференціальному рівнянню, тобто є його розв’язком при довільному значенні

 Приклад 2. З деякої висоти кинуто тіло масою Потрібно встановити, за яким законом буде змінюватися швидкість  падіння цього тіла, якщо на нього, крім сили ваги, діє тормозна сила опору повітря, що пропорційна швидкості (коефіцієнт пропорційності  ).

 Р о з в ‘ я з о к. За другим законом Ньютона

де  прискорення рухомого тіла, сила, що діє на тіло в напрямку його руху. Ця сила складається з двох сил: сили ваги і сили опору повітря  ( ми беремо її із знаком мінус, оскільки вона направлена в сторону, що протилежна напрямку швидкості).Отже,

Ми одержали співвідношення, що зв’язує невідому функцію  і її похідну, тобто диференціальне рівняння відносно функції

Розв’язати диференціальне рівняння – це значить знайти функцію , яка б тотожньо задовольняла даному диференціальному рівнянню. Очевидно, що таких функцій буде безмежна множина.

Неважко перевірити, що всяка функція вигляду

задовольняє даному рівнянню при довільному значенні постійної

 Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд

Якщо це рівняння можна розв’язати відносно похідної  то можна записати у вигляді

.

В цьому випадку ми говоримо, що диференціальне рівняння розв’язане

відносно похідної. Для такого рівняння справедлива теорема про існування та єдності розв’язку диференціального рівняння.

 Теорема. Якщо в рівнянні

функція  та її частинна похідна  неперервні в деякій області  на площині  що містить точку  то існує єдиний розв’язок цього рівняння  що задовольняє умові: при  

 Геометричний зміст цієї теореми такий: існує і при тому єдина функція  графік якої проходить через точку

 Умова, що при  функція  повинна дорівнювати заданому числу називається початковою умовою. Вона часто записується так:

 Задача знаходження розв’язку диференціального рівняння, що задовольняє початковій умові, називається задачею Коші.

 Означення 1. Загальним розв’язком диференціального рівняння першого порядку називається функція

яка залежить тільки від однієї довільної сталої  і задовольняє таким умовам:

 1) вона задовольняє диференціальному рівнянню при довільному конкретному значенню сталої

 2) якою б не була початкова умова  ( із області, в якій виконуються умови теореми існування і єдності розв’язку), можна знайти таке значення , що функція  задовольняє даній початковій умові.

 Як вже відмічалося, при відшуканні загального розв’язку диференціального рівняння ми часто приходимо до співвідношення вигляду

не розв’язаному відносно  В таких випадках загальний розв’язок залишається в неявному вигляді. Рівність , що задає неявно загальний розв’язок, називається загальним інтегралом.

 Означення 2. Частинним розв’язком називається довільна функція  яка одержується із загального розв’язку  якщо в останньому довільній сталій надати певного значення Співвідношення називається в цьому випадку частинним інтегралом.

 З геометричної точки зору загальний інтеграл представляє собою однопараметричне сімейство кривих на координатній площині, що залежить від одного параметра Ці криві називаються інтегральними кривими даного диференціального рівняння. Частинному інтегралу відповідає одна крива цього сімейства, що проходить через деяку точку площини.

 Розв’язати (про інтегрувати) диференціальне рівняння – це значить:

 а) знайти його загальний розв’язок або загальний інтеграл (якщо не задані початкові умови);

 б) знайти той частинний розв’язок рівняння або частинний інтеграл, який задовольняє початковим умовам (якщо такі є).

12.2. Геометрична інтерпретація диференціального рівняння першого порядку

 Нехай диференціальне рівняння першого порядку, що розв’язане відносно похідної, має вигляд

  (*)

 Це рівняння для кожної точки з координатами  та визначає . І, отже, похідну . Але значення похідної в точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до інтегральної кривої , яка проходить через цю точку. Отже, диференціальне рівняння (*) дає сукупність напрямків (так зване поле напрямків) на площині . З геометричної точки зору проінтегрувати диференціальне рівняння – це знайти криві, дотичні яких збігаються з напрямом поля у відповідних точках.

 Практично для зображення поля напрямків слід у кожній точці  із області визначення функції  накреслити стрілки, які утворюють з віссю  кути, тангенси яких дорівнюють значенням  у цих точках. При побудові полів напрямків зручно користуватися ізоклінами (грецькі isos – рівний, однаковий, klino -нахиляю), лініями, у всіх точках яких напрям поля один і той самий.

 Так, ізоклінами рівняння  є прямі , паралельні осі  (рис.12.2). Усі інтегральні криві цього рівняння в точках перетину з прямою  нахилені до осі під кутом .

 Рис.12.2

 

Література для самоосвіти: [8], [10].