Тема 47. Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач.

Питання теми

Застосування подвійних інтегралів до розв’язування деяких геометричних задач

Застосування подвійних інтегралів до задач механіки

11.4. Застосування подвійних інтегралів до розв’язування

деяких геометричних задач

 Обчислення об’ємів. Користуючись формулою для обчислення об’єму циліндричного тіла (11.3), можемо обчислювати об’єми зрізаних циліндричних тіл.

 Приклад. Обчислити об’єм тіла, обмеженого циліндрами

 і

 Р о з в ‘ я з о к. На рис. 11.11 зображена  частина тіла. За формулою (12.3) знаходимо

 

 Рис.11.11

 

 Тоді весь об’єм

 Обчислення площ плоских фігур. Якщо скласти інтегральну суму для функції  за областю , то ця сума дорівнюватиме площі  за будь-якого способу розбиття області. Переходячи до границі в правій частині рівності, знаходимо

 . (11.25)

Отже, якщо , подвійний інтеграл виражає площу області, на яку поширюється інтеграл.

 Приклад. Обчислити площу області обмеженої параболами  і прямою

 Р о з в ’ я з о к. Область  зображена на рис. 11.12. Тоді за формулою (11.25) знаходимо:

 

 Рис.11.12

 Обчислення площі поверхні. Нехай потрібно обчислити площу поверхні, обмеженої лінією  (рис. 11.13) і заданої рівнянням , де функція  неперервна і має неперервні частинні похідні. Позначимо проекцію лінії  на площину  через , а область, обмежену лінією  - .

Розіб’ємо будь-яким способом область  на елементарних площадок . У кожній площадці  візьмемо точку , якій на поверхні відповідатиме точка. Через точку проведемо дотичну площину до поверхні. Рівняння цієї площини запишеться як

 

 Рис.11.13 Рис.11.14

 . (11.26)

 На цій площині виділимо площадку , яка проектується на площину , в площадку . Розглянемо суму всіх площадок :

.

 Границю цієї суми, коли найбільший із діаметрів площадок прямує до нуля, називатимемо площею поверхні, тобто

 . (11.27)

 Тепер обчислимо площу поверхні. Позначимо через  кут між дотичною площиною . На підставі відомої формули аналітичної геометрії запишемо (рис. 11.14)

, або

 Кут  водночас є кутом між віссю  і перпендикуляром до площини (11.26). Тому на основі рівняння (11.26) і формули аналітичної геометрії маємо:

.

Тоді

.

 Підставляючи цей вираз у формулу (11.27), дістанемо (зауваживши при цьому, що при

):

.

 Границя, яка стоїть у правій частині за означенням є подвійним інтегралом, тобто

 . (11.28)

Це і є формула, за якою обчислюється площа поверхні .

 Якщо рівняння поверхні задано у вигляді  або

, то відповідні формули для обчислення площі поверхні матимуть вигляд

,

,

де - області відповідно на площинах  і , в які проектується ця поверхня.

 Приклад. Обчислити площу частини поверхні

 Рис.11.15

 що вирізається циліндром

 Р о з в ‘ я з о к. Дана поверхня – параболоїд (рис.11.15). Обчислимо частинні похідні:  Область інтегрування  круг з радіусом, що дорівнює 1. Тоді за формулою (11.28) маємо, перейшовши в подвійному інтегралі до полярних координат:

 

Література для самоосвіти: [8], [10], [11].