Тема 46. Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах.

Питання теми

Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах

Подвійний інтеграл в полярних координатах

11.3. Обчислення подвійного інтеграла

 При  одержимо подвійний інтеграл

.

11.3.1. Обчислення подвійного інтеграла

в декартових координатах

 Обчислюючи подвійний інтеграл, будемо опиратися на той факт, що він виражає об’єм циліндричного тіла з основою , обмеженого поверхнею . Нагадаємо, що задача про об’єм тіла розглядалася при вивченні застосування означеного інтеграла до задач геометрії. Дістали формулу

 , (11.16)

Рис.11.4 Рис.11.5

де - площа поперечного перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі , а і  - рівняння площин, що обмежують тіло. Застосуємо тепер цю формулу для обчислення подвійного інтеграла.

Припустимо спочатку, що область задовольняє таку умову: будь-яка пряма, паралельна осі , перетинає границю області не більше , ніж у двох точках. Називатимемо таку область правильною в напрямі осі , або правильною в напрямі осі .

 На рис. 11.4 зображено циліндричне тіло. Область  беремо в прямокутник , сторони якого дотикаються до межі області в точках Інтервал  є ортогональною проекцією області на вісь , а інтервал  - ортогональною проекцією області на вісь . На рис. 11.5 область показана в площині

 Точками і границя розбивається на дві лінії:і , кожна з яких перетинається з будь-якою прямою, паралельною осі , в одній точці. Тому рівняння цих ліній запишуться так:

: , : .

 Так само точками і межа області  розбивається на лінії  і , рівняння яких:

.

 Розітнемо циліндричне тіло довільною площиною, паралельною площині , тобто  (рис. 11.4). В перерізі матимемо криволінійну трапецію , площа якої визначається інтегралом від функції , що розглядається як функція однієї змінної , причому  змінюється від ординати точки до ординати точки . Точка називається точкою входу прямої  в область , а точка  - точкою виходу із області. Із рівняння ліній  і випливає , що ординати цих точок при взятому дорівнюють  і  . Отже, інтеграл

дає вираз для плоского перерізу . Величина цього інтеграла залежить від вибраного , тобто є функцією . Позначивши його через , маємо:

 . (11.17)

 Згідно з формулою (11.16) об’єм усього тіла дорівнюватиме інтегралу від , якщо .

 Рис.11.6

Замінюючи у формулі (11.16)  її виразом (11.17), дістаємо

або в зручнішій формі

 . (11.18)

Міняючи  і  місцями, можна вивести й формулу:

 . (11.19)

 З (11.18) і (11.19) бачимо, що значення повторного інтеграла (що стоїть у правій частині рівності (11.18) або (11.19) ) не залежить від порядку інтегрування за різними аргументами:

.

Формули (11.18) і (11.19) показують, що обчислення подвійного інтеграла зводиться до послідовного обчислення двох звичайних визначених інтегралів; потрібно тільки пам’ятати, що у внутрішньому інтегралі одна зі змінних при інтегруванні вважається сталою величиною. Формули (11.18) і (11.19) зведення подвійного інтеграла до повторного набирають простого вигляду, коли область  буде прямокутником зі сторонами, паралельними осям координат (рис. 11.6). В цьому разі сталими стають межі інтегрування не тільки в зовнішньому, а й у внутрішньому інтегралі:

.

Отже, подвійний інтеграл можна обчислювати за такою схемою:

 1. Спроектувати область  на вісь (знайти точки і ).

 2. Провести пряму, паралельну осі , яка перетинає межу області в точках входу в область і виходу з неї. Записати рівняння цих меж, тобто рівняння  і .

 3. Розставити межі інтегрування за змінною і змінною  в повторному інтегралі (11.18) і обчислити його.

 Зауваження. Якщо область неправильна в напрямі осі , то необхідно таку область розбити прямими , паралельними , на кілька правильних областей.

 За аналогічною схемою обчислюється подвійний інтеграл (11.19).

Приклад. Обчислити подвійний інтеграл

,

де областьобмежена лініями (рис. 11.7).

 Р о з в ’я з о к. В напрямі осі  область правильна. Спроектувавши область на вісь маємо: . Крива входу

 Рис.11.7

Крива входу описується рівнянням , а лінія виходу - рівнянням . За формулою (11.18) маємо:

.

 Якщо змінити порядок інтегрування, то в напрямі осі область буде неправильною. Таку область потрібно розбити на дві області:  і (на рис. 11.7 області  відповідає фігура , а області - трикутник ). Тоді:

.

11.3.2. Обчислення подвійного інтеграла

 в полярних координатах

Віднесемо площину, в якій задана область , до полярної системи координат . Нехай полюс лежить у початку декартової системи і полярна вісь збігається з віссю . Тоді декартові координати точки визначаються через полярні за формулами .

Область інтегрування  розіб’ємо на елементарні області  двома системами координатних ліній:   (відповідно концентричні кола з центром у полюсі і промені, які виходять із полюса (рис. 11.8)). При цьому елементарними областями будуть криволінійні чотирикутники. Площа  області буде:

,

або

,

де  - середній радіус між  і .

 Припускаючи, що функція  неперервна в області , складемо для неї інтегральну суму , вибираючи точки  в областях так, щоб вони лежали на середніх колах радіуса , тобто покладемо. Тоді інтегральна сума запишеться так :

.

У правій частині стоїть інтегральна сума для функції

 Рис.11.8 Рис.11.9

за змінними  і , а тому, переходячи до границі, дістанемо

 . (11.20)

Це і є формула перетворення подвійного інтеграла від декартових координат  до полярних . Вираз  називається елементом площі.

 Обчислення подвійного інтеграла в полярній системі координат, як і в декартовій, зводиться до послідовного інтегрування за змінними  і .

 Вкажемо правила розстановки меж інтегрування.

 1. Нехай полюс лежить за областю інтегрування , а сама область поміщена між променями  та  і координатні лінії  зустрічають її межу не більше як у двох точках (рис.11.9). Припустимо, що полярні рівняння кривих  і .

Інтегруючи спочатку за  у межах його зміни за сталою , тобто від  до , а потім за  від  до , дістанемо

 . (11.21)

 У частинному випадку , якщо область інтегрування є частина кругового кільця , то межі інтегрування сталі за двома змінними

 . (11.22)

 2. Нехай полюс лежить в області інтегрування  і будь-який полярний радіус перетинає її межу в одній точці. Інтегруючи спочатку за , а потім за , дістаємо

 Рис.11.10

 , (11.23)

де  - полярне рівняння межі області .

 Частково, при , тобто , якщо область інтегрування є круг з центром в полюсі, то

 . (11.24)

 Отже, щоб перейти в подвійному інтегралі від декартової системи координат до полярної і обчислити його, необхідно:

 1) записати межу області  у полярних координатах;

 2) замінити аргументи  та  підінтегральної функції відповідно на  і ;

 3) замінити елемент площі  на ;

4) розставити межі інтегрування по області ;

5) обчислити повторний інтеграл.

 Приклад. За допомогою переходу до полярних координат обчислити подвійний інтеграл  де область  частина кільця (рис. 11.10).

 Р о з в ‘ я з о к.

Література для самоосвіти: [8], [10].