Тема 45. Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводить до поняття подвійного інтеграла. Подвійний інтеграл, його властивості.

Питання теми

Задачі геометричного і фізичного змісту, що приводять до поняття подвійного інтеграла

Означення подвійного інтеграла

Теорема існування

Властивості подвійного інтеграла

11. ПОДВІЙНІ ІНТЕГРАЛИ

11.1. Означення

 Визначення об’єму циліндричного тіла. Циліндричним називається тіло, обмежене зверху поверхнею, рівняння якої , з боків - циліндричною поверхнею з твірними, паралельними осі , знизу - площиною .

 Область , що висікається в площині циліндричною поверхнею, називається основою циліндричного тіла. В частинних випадках бічна циліндрична поверхня може бути відсутня; наприклад, тіло, обмежене площиною  і верхньою частиною кулі .

 Поставимо задачу про визначення об’єму циліндричного тіла. Для цього припустимо, що функція  неперервна в області

 і що поверхня повністю лежить над площиною , тобто  скрізь в області .

 Розіб’ємо область якими-небудь лініями на частин (рис.11.1), які називатимемо площадками. Щоб не вводити нових символів, позначатимемо через  також площі цих площадок (двохвимірні міри). У кожній із площадок виберемо точки  і позначимо через  значення функції у вибраних точках. Через межу кожної площадки проведемо циліндричну поверхню з твірною, паралельною осі . Тоді циліндричне тіло буде розбите на  циліндричних елементарних тіл. Замінивши кожне з них на прямий циліндр з тією самою основою і висотою , в результаті дістанемо об’єм  - ступінчастого тіла:

(11.1)

 Ця сума називається інтегральною сумою для функції  в області .

Беручи об’єм  розглядуваного тіла приблизно таким, що дорівнює об’єму побудованого  - ступінчастого тіла, вважатимемо, що  тим точніше виражає , чим більше  і чим менша кожна з площадок. Переходячи до границі в (11.1) при  вимагатимемо, щоб до нуля розміри (при цьому площадка стягуватиметься у точку, тобто її найбільший діаметр ).

 Відповідно до викладеного беремо шуканий об’єм таким, що дорівнює границі, до якої прямує  при :

 

Рис.11.1

. (11.2)

 Можна абстрагуватися від задачі про знаходження об’єму тіла і дивитися на вираз (11.2) як на деяку операцію, що проводиться над функцією, визначеною на  Ця операція називається операцією подвійного інтегрування функції  (або  ) за областю , а її результат – означеним інтегралом від  по  і позначається так:

 .

 Отже, об’єм циліндричного тіла

 . (11.3)

 Маса тіла. Нехай тепер в трьохвимірному просторі, де визначена прямокутна декартова система координат , задано тіло  (множина) з неперервно розподіленою в ньому масою з густиною розподілу  ( ). Потрібно визначити масу тіла . Розіб’ємо  на частин  об’єми (трьохвимірні міри) яких ( в припущенні, що вони існують) позначимо  або

Виберемо довільним чином в кожній частині точку і тоді маса тіла (по аналогії із об’ємом циліндричного тіла) дорівнює

Рис.11.2 Рис.11.3

  (11.4)

 Знову ж таки на вираз (11.4) можна дивитися як на певну операцію над функцією  , що задана в трьохвимірному просторі .

Ця операція на цей раз називається операцією потрійного інтегрування (за Ріманом 1)), а її результат – визначеним потрійним інтегралом, що позначається так:

 Отже,

  (11.5)

 До знаходження таких границь приводять не тільки задачі про визначення об’єму циліндричного тіла і знаходження маси, але й інші задачі.

 Нижче ми побачимо, що частина теорії кратного інтегрування, зокрема, теореми існування і теореми про аддитивні властивості інтеграла, може бути викладена цілком аналогічно як в одновимірному, так і в вимірному випадку. Проте в теорії кратних інтегралів виникають певні труднощі, яких не було в теорії звичайного означеного інтеграла.

 Справа в тому, що однократний інтеграл Рімана 1) ми визначали для дуже простої множини – відрізку  який дробився знову на відрізки. Ніяких труднощів у визначенні довжини (одновимірної міри) відрізків не виникало. Проте у випадку подвійних, потрійних і, взагалі,  кратних інтегралів область інтегрування доводиться ділити (лініями, поверхнями, гіперповерхнями) на частини з криволінійними границями, і виникає питання визначення поняття площі, об’єму або взагалі вимірної міри цих частин.

1) Б. Ріман (1826-1866) – німецький математик.

 Поняття про міру Жордана 1). В двохвимірному випадку ми будемо мати справу з обмеженими областями, що мають гладку границю (рис. 11.2) або кусково-гладку границю, що складається із кінцевого числа гладких кусків (ліній). Ці області в свою чергу доводиться ділити на частини, що мають кусково-гладку границю. Кожній такій області  і деяким іншим множинам можна привести у відповідність додатне число  яке називається площею або двохвимірною мірою Жордана . При цьому виконуються такі властивості:

1) якщо  прямокутник з основою  і висотою  то

2) якщо  і  мають міри  то

3) якщо область  розрізана за допомогою кусково-гладкої кривої на дві частини  і  то

 Існують множини двохвимірної міри, що дорівнюють нулю, такі, як точка, відрізок, гладка або кусково-гладка крива.

 В трьохвимірному випадку нас будуть цікавити області, що мають своєю границею кусково-гладкі поверхні. Куля, еліпсоїд, куб можуть служити прикладом таких поверхонь.

 Поверхня називається гладкою, якщо в довільній її точці

можна провести дотичну площину, що неперервно змінюється разом з цією точкою. Поверхня називається кусково-гладкою, якщо її можна

розрізати на кінцеве число гладких кусків. По лінії розрізів дотичні площини можуть і не існувати.

 Для трьохвимірних обмежених областей  з кусково-гладкими границями можна визначити їх об’єм (трьохвимірну міру), тобто додатне число  , що задовольняє таким властивостям:

1) якщо прямокутний паралелепіпед з ребрами  то

 2) якщо  і  мають міри  то

 3) якщо область  розрізана за допомогою кусково-гладкої поверхні на дві частини  і  то

 

1) К. Жордан (1838-1922) – французький математик

Є множини трьохвимірної міри, що дорівнює нулю. Такими є точка, відрізок, плоский прямокутник, гладка або кусково-гладка поверхня.

 Означення. Дамо тепер визначення кратного інтеграла, не розглядаючи задачі геометричного або фізичного змісту.

 Нехай в  вимірному просторі  задана обмежена область з кусково-гладкою границею  і на(або на ) задана функція  Розріжемо довільним чином на частини , що перетинаються хіба що по своїх границях, які будемо вважати кусково-гладкими. Виберемо в кожній частині по довільній точці  і складемо суму

яку будемо називати інтегральною сумою Рімана функції  що відповідає даному розбиттю.

 Якщо існує скінчена границя послідовності інтегральних сум  коли максимальний діаметр частинних множин  ( ) і вона не залежить від вибору точок  в , а також не залежить від способів розбиття області , то ця границя називається кратним інтегралом від функції  на  (або по ). Отже,

 . (11.6)

 Зауваження. Чи будемо ми обчислювати границю (11.6) для області , чи для її замикання  не має значення, оскільки  де кусково-гладка границя області А кусково-гладка границя області має вимірну міру нуль .

11.2. Властивості подвійних інтегралів. Теорема існування

 Будемо надалі вважати області із кусково-гладкими границями.

 10. Справедлива рівність

  (11.7)

 Щоб обчислити інтеграл (11.7), потрібно область  розрізати кусково-гладкими поверхнями на частини

що можуть перетинатися хіба що по своїх границях (рис. 11.2), і врахувати, що

Але тоді

 За формулою (11.7) у двохвимірному випадку обчислюється площа  в трьохвимірному – об’єм  В - вимірному випадку формула (11.7) дає - вимірну міру

 Нижче ми допускаємо, що для функцій , , , про які буде йти мова, існують інтеграли, що розглядаються.

 20. Справедлива рівність

  (11.8)

де  і константи.

 30. Якщо область з кусково-гладкою границею розрізана на вимірні частини  і   то

  (11.9)

 40. Якщо

то має місце нерівність

  (11.10)

 Доведення властивостей 30 і 40 аналогічне доведенням для звичайного означеного інтеграла.

 50. Справедлива нерівність

  (11.11)

 Дійсно, враховуючи, що  отримаємо в силу (12.8) (при ) і (4.10)

тобто (11.11).

 60. Якщо  то

  (11.12)

 константа, а тому в силу нерівності (11.11) маємо:

 70 . ( Теорема про середнє ). Нехай функція  неперервна в замкнутій області  яку ми будемо вважати зв’язною 1). Тоді існує точка  така  , що виконується рівність

  (11.13)

 Д о в е д е н н я. Оскільки функція  неперервна в замкнутій області  то вона досягає в цій області свого найменшого та найбільшого значень  Тому

 

Інтегруючи ці нерівності по і використовуючи властивості 10, 40 , одержимо

  . (11.14)

Із нерівностей (12.11) випливає

тобто число  знаходиться між найменшим та найбільшим значеннями функції  В силу зв’язності існує неперервна крива, що належить ,

і яка з’єднує точки  і тобто така крива, що

 Функція

неперервна на відрізку  (як суперпозиція неперервних функцій) і приймає на його кінцях значення   .

 Але тоді за теоремою про проміжне значення функції  однієї змінної, існує таке  , що в точці  має місце рівність

що й доводить теорему.

 

1) Множина  називається зв’язною, якщо довільні дві точки цієї множини можна з’єднати неперервною кривою, яка належить

 Зауваження. Число  називається середнім значенням неперервної функції  в області .

 Теорема існування. Якщо функція  неперервна в замкнутій обмеженій області  з кусково-гладкою границею, то вона інтегровна на так само, як і на  і

  (11.15)

 

Література для самоосвіти: [8], [10].