Тема 35. Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Приклади первісних, що не є елементарними функціями. Використання таблиць неозначених інтегралів.

Питання теми

Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції

Інтеграли вигляду

Інтеграли вигляду

Інтеграли вигляду

· Інтеграли вигляду

Інтеграли вигляду( - ціле, додатне число)

Інтеграли вигляду

8.3.9. Інтегрування трансцендентних функцій

а) Усі інтеграли вигляду  інтегруються в замкненому вигляді. Тут  - символ раціональної функції. Справді, підстановка  зводить цей інтеграл до вигляду

Приклад. За допомогою заміни інтеграл перетворюється в такий :

б)  Як уже зазначалося, інтеграли зводяться до розглядуваного. Тому інтеграл  нас цікавить не тільки сам по собі, а й у зв’язку з тим, що й інші інтеграли зводяться до нього.

Усі інтеграли типу інтегруються в замкненому вигляді. Підстановка  перетворює інтеграл у такий:тобто до інтеграла, розглянутого в п.9.8.

Ймовірно, що способи інтегрування заданого інтеграла в розумінні більшої або меншої трудності залежатимуть від характеру функції : парна чи непарна вона за змінною  або , або і  і , або, можливо, і не володіє цими властивостями. Нехай

 Очевидно, що в цьому випадку її можна подати

 у формі Якщо то

 

Тому

Звідси випливає така підстановка:

,

тобто - раціональна функція .

Отже, якщо в разі заміни на підінтегральна функція змінює знак, то доцільно є підстановка .

Цілком аналогічно, якщо в разі заміни  на

 то доцільною є

підстановка .

Розглянемо тепер випадок тобто функціяє парною як за , так і за . Очевидно, що .Якщо тепер знаки  i  замінити на протилежні, то, тобто  є парною за , тому . Вважаючи, що , одержимо

 

Підстановка  зведе інтеграл до вигляду

Отже, у випадку  доцільною є заміна змінної . Оскільки , , (8.26)

то ,

тобто підстановка  перетворить інтеграл до вигляду

. Якщо  не задовольняє жодну із розглянутих умов, то  інтегрується за допомогою підстановки . Практично інтегруючи функцію перш за все варто встановити, чи задовольняє вона хоча б одну з умов

чи ні. Лише тоді, коли вона не задовольняє жодну, доцільно використати заміну , яку називають універсальною.

Приклад. 1.  

Оскільки в разі заміни  на і  на підінтегральна функція не змінює знака, то підстановка  зведе інтеграл до вигляду

Приклад 2. .

Цей інтеграл не задовольняє жодної з указаних умов. Тому слід використати підстановку , яка зведе інтеграл до вигляду

 .

 Якщо , то

.

Якщо , то

При .

При .

Приклад 3. .

Підстановка . З її допомогою інтеграл перетвориться в

.

в) Усі інтеграли вигляду

 де - раціональна функція, інтегруються в замкненому вигляді. Цей висновок випливає з п.9.4.

г) Інтеграли вигляду

( - ціле, додатне число) можна проінтегрувати відповідно за допомогою підстановок В результаті матимемо

Аналогічно обчислюється і другий інтеграл.

д) Інтеграли вигляду  де - цілі невід’ємні числа, обчислюються, використовуючи формули тригонометрії для пониження степеня:

  (8.27)

Тоді

Піднісши до степеня і розкриваючи дужки, одержимо інтеграли, що містять  в парних і непарних степенях. Інтеграли з непарними степенями обчислюються, як показано у випадку б). Парні показники степенів знову понижуємо за формулами (9.13). Продовжуючи так, дійдемо до інтегралів  які легко обчислюються.

 Якщо хоча б один з показників від’ємний, то необхідно робити підстановку  (або ).

 Інтеграли вигляду  можна

проінтегрувати, застосовуючи формулу Муавра. Маємо:

 (8.28) Звідси

Далі обчислимо:

Аналогічно

 

Тепер уже інтегрування двох інтегралів здійснюється легко для будь-яких скінчених цілих .

е) Усі інтеграли вигляду

можуть бути представлені в замкненому вигляді, якщо функція  є цілою раціональною функцією відносно синусів і косинусів величин, що стоять під знаком функції, а всі константи є дійсними числами.

Оскільки ціла раціональна функція будується лише на основі дій додавання, віднімання і множення ( зокрема піднесення до цілого додатного степеня ) , то кожний добуток двох множників можна подати у вигляді суми двох доданків на основі формул

  (8.29)

Застосовуючи формули (8.29) послідовно до кожного члена, що є добутком кількох множників, функцію  можна подати як лінійну комбінацію синусів і косинусів, аргументи яких є лінійними функціями . Кожна така лінійна комбінація інтегрується елементарно.

Приклад. є) Усі інтеграли виглядів де  є довільними дійсними константами, а  – довільний поліном, інтегруються у замкненому вигляді.

Цей висновок випливає з п.8.3.8.

ж) Інтеграли вигляду  за допомогою підстановки  зводяться до інтегралів від біномінальних диференціалів , які вже були розглянуті в п.8.3.8 є). Там також було з’ясовано, в яких випадках інтеграл від біномінального диференціала інтегрується в замкненому вигляді. Отже, інтеграл  виражається через елементарні функції, якщо 1) - ціле число; 2)- ціле число; 3)- ціле число.

Література для самоосвіти: [2], [4], [7], [9].