Тема 33. Інтегрування раціональних функцій.

Питання теми

Інтегрування раціональних функцій

Прості раціональні дроби

Неправильні раціональні дроби

Інтегрування правильного раціонального дробу. Формула Остроградського

8.3.7. Інтегрування раціональних дробів

 Прості раціональні дроби

Простими раціональними дробами називаються такі чотири види дробів :

 ,

де –дійсні числа ;  – ціле число ,  тобто  не розкладається на лінійні множники в множині дійсних чисел .

Розглянемо тепер інтеграли від цих дробів :

 в) ;

г)

Цей дріб може бути зведений до іншого вигляду виділенням у знаменнику повного квадрата, а в чисельнику похідної від знаменника, помноженої на деяку константу .

Маємо

.

 Отже,

Якщо позначити

 , то одержимо

то одержимо

Тому

Щоб одержати кінцевий результат, досить повернутися до змінної  і замінити  та  їх значеннями.

г) Четвертий тип простого дробу за допомогою тих самих перетворень, що й третій, зведеться до вигляду

 Тому

 

Останній же інтеграл може бути про інтегрований за рекурентною формулою (9.3).

Неправильні раціональні дроби

Раціональний дріб має вигляд , де  і  - поліноми за  степенів, відповідно  і . Якщо степінь полінома  не менший за степінь полінома , тобто  то дріб називається неправильним. Якщо ж степінь полінома  менший, ніж степінь полінома  , то дріб називається правильним. Усякий неправильний дріб може бути поданий сумою деякого полінома (ціла частина дробу) степеня  і правильного дробу. Цілу частину неправильного дробу можна виділити прямим діленням чисельника на знаменник. Ділення це продовжується доти, поки остача від ділення (це буде деякий поліном або просто число) матиме менший степінь, ніж степінь полінома, що є дільником.

Приклад 1. Виділити цілу частину дробу

 Оскільки  і  , то дріб неправильний. Ми можемо безпосередньо виділити цілу частину, додавши і віднявши в чисельнику 8:

 Приклад 2. Виділити цілу частину дробу

Отже,

.

 Інтегрування правильного раціонального дробу

Якщо дріб неправильний, то розклавши його на суму цілої частину і правильного раціонального дробу, будемо інтеграл розглядати як суму інтегралів. Інтегрування цілої частини (полінома степеня  ) не представляє ніяких труднощів. Тому розглянемо саме інтегрування правильних раціональних дробів.

 Саме визначення простих дробів вказує на те, що перш ніж розкладати правильний дріб на прості, треба знаменник правильного дробу розкласти на прості множники. Під простими множниками розумітимемо множники вигляду  і

Нехай знаменник правильного дробу має вигляд

,

де всі - дійсні числа. Тут коефіцієнт при  вважаємо таким, що дорівнює одиниці, яка не зменшує загальності міркувань, бо у випадку наявності при  коефіцієнта  завжди можна чисельник і знаменник дробу поділити на  Згідно з основною теоремою алгебри поліном  – го степеня має рівно  коренів на множині комплексних чисел.

З алгебри відомо також, що коли поліном з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь вигляду , то він має і спряжений йому корінь , тобто комплексні корені входять у поліном комплексно спряженими парами.

Згідно з теоремою Вієта поліном розкладається на множники вигляду , де  - корені полінома, тобто

Нехай  і  - комплексно спряжені корені. Тоді їм відповідатиме в розкладі два множники  і . Їх добуток

Отже, кожній спряженій парі комплексних коренів відповідає множник вигляду . Серед коренів полінома можуть виявитися кратні. Якщо врахувати це, то розклад полінома на множники запишеться так:

 (8.21)

де  - кратності дійсних коренів,  - кратності пар комплексно спряжених коренів.

Нехай правильний дріб має вигляд  , де і  – степені поліномів  і  і  розкладається на множники так, як це показано в (8.21). У курсі алгебри доводиться, що кожному простому дійсному кореню  відповідає простий дріб , а  - кратному  відповідає сума  простих дробів:

Кожній парі комплексно спряжених коренів  відповідає простий дріб вигляду , де  кожній  - кратній парі комплексно спряжених коренів відповідає сума  простих дробів:

Розглянемо конкретний приклад розкладу на прості дроби правильного раціонального дробу

в якому знаменник уже розкладений на множники. Коренями знаменника є однократний корінь 1, двократний корінь 2, двократна пара комплексно спряжених коренів  (корені рівняння ), однократна пара комплексно спряжених коренів  (корені рівняння ). Отже , заданий дріб може бути поданий як

де  - невідомі коефіцієнти , які треба обчислити, виходячи з того, що написана рівність є тотожністю. Її можна записати , звільнившись від знаменників:

Якщо прирівняємо коефіцієнти за однакових степенів  у правій і лівій частинах одержаної тотожності після того, як у правій частині будуть виконані дії і згруповані члени з однаковими степенями , то одержимо систему дев’яти лінійних рівнянь із дев’ятьма невідомими відносно невідомих коефіцієнтів, які й знайдемо із вказаної системи рівнянь. У курсі алгебри доведено, що необхідна система рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів завжди має єдиний розв’язок .

Але можна зробити інакше : в написану тотожність замість  по черзі підставити корені знаменника дробу  ( хоч можна замість  підставляти довільні числа.). В результаті одержимо шість невідомих коефіцієнтів. Отже, залишиться знайти ще три коефіцієнти .

При  , а при , при  матимемо , Звідси дістаємо систему рівнянь з якої знаходимо  . При  аналогічно знайдемо  . Отже, залишилися невідомими  . Їх можна знайти, підставляючи в тотожність замість , наприклад, . Із врахуванням значень  з системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими можна визначити .

Якщо безпосередньо скористатись тотожністю і зрівняти коефіцієнти за однакових степенів  у правій і лівій частинах, то одержимо таку систему рівнянь:  Після визначення всіх невідомих коефіцієнтів цієї системи рівнянь вже легко буде проінтегрувати заданий дріб, користуючись формулами простих раціональних дробів (п. 9.7.1).

Якщо знаменник раціонального дробу має лише прості корені (дійсні або комплексні), то невідомі коефіцієнти найпростіше можна знайти підстановкою коренів знаменника в тотожність (такого самого типу, що і у попередньому прикладі) замість  .

Приклад. Обчислити інтеграл:

 Р о з в ‘ я з о к. Розкладемо знаменник на множники

Тоді розкладемо підінтегральний дріб на прості дроби:

=

 

 

Одержимо

 і

Виділення раціональної частини інтеграла.

Метод Остроградського

Розглянемо правильний раціональний дріб . При розкладі його на прості дроби одержимо таку суму простих дробів:

  (8.22)

Перша група доданків у цій сумі в результаті інтегрування дає

,

тобто ірраціональний вираз. Друга група доданків, якщо її проінтегрувати, буде такою:

 .

Третя група доданків після інтегрування:

 .

Використовуючи рекурентну формулу, зведеться до суми правильного раціонального дробу і  з деяким числовим множником . Якщо (8.22) проінтегрувати і додати всі дроби раціональної частини інтеграла, одержимо правильний дріб вигляду , де

, а - поліном, степінь якого буде меншим, ніж степінь полінома в знаменнику. Тому

 , (8.23)

де  - теж раціональний дріб, усі множники знаменника якого

або лінійні, або квадратні в першому степені, або їх комбінації, причому .

Із (8.23) знаходимо

  (8.24)

Тут поліноми  і - невідомі, степені їх треба брати на одиницю меншими, ніж степені в знаменнику, при цьому їх треба записувати з невизначеними коефіцієнтами, які знаходять так само, як і в разі розкладу раціонального дробу на прості дроби. Але перш, ніж звільнитися від дробів у (8.24), треба скоротити дріб, одержаний від диференціювання, на спільні множники чисельника і знаменника, якщо у знаменнику були степені множників більші за одиницю. У всіх випадках після диференціювання знаменник дробу повинен дорівнювати .

Приклад.

.

Р о з в ‘ я з о к. Підінтегральну функцію, користуючись формулою (8.24), подамо у вигляді

де - невідомі числа.

Розглянемо дріб ,

де .

Тоді

Тут здійснено скорочення на . Якщо цього не зробити, то далі виникнуть труднощі, викликані тим, що отримаємо систему рівнянь, в якій буде більше рівнянь, ніж невідомих коефіцієнтів.

Для визначення невідомих коефіцієнтів  одержимо таку систему рівнянь:

 

Із цієї системи знаходимо:  

На підставі формули (8.24) матимемо

Інтеграл у правій частині цієї рівності знаходять точно так само, як це було зроблено в попередньому прикладі. Пропонується довести цю роботу до кінця.

Методом Остроградського можна користуватися в разі інтегрування правильного раціонального дробу, знаменник якого має кратні корені

(дійсні або комплексні ).

У результаті інтегрування виділяється правильний раціональний дріб і новий інтеграл, знаменник підінтегрального виразу якого має лише прості корені. Ця обставина дозволяє дуже легко знайти невідомі коефіцієнти в чисельниках підінтегральної функції після її розкладу на прості дроби, не вдаючись до розв’язування системи рівнянь, якій задовольняють невідомі коефіцієнти розкладу.