Тема 32. Інтегрування з допомогою заміни змінної. Інтегрування частинами.

Питання теми

Інтегрування частинами

Інтегрування часток

Заміна змінної

8.3.4. Інтегрування частинами

 Нехай  і – диференційовані функції  на

Тоді  або

Звідси

  (8.16)

Формула (8.16) називається формулою інтегрування частинами в невизначеному інтегралі.

Користуючись формулою (8.16), рекомендується обчислення інтегралів від таких функцій :

де  –поліном ,  – раціональна функція . Описати всі можливі випадки застосування формули інтегрування частинами неможливо. Інтегруючи такі вирази, завжди виникає дилема : що взяти за, а що – за . Інтегруючи вирази вигляду , , після того як підінтегральна функція буде розписана за властивостями 40 і 50 , одержимо інтеграли вигляду  , де  - одна з функцій в яких слід за  брати , бо, в протилежному випадку, інтеграл ускладнюватиметься за рахунок зростання степенів . В інтегралах , де - одна з функцій  вигідно за  брати  . В інших випадках вибір здійснюється залежно від того, при якому з виборів легше знайти  за  , хоч це теж не є абсолютною істиною . Іноді доводиться експериментувати .

Інтегруючи вирази , доцільно за  взяти . Знаходження  із співвідношень  теж здійснюється інтегрування частинами .

Для прикладу знайдемо

 Приймаючи, а , знайдемо

 Далі матимемо , тобто дістанемо інтеграл .

Знову, взявши , знайдемо . Отже , одержимо таку систему рівнянь відносно  та :

Звідси

  

Приклад 1 .

Позначивши ,

одержимо  . Звідси

 . (8.17)

Остання формула є рекурентною, тобто , знаючи , що , можна поступово знайти , де  – ціле число,

більше за одиницю . Наприклад, при

Звідси  .

Приклад 2.  .

 Нехай Тоді

  і

У новому інтегралі степінь величини понизився на одиницю, а це означає , що інтеграл став простішим , ніж був .

Знайдемо тепер . Маємо .

Звідси

Отже , на основі формули (8.16) одержимо

Враховуючи значення  , знаходимо

.

Приклад 3.

 

Із останньої рівності одержимо

  .

Обчислимо тепер

Звідси .

Остаточно з урахуванням , матимемо

Останній приклад показує, що часто інтегрування частинами приводить до мети скоріше в тих випадках, де, як це здавалось би, доцільніше застосувати інші методи . У цьому можна переконатися, спробувавши знайти первісну для функції , застосувавши наприклад , заміну змінної за формулою  , про що мова буде іти пізніше.

9.3.5. Інтегрування часток

Через те , що  то

 . (8.18)

Користуючись цим , стають очевидними такі формули :

.

Нехай маємо  , причому  , де  – довільне дійсне число. Тоді

.

Розглянемо інтеграл вигляду  якщо , то

  , (8.19)

де .

Приклади .

1..

2..

3..

Через те що , то

.

9.3.6. Заміна змінної

 Нехай потрібно обчислити інтеграл  причому безпосередньо первісну ми знайти не можемо, але відомо, що вона існує.

 Зробимо заміну змінної в підінтегральному виразі

де  неперервна функція з неперервною похідною, що має обернену функцію. Тоді  і в цьому випадку має місце формула

  (8.20)

 Формулу (8.20) слід розуміти так, що після інтегрування в правій частині рівності замість  буде підставлено його вираз через

 Щоб довести рівність (8.20), потрібно довести, що похідні за  від обох частин рівності рівні між собою:

Ми тут використали правило диференціювання оберненої функції.

 Отже, похідні за  від обох частин рівності (8.20) рівні, що й треба було довести.

 Функцію  потрібно вибирати так, щоби можна було обчислити інтеграл, що стоїть в правій частині рівності (8.20).

Фактично у п. 9.3.5 теж йшлося про заміну змінної, в чому можна безпосередньо переконатися .

Не можна дати універсальних замін змінних , які зводили б заданий інтеграл до простішого. Але для ряду випадків це можна здійснити. Доцільно, наприклад, в інтегралах, що містять під знаком інтеграла вирази вигляду

застосувати відповідно такі заміни змінних:  або

або  .

За подальшого вивчення методів інтегрування розглядатимуться інші заміни змінних .

Приклади .

1.. Підстановка  зводить інтеграл до такого :

2.. Щоб позбутися експонент, доцільно скористатися такою заміною змінної  .Тоді  і інтеграл набере вигляду

 

Література для самоосвіти: [2], [4], [7], [9].