Тема 30. Комплексні числа, їх зображення на площині. Алгебраїчна, тригонометрична і показникова форми комплексного числа. Дії над комплексними числами. Формули Ейлера. Многочлени . Розклад многочлена на множники.

Питання теми

Комплексні числа, їх зображення на площині

Алгебраїчна, тригонометрична і показникові форми комплексного числа

Дії над комплексними числами

Формули Ейлера

Многочлени

Розклад многочлена на множники

8. НЕОЗНАЧЕИЙ ІНТЕГРАЛ

8.1. Комплексні числа

8.1.1. Алгебраїчна форма комплексного числа

Як відомо, в області дійсних чисел не можна добути корінь парного степеня з від’ємного числа, бо не існує такого числа, квадрат якого був би від’ємним. Тому вже квадратне рівняння в області дійсних чисел не має коренів, якщо його дискримінант від’ємний. Вказані обставини приводять до необхідності введення нових чисел так, щоб усі дії, властиві для дійсних чисел, були правильними і для нових чисел, але при цьому, щоб і дія добування кореня була можливою без будь-яких обмежень.

Очевидно, що перш за все треба ввести таке число, щоб його квадрат дорівнював –1. Позначивши його через , одержимо . Звідси . Величина  називається умовною одиницею. Сам термін “уявне число” виник історично і зберігався до цього часу, хоч тепер уже ясно, що ці числа цілком реальні. Користуючись ознакою уявної одиниці, можна скласти таблицю степенів числа :

де  - ціле додатне число.

Числа вигляду  , де  - дійсне число, називаються уявними числами, а числа вигляду  - комплексними, де  i  – дійсні числа.

Побудуємо дві взаємно перпендикулярні осі, одну з яких назвемо уявною, а іншу – дійсною. Відклавши на дійсній осі відрізок довжиною  , а на уявній – відрізок довжиною , можна побудувати точку  (рис. 8.1), яка і є зображенням комплексного числа. При  маємо зображення дійсного числа  на осі  (дійсна вісь), а при  маємо зображення чисто уявного числа на осі  (уявна вісь). Площина  називається комплексною. Кожній точці  на комплексній площині відповідає одне й тільки одне комплексне число , і навпаки, кожному комплексному числу відповідає одна й тільки одна точка  комплексної площини. Комплексне число можна також зображати як вектор

 Інакше кажучи, між комплексними числами й відповідними точками (векторами) комплексної площини існує взаємно однозначна відповідність.

 Із геометричної інтерпретації комплексного числа випливає, що числа  і  рівні тоді і тільки тоді, коли  і . Звідси, як

 Рис.8.1 наслідок, маємо ,

 якщо  і . Поняття “більше” (>), “менше” (<) для комплексних чисел не введено.

 Приклад. За яких умов комплексні числа  і  рівні?

Р о з в ’ я з о к. З умови рівності двох комплексних чисел одержуємо:

Розв’язавши цю систему рівнянь, знаходимо  і . Отже, задані комплексні числа рівні тоді й тільки тоді, коли 1) і 2).

Розглянемо дії над комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі.

а). Додавання і віднімання. Сумою двох комплексних чисел  і  називається число , а їх різниця запишеться так: .

Додавання і віднімання комплексних чисел здійснюється за правилами додавання і віднімання векторів (рис.8.2).

б). Множення двох комплексних чисел  і  здійснюється так само, як і множення двочленів:

Числа вигляду  і називаються комплексно

Рис.8.2

спряженими. Їх добуток є дійсне число  

в). Ділення. Нехай потрібно число  поділити на число , тобто

Отже, в результаті ділення двох комплексних чисел одержуємо комплексне число.

г). Піднесення комплексного числа до цілого додаткового степеня здійснюється так само, як піднесення двочлена до степеня з наступною зміною степенів  за формулами:

, де  ціле додатне число.

д). Добування кореня порівняно легко можна здійснити лише для квадратного кореня. Для коренів вищих степенів здійснить це важко, якщо обмежуватися комплексними числами, заданими в алгебраїчній формі.

Приклад. Добути квадратний корінь із числа .

Р о з в ’ я з о к. Нехай  

Тоді , де  і  – дійсні числа. Звідси

Розв’язавши цю систему рівнянь , одержимо

 

Дії додавання і множення комплексних чисел володіють переставним (комутативним), сполучним (асоціативним) і розподільчим (дистрибутивним) законами.

Приклади.

10.

20.

30.

40.

50.

8.1.2. Тригонометрична форма комплексного числа

Сполучимо початок координат з точкою . Довжина  цього відрізка називається модулем комплексного числа, а кут  , що утворює цей відрізок з додатним напрямом осі  називається аргументом комплексного числа (рис.8.1). Очевидно, що аргумент дійсного числа дорівнює , а уявного -

 .

Проекції відрізка  на осі  і  відповідно дорівнюють  і . Тому

 (8.1)

Враховуючи формули (8.1), одержимо:

 

Отже,

 . (8.2)

Запис комплексного числа у вигляді  називають алгебраїчним, а у вигляді (8.2) - тригонометричним.

Приклади. Записати в тригонометричній формі комплексні числа:

Маємо:

Розглянемо дії з комплексними числами, заданими в тригонометричній формі.

а). Дії додавання і віднімання комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі, можуть бути виконані так само, як і в алгебраїчній формі.

б).Множення.

 

  (8.3)

Отже, в разі множення комплексних чисел, заданих у тригонометричній формі, їх модулі перемножуються, аргументи додаються.

в). Ділення.

  (8.4)

тобто при діленні модуль діленого ділиться на модуль дільника, аргумент дільника віднімається від аргументу діленого.

г). Піднесення до цілого додатного степеня. Користуючись правилом множення комплексних чисел, легко довести методом повної математичної індукції, що

 , (8.5)

тобто модуль підноситься до степеня, аргумент множиться на показник степеня. Формулу (8.5) називають формулою Муавра.

д). Добування кореня.

Нехай , де  - невідомі дійсні числа,  - дійсне ціле число. Піднісши обидві частини попередньої рівності до степеня  і скориставшись формулою Муавра, одержуємо:

Звідси

або

Отже,

, (8.6)

де

Корінь  - го степеня з комплексного числа має  значень, які одержують з формули (8.6) послідовною підстановкою замість  чисел

Приклади.

10.  (символи  і означають модуль і аргумент; будь-яке ціле число).

(символи  і означають модуль і аргумент; – будь-яке ціле число);

при  ).

20.

8.1.3. Показникова форма комплексного числа

 Нехай  Якщо  і дійсні змінні, то  називається комплексною змінною. Кожному значенню комплексної змінної на площині  відповідає певна точка (рис.8.1).

 Означення. Якщо кожному значенню комплексної змінної  із деякої області комплексних значень відповідає певне значення іншої комплексної величини  то  є функція комплексної змінної і позначається

 Тут ми розглянемо тільки одну функцію комплексної змінної – показникову функцію , або

 Комплексні значення показникової функції визначаються так ( доцільність такого визначення показникової функції комплексної змінної, а також її властивості будуть показані в ч.2):

  (8.7)

 Якщо в (8.7) покласти  то отримаємо

  (8.8)

 Формула (8.8) називається формулою Ейлера.

 Замінюючи в формулі (8.8)  на одержимо

  (8.9)

Із рівностей (8.8) і (8.9) знайдемо  і

  (8.10)

 Останніми формулами користуються, зокрема, при представленні степенів  і  та їх добутків через синуси і косинуси кратних дуг.

 Із формули (8.8) маємо  а тому формула (8.2) набуває вигляду

  (8.11)

 Формула (8.11) – це запис комплексного числа в показниковій формі.

 На основі формул (8.3)-(8.6) можна легко проводити дії над комплексними числами в показниковій формі.

 Нехай  Тоді

 Приклади.

10.

20.

30.

40.

50.

8.2. Розклад многочлена на множники

 Многочленом (поліномом) степеня  називається функція

  (8.12)

де ціле число.  називають ще цілою раціональною функцією від  Коефіцієнти дійсні або комплексні числа, незалежна змінна  може приймати як дійсні, так і комплексні значення. Коренем многочлена називається таке значення змінної , при якому многочлен перетворюється в нуль.

 Теорема 1 (теорема Безу). При діленні многочлена  на  залишок дорівнює

 Д о в е д е н н я. При діленні  на  часткою буде многочлен  степеня на одиницю нижчого від  а залишком буде постійне число  Отже. Ми можемо записати рівність

 (8.13)

Ця рівність справедлива при всіх значеннях  що відмінні від

 Якщо  то границя правої частини буде дорівнювати  а лівої - Отже,

 Наслідок. Якщо корінь многочлена, тобто то  ділиться без залишку на а, значить, його можна представити у вигляді добутку

де многочлен.

 Якщо рівняння має вигляд  де многочлен степеня  то таке рівняння називається алгебраїчним рівнянням степеня Із визначення випливає, що корені алгебраїчного рівняння  такі ж, як і корені многочлена

 Природно виникає питання : чи всяке рівняння має корені?

 Не всяке рівняння має корені. Але у випадку алгебраїчного рівняння відповідь на це питання позитивна.

 Теорема 2 (основна теорема алгебри). Всяка ціла раціональна функція  має по крайній мірі один корінь, дійсний або комплексний.

 Ця теорема доводиться у вищій алгебрі.

 Нехай многочлен  має деякий корінь Тоді із наслідка теореми Безу маємо  Із основної теореми алгебри випливає, що  також має корінь, наприклад,  Тоді

 і  і т.д.

 Продовжуючи цей процес виділення лінійних множників, дійдемо до многочлена нульового степеня, тобто деякого фіксованого числа. Це число, очевидно, дорівнює так що будемо мати рівність

  (8.14)

 Ніяке значення , що відмінне від , не може бути коренем многочлена оскільки ні один із множників в правій частині (8.14) не перетворюється в нуль при

 Звідси випливає таке твердження: многочлен степеня не може мати більше, ніж  різних коренів.

 Якщо в розкладі (8.14) деякі лінійні множники виявляться однаковими, то їх можна об’єднати. І тоді розклад многочлена на множники буде мати вигляд:

 При цьому  Корінь  називається коренем кратності  або -кратним коренем, коренем кратності  і т.д.

 Звідси можна сформулювати наступну теорему.

 Теорема 3. Всякий многочлен степеня  має рівно  коренів (дійсних або комплексних).

 Приведемо без доведення ще одну важливу теорему.

 Теорема 4. Якщо многочлен з дійсними коефіцієнтами має комплексний корінь  то він має і спряжений корінь

 Тоді парі спряжених комплексних чисел буде відповідати квадратний тричлен з дійсними коефіцієнтами

 Якщо число  є коренем кратності то й число буде коренем кратності  і їм буде в розкладі відповідати множник

 Таким чином, многочлен з дійсними коефіцієнтами можна розкласти на множники з дійсними коефіцієнтами першого та другого степеня відповідної кратності:

При цьому

Література для самоосвіти: [2], [4], [7], [9].