Тема 01. Визначники та їх властивості

← К оглавлению

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65

Питання теми

Визначення матриці.

Означення визначника.

Обчислення визначників другого і третього порядку.

Властивості визначників.

1. ВИЗНАЧНИКИ (ДЕТЕРМІНАНТИ)

1.1. Означення

Означення. Сукупність чисел, які розташовані у вигляді таблиці із рядків та стовпчиків називається матрицею розміру

Коротко матриця з елементами позначається Якщо кількість рядків дорівнює кількості стовпчиків , то така матриця називається квадратною, а число її рядків – її порядком.

Матриця називається одиничною, якщо всі елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші елементи є нулями. Одиничну матрицю будемо позначати буквою Матриця називається діагональною, якщо всі її елементи-нулі, крім елементів головної діагоналі. Матриця називається Матрицею трикутного вигляду називається матриця, в якої вище або нижче головної діагоналі всі елементи нулі. Якщо рядки матриці поміняти на стовпчики, а стовпчики на рядки, то така матриця називається транспонованою до даної і позначається

Символ в математиці означає сумування. Так,

Індекс називається індексом сумування.

Мають місце такі правила сумування:

Означення. Визначником (детермінантом ) квадратної матриці називається число, що ставиться у відповідність цій матриці і обчислюється за її елементами у відповідності з наступними означеннями:

1) Визначником матриці порядку 1 називається єдиний елемент цієї матриці.

2) Визначником матриці порядку називається число

(1.1)

де детермінант матриці порядку що одержується із шляхом викреслювання -го рядка та -го стовпчика. Формула (1.1) дає розклад визначника за елементами -го рядка, де Ця формула зводить визначник матриці -го порядку до обчислення визначників квадратних матриць -го порядку, а далі, за тією ж формулою ми виразимо через визначники матриць порядку . Можна продовжувати цей процес, поки не прийдемо до матриць першого порядку, для яких детермінант

визначено безпосередньо.

Числа називаються алгебраїчними доповненнями до елементів

Можна також розкладати визначник за елементами -го стовпчика за формулою

(1.2)

Застосуємо наше визначення до матриць порядку 2 і 3.

Для матриці порядку 3

очевидно

Два рядки (стовпчики) матриці називаються пропорційними, якщо один з рядків (стовпчиків) одержується множенням всіх елементів іншого рядка (стовпчика) на одне і те саме число, відмінне від нуля. Це можна записати так:

де --й рядок; ; , а .

Рядок називається лінійною комбінацією рядків , якщо , де хоч би одне з чисел відмінне від нуля.

1.2. Властивості визначників

10 . Для довільної квадратної матриці

Доведемо цю властивість за методом індукції. Для матриць порядку 1 це очевидно. Нехай ця властивість справедлива для матриць порядку Доведемо її для матриць порядку

При транспонуванні матриці її ий рядок стає им стовпцем. Скористаємося формулою (1.2) для го стовпця

Але елементи матриці - це елементи матриці визначники матриці порядку визначники транспонованої матриці порядку , які за припущенням є рівні. Тому

20. Якщо один з рядків (стовпчиків) матриці помножити на число , то визначник матриці також помножиться на .

Доведення випливає із формули (1.1) або (1.2), виходячи із властивості, що постійний множник можна виносити за знак суми.

30. Якщо поміняти місцями два рядки (стовпчики), то визначник змінить знак на протилежний.

Доведемо спочатку цю властивість для двох сусідніх рядків (стовпчиків). Якщо ий рядок стане на місце го, то, розклавши визначник за елементами го рядка (формула 1.1), одержимо

Якщо тепер поміняти ий з на им рядком , то, очевидно, потрібно здійснити сусідніх перестановок рядків раз. Це значить, що знак визначника змінюватиметься непарну кількість разів, тобто змінить знак на протилежний.

40. Визначник, що містить два однакові рядки (стовпчики), дорівнює нулю.

Дійсно, помінявши два однакових рядки (стовпчики), визначник, очевидно, не зміниться. Але за властивістю 30 він змінить

знак на протилежний, тобто

50. Визначник не змінюється, якщо до одного з рядків (стовпчиків) матриці додати інший рядок (стовпчик) цієї матриці.

Нехай до го рядка матриці додали ий її рядок, тобто і

але оскільки він містить два однакових рядки

60. Якщо - одинична матриця, то

Дана властивість випливає із розкладу визначника.

70. Якщо один з рядків (стовпчиків) складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.

Розклавши визначник за елементами цього рядка (стовпчика), одержимо всі доданки у формулі (1.1) нулі.

80. Визначник матриці трикутного вигляду дорівнює добутку елементів, що знаходяться на головній діагоналі.

90. Визначник не змінюється , якщо до -го рядка матриці додається її -й рядок, , помножений на число .

100. Якщо який-небудь рядок (стовпчик) матриці є лінійною комбінацією інших рядків (стовпчиків), то визначник дорівнює нулю.

110. Якщо кожний елемент якого-небудь рядка матриці є сумою двох чисел, тобто

, (1.3)

то де - матриця вигляду , в якої -й рядок має вигляд (1.3); - матриця (1), в якої -м рядком є перші доданки елементів рядка (1.3); -матриця, в якої -м рядком є другі доданки рядка (1.3).

120. Сума добутків елементів деякого рядка (стовпчика)

квадратної матриці на алгебраїчні доповнення до цих елементів дорівнює визначнику цієї матриці, а сума добутків елементів на алгебраїчні доповнення до інших елементів дорівнює нулю, тобто