Тема 21. Похідні і диференціали вищих порядків. Функції, задані параметрично, їх диференціювання.

Питання теми

Похідні вищих порядків

Диференціали вищих порядків.

Похідна другого порядку від функції, заданої параметрично.

6.9. Похідні вищих порядків

Нехай функція  задана на деякому проміжку  і нехай всередині цього проміжку вона має похідну . Тоді може трапитися випадок, що , будучи функцією від , в деякій точці , а можливо, і в усіх точках цього проміжку, в свою чергу, має похідну. Цю похідну називають похідною другого порядку, або другою похідною, від функції  в точці .

Похідна другого порядку позначається одним із символів:

   .

Отже, за означенням похідна другого порядку є похідна першого порядку від похідної першого порядку, тобто

.

Звідси випливає таке правило знаходження похідної другого порядку: щоб знайти від функції  похідну другого порядку, треба знати спочатку від цієї функції похідну першого порядку , а потім від похідної  знайти ще похідну першого порядку. Інакше кажучи, щоб знайти , треба функцію продиференціювати два рази.

Приклад. Знайти  від функції .

Р о з в ’ я з о к. Знаходимо : .

Для знаходження  цей результат диференціюємо ще раз. Маємо

.

Зауваження. Якщо рух матеріальної точки відбувається за законом

.

то , як вже було з’ясовано, дорівнює швидкості точки в даний момент часу:

.

Тоді прискорення  визначають як похідну першого порядку від швидкості, тобто , але , тому .

Отже, похідній другого порядку можна дати механічну інтерпретацію, а саме: її можна тлумачити як величину, що дорівнює прискоренню рухомої точки в даний момент часу.

Подібно до того як ми означили похідну другого порядку, визначається й похідна третього порядку.

Нехай у кожній внутрішній точці проміжку  існує похідна другого порядку . Отже,  є функція . Припустимо, що  в деякій внутрішній точці  має похідну першого порядку .

Похідна першого порядку від похідної другого порядку називається похідною третього порядку, або третьою похідною в точці, і позначається одним із символів:

.

Отже, за означенням

.

Звідси й випливає правило знаходження похідної третього порядку, треба функцію послідовно три рази продиференціювати.

Приклад. Знайти  від функції .

Р о з в ’ я з о к. Знаходимо : .

Цей результат ще раз диференціюємо, тобто шукаємо

.

Продиференціювавши ще раз, знаходимо похідну третього порядку:

.

Від похідної третього порядку можна перейти до похідної четвертого порядку, а від похідної четвертого порядку – до похідної п’ятого порядку і т. д. Взагалі, якщо припустити, що від функції вже визначена похідна  - го порядку  і остання існує в кожній внутрішній точці проміжку , то можна дати означення похідної  - го порядку від функції  в точці .

Означення. Похідна першого порядку, якщо вона існує, від похідної  - го порядку називається похідною  - го порядку, або  - ю похідною, позначається одним із символів:

.

Отже, згідно з означенням похідної  - го порядку маємо таку рівність:

,

а звідси й випливає правило знаходження похідної  - го порядку: щоб знайти похідну  - го порядку, треба функцію  продиференціювати послідовно  раз.

Зауважимо, що похідні від першого до четвертого порядку позначають так: . Похідні п’ятого, шостого і т. д.

 - го порядку: .

6.10. Диференціали вищих порядків

Розглянемо на деякому проміжку  функцію , яка на цьому проміжку має похідні до  - го порядку включно. Тоді для такої функції в кожній точці проміжку  існує диференціал

.

У подальшому диференціал  називатимемо диференціалом першого порядку, або першим диференціалом від функції .

Диференціал першого порядку є функція від  і отже, якщо функція  є, в свою чергу диференційованою на проміжку , то вона (або, те саме, ) має диференціал. Цей диференціал називають диференціалом другого порядку, або другим диференціалом від функції , і позначають .

Отже, за означенням . Підставимо в цю рівність . Матимемо

.

Оскільки  є приріст аргументу і є величина стала, то його можна виносити за знак операції диференціювання. Отже, дістаємо такі формули для диференціала другого порядку:

 . (6.68)

Аналогічно визначаються диференціали третього, четвертого і т. д. порядків. Зокрема, якщо для функції  уже означений диференціал  - го порядку  - й диференціал  то диференціалом  - го порядку, або  - м диференціалом від функції  називається диференціал першого порядку від диференціала  - го порядку. Диференціал  - го порядку визначається символом .

Отже, згідно з означенням

.

Використовуючи формулу диференціала першого порядку, можна вивести таку формулу для диференціала  - го порядку:

  (6.69)

Приклад. Знайти другий диференціал від функції .

Р о з в ’ я з о к. Знаходимо похідні  і :

,

Тоді

.

При розгляданні диференціала першого порядку була доведена його інваріантна властивість: форма диференціала не змінюється і в тому випадку, коли аргумент функції  є, в свою чергу, деякою функцією від .

Виявляється, що диференціали вищих порядків такої властивості не мають. Покажемо це на прикладі диференціала другого порядку.

Нехай маємо складну функцію , де функції  і  мають похідні за своїми аргументами до другого порядку включно. Тоді  має диференціал ,

де  - похідна за аргументом , а .

Знайдемо . Згідно з означенням

.

Оскільки диференціал першого порядку має інваріантну властивість, то

Остаточно дістанемо таку рівність:

 . (6.70)

Порівнюючи формули (6.75) та (6.77), виводимо, що формула диференціала другого порядку змінюється. У формулі (6.70) є новий доданок , який у випадку  не дорівнює нулю.

Якщо функція задана параметрично

то її друга похідна обчислюється за формулою

  (6.71)

Література для самоосвіти: [2], [4], [9].