Тема 09. Матриці, дії над ними. Обернена матриця. Матричний запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь та її розв’язок.

Питання теми

Матриці, дії над ними.

Обернена матриця.

Ранг матриці.

4. ЕЛЕМЕНТИ ЛІНІЙНОЇ АЛГЕБРИ

4.1. Матриці

4.1.1. Матриці, дії над ними

 В п.1.1 було дано означення матриці

Числа (функції)  називаються елементами матриці , причому перший індекс - номер рядка, а другий - номер стовпчика.

Якщо матриця має лише один рядок (стовпчик), то вона називається вектором-рядком (вектором-стовпчиком). Матриця, що містить лише один елемент, ототожнюється з цим елементом. Якщо в матриці  всі елементи є нулями, вона називається нульовою. Матриця , рядками якої є стовпчики матриці , називається транспонованою по відношенню до матриці . Транспонована матриця позначається символом , тобто . Матриця, в якої кількість рядків дорівнює кількості стовпчиків , називається квадратною.

Квадратна матриця , в якої всі діагональні елементи є одиниці, а решта елементів – нулі, називається одиничною

.

Дві матриці називаються однотипними, якщо в них кількість рядків та стовпчиків відповідно однакові.

Дві однотипні матриці називаються рівними, якщо в них відповідні елементи рівні.

Сумою (різницею) двох однотипних матриць  і називається матриця, однотипна з даними, а кожний її елемент з сумою (різницею) відповідних елементів даних матриць.

 

 Відносно до дій над однотипними матрицями, як і для чисел, залишаються вірними переставний закон додавання двох матриць, сполучний закон додавання для трьох матриць.

Якщо  і  - числа,  і  - однотипні матриці, то вірні такі дії:

де - нульова матриця.

 Множення матриці  на матрицю  можливе лише тоді, коли кількість стовпчиків матриці  дорівнює кількості рядків матриці . Якщо перша матриця має  рядків і  стовпчиків, а друга -  рядків і  стовпчиків, то множення можливе, якщо .

Помножимо кожний рядок матриці  на кожний стовпчик матриці Одержані  добутків запишемо у вигляді матриці  розміром  А саме, кожний стовпчик матриці  складемо із добутків всіх рядків матриці на відповідний стовпчик матриці  Довільний рядок  складається із добутків рядка матриці  яка має той же номер, на всі стовпчики Таким чином, елементи матриці  обчислюються за формулами

  

 

 Приклади.

1)  2)

3)

4)

Множення матриць не є комутативним. Це означає, що від

перестановки множників може змінитись добуток, тобто

.

Приклади.

1)

 Якщо ,  і  - матриці і  -число, то вірні такі властивості:

 (доводиться безпосереднім множенням).

.

 .

 Оскільки множення матриць некомутативне, то вводяться поняття “множення даної матриці  на матрицю  зліва”, тобто ; ”множення матриці  на матрицю  справа”, тобто .

 З правил множення матриць випливає, що квадратні матриці можна перемножувати у довільному порядку. Але це ще не означає, що результат множення буде одним і тим же. Дві матриці  і, для яких , називаються комутативними.

 Для однотипних квадратних матриць  і  вірні такі твердження:

 ,

тобто визначник добутку двох однотипних квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників.

 Матриця, у якої відмінні від нуля лише елементи, що знаходяться на діагоналі, називається діагональною. При цьому не обов’язково, щоб всі діагональні елементи були відмінними від нуля, деякі з них можуть бути і нулями. Для одиничної матриці  і однотипної їй матриці  вірне таке твердження:

 .

 Порядком квадратної матриці називається кількість її рядків (або стовпчиків, або діагональних елементів).

Введемо такі нові поняття, що відносяться до теорії матриць.

Матрицяназивається неособливою (несингулярною, невиродженою), якщо . Якщо , матриця  називається особливою (сингулярною, виродженою).

4.1.2. Обернена матриця

Для даної квадратної матриці  вводяться поняття оберненої матриці. Її позначають символом .

 Матриця  (якщо вона існує) називається оберненою по відношенню до даної матриці , якщо

 ,

де - одинична матриця того ж порядку, що й .

 Теорема. Для даної матриці обернена матриця є єдиною, якщо вона існує.

 Д о в е д е н н я. Справді, якщо для матриці  існує ще одна матриця , обернена по відношенню до , то . Звідси випливає, що . Цю останню рівність помножимо справа на . Тоді матимемо

 ,

тобто матриця збіглася з . Теорему доведено.

 Теорема. Всяка неособлива квадратна матриця має обернену матрицю.

 Д о в е д е н н я. Нехай неособлива матриця і - так звана приєднана (союзна) матриця по відношенню до матриці , тобто , де  - алгебраїчні доповнення до елементів матриці .

 Розглянемо

  

;

Отже,

 ,

тобто матриця обернена. Теорема доведена.

 Звертаємо увагу читача на закон складання оберненої матриці.

 Щоб одержати матрицю , потрібно:

1) транспонувати матрицю ;

2) кожний елемент  матриці замінити відповідним алгебраїчним доповненням;

3) обчислити визначник матриці ;

4) кожний елемент добутої в п.2 матриці поділити на .

Приклад 1. Довести, що .

Д о в е д е н н я. Очевидно, що . Помножимо ліву і праву частини останньої рівності на зліва, тобто

 

Знову останню рівність помножимо на зліва, тобто

,

що і треба було довести.

Приклад 2. Знайти матрицю, обернену до матриці

 

Р о з в ’ я з о к. Транспонуємо матрицю :

 

Обчислимо алгебраїчні доповнення до елементів матриці :

Обчислимо визначник матриці  (або ):

Тепер, об’єднавши пп..2 і 4, запишемо

Перевірка:

Отже , обернена матриця знайдена вірно.

 Дійсна квадратична матриця  називається ортогональною, якщо виконується умова

 .

Приклад 3. Довести, що , якщо - ортогональна матриця.

Д о в е д е н н я. Із умови ортогональної матриці  одержуємо

 

 Із правила множення матриць випливає, що це множення виконується точно так само, як і множення визначників. Тому

 .

Звідси , що і треба було довести.

4.1.3. Ранг матриці

 Визначення мінору го порядку матриці  дано в п.1.1. Розглянемо матрицю

 Означення. Базисним мінором матриці називається мінор порядку якщо він відмінний від нуля, а всі мінори го порядку дорівнюють нулю або мінорів го взагалі немає, тобто  співпадає з меншим із чисел  або

 Очевидно, що в матриці може бути декілька різних базисних мінорів. Всі базисні мінори мають один і той же порядок. Дійсно, якщо всі мінори го порядку дорівнюють нулю, то і всі мінори  го, а, значить, і всіх вищих порядків дорівнюють нулю. Це стає ясним, якщо застосувати означення детермінанта до якого-небудь мінору го порядку (всі доповнюючі мінори елементів його першого рядка є мінорами го порядку матриці а тому рівні нулю).

 Рядки і стовпчики, на перетині яких розташований базисний мінор, назвемо базисними рядками і стовпчиками.

 Означення. Рангом матриці  називається порядок базисного мінору, або, інакше, найбільший порядок, для якого існують відмінні від нуля мінори.

 Нульова матриця має ранг, що дорівнює нулю.

 Ранг матриці  позначатимемо

 Перебирати всі мінори в пошуках базисного, якщо розміри матриці немалі, - задача, що пов’язана з великими обчисленнями. Але ми можемо користуватися таким правилом: якщо ми знайшли деякий мінор го порядку, що відмінний від нуля, то не потрібно шукати серед всіх мінорів го порядку той, який відмінний від нуля, а тільки ті мінори го порядку, що обрамляють мінор го порядку, тобто ті, які містять даний мінор го порядку.

 Ми приведемо без доведення деякі теореми, що будуть використовуватися надалі.

 Теорема 1. В довільній матриці кожний рядок є лінійною комбінацією базисних рядків, а кожний стовпчик – лінійною комбінацією базисних стовпчиків.

 Теорема 2. Ранг матриці дорівнює максимальному числу лінійно незалежних рядків (стовпчиків) в цій матриці.

Література для самоосвіти: [1], [3], [5], [6], [9], [12].