2.5. ОПТИМАЛЬНОСТЬ ПО ПАРЕТО

Как уже отмечалось, анализ решений при многих критериях в значительной степени сводится к организации в той или иной фор­ме взаимодействия с ЛПР, которое одно только и может разре­шить проблему соизмерения различных критериев. Тем не менее, существует довольно ограниченная область, в которой примене­ние сугубо формального анализа без обращения к ЛПР оказывается весьма полезным. Речь идет о выделении так называ­емого множества эффективных, или оптимальных по Парето, аль­тернатив.

Легко понять, что альтернатива, не являющаяся эффективной, ни при каких условиях не может рассматриваться в качестве ре­шения задачи. Ведь для неэффективной альтернативы существует другая, превосходящая ее по всем критериям. Отсюда вытекает важнейший критерий рациональности процесса разработки реше­ния: выбираемый вариант должен быть эффективным.

Эффективной считается такая альтернатива, для которой не существует другой допустимой, не уступающей ей по всем крите­риям и хотя бы по одному критерию превосходящей ее.

Как же отыскивать эффективные решения? Главное здесь со­стоит в том, что после того, как сформулированы критерии, зада­ча отыскания множества эффективных решений на заданном мно­жестве альтернатив является, хоть и сложной, но вполне формаль­ной задачей, не требующей для своего решая обращения к ЛПР. Во многих случаях множество эффективных альтернатив можно отыскать, решая задачу с интегральным критерием оптималь­ности, представляющим собой сумму отдельных, частных крите­риев с переменными весами. При этом не имеет значения, какие веса брать для начала процесса. Все равно перебираются с каким- то заданным шагом все возможные комбинации на отрезке от О до 1. После того, как выделено множество эффективных альтер­натив, ЛПР может выбрать одну из них, но строить из них комби­нации, даже в тех случаях, когда такая комбинированная альтер­натива имеет смысл, нельзя. Она может оказаться неэффективной и не может рассматриваться в качестве решения задачи.

Мы же отмечали, говоря о различных алгоритмах решения мно­гокритериальных задач, что они фактически отличаются друг от друга формой вопросов, задаваемых ЛПР. Очень часто пытаются сформулировать эти вопросы таким образом, чтобы ЛПР указало относительные веса (коэффициенты важности или значимости) от­дельных критериев, а затем строят так называемую свертку крите­риев, т.е. за интегральный показатель качества альтернативы при­нимают сумму отдельных критериев с коэффициентами важности.

Такая методика используется настолько часто, что иногда на­чинает восприниматься как единственно возможная. К ее досто­инствам, помимо простоты, следует отнести то, что получаемая при таком подходе альтернатива заведомо будет эффективной. Однако применение этой схемы основано на дополнительных предположениях, которые не всегда оправданы. С математичес­кой точки зрения такая сумма частных критериев с коэффициен­тами важности есть не что иное, как аддитивная функция ценнос­ти. Для того, чтобы такая логическая конструкция правильно от­ражала систему предпочтений ЛПР, необходимо (на этот счет доказаны соответствующие теоремы), чтобы используемые для оценки альтернатив критерии обладали свойством взаимной не­зависимости по предпочтению.

 

В пункте (2.3.3) были рассмотрены матрица платежеспособ­ного спроса Е (табл.2.4) и ее матрица рисков Я (табл.2.5)

 

'49300 197200 197200 197200^ -60 148900 297800 297800 -1140 98400 196800 393600

0 100600 196400

49360 48300 0 95800 50440 98800 101000 0

 

Предположим, что в рассматриваемой схеме известны вероят­ности Р_} того, что реальная ситуация развивается по варианту у. Именно такое положение называется частичной неопределеннос­тью. Тогда решение можно принимать, в частности, по правилу максимизации среднего ожидаемого дохода.

Пример. Прибыль, получаемая компанией при реализации /-го решения, является случайной величиной Е₍ с рядом распреде­ления:

 

Математическое ожидание М[Е,] и есть средняя ожидаемая прибыль, обозначаемая также Е_г Итак, правило рекомендует принять решение, приносящее максимальную среднюю ожидае­мую прибыль.

Предположим, что в рассматриваемом примере вероятности

1 1 1 1 „

равны:                   Тогда

0 4 4 3

ЁГ = 49300 • - +197200 • | +197200 • - +197200- - = 172500, 6        4          4          3

Ё1 = -60 ~+148900 • ~+ 297800 ~ + 297800 ~ = 2109311,

Л = -1140 ~ + 98400 • \ +196800 • 1 + 393600 • 4 = 204810. 6         4          4          3

___________________________________________  2

Максимальная средняя ожидаемая прибыль равна Е₂ = 210931—

и соответствует стратегии компании Рг-

Далее рассмотрим выбор решения по правилу минимизации среднего ожидаемого риска. Риск компании при реализации г'-го

решения является случайной величиной Я, с рядом распреде­ления:

 

Математическое ожидание М[ЯЦ и есть средний ожидаемый

риск, обозначаемый также Я,. Правило рекомендует принять ре­шение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск.

Вычислим средние ожидаемые риски при указанных выше ве­роятностях для матрицы рисков 7?. Получаем:

7Г = 0-— + 0- — + 100600-—+ 196400— = 90616-^,

¹                                                6 4                    4               3               3

Y₂ = 49360 • - + 48300 • | + 0 • | + 95800 4 = 52235,

²                                                              6             4 4                   3

= 50440 4+98800 • -+101000 4 + 0 4 = 65023.

¹                               6             4               4 3                3

Минимальный средний ожидаемый риск равен Я₂ =52235 и соответствует стратегии компании Р₂.

Отличие частичной (вероятностной) неопределенности от пол­ной неопределенности очень существенно. Как указывалось выше, принятие решений, исходя из критериев оптимальности, нельзя считать окончательным, самым лучшим. Это лишь некоторые предварительные соображения. Далее пытаются получить допол­нительную информацию о возможностях того или иного вариан­та решения, о его вероятности, что уже предполагает повторяе­мость рассматриваемой схемы принятия решений: то ли это было в прошлом, то ли это будет в будущем.

Итак, в рассмотренном примере была получена оптимизаци­онная двухкритериальная задача по выбору наилучшего решения, так как каждое решение имеет две характеристики — среднюю ожидаемую прибыль и средний ожидаемый риск.

Существует несколько способов постановки таких оптимиза­ционных задач. Рассмотрим один из них в общем виде.

Пусть О — некоторое множество операций. Каждая операция «о» имеет две числовые характеристики Е (о) и Я (о) (например, эффективность и риск) и разные операции обязательно различа­

ются хотя бы одной характеристикой. При выборе наилучшей операции, желательно, чтобы Е было больше, a R меньше.

Будем говорить, что операция а доминирует операцию в, и обозначать а>в, если Е(а) > Е(в) и R(a) > R(e) и хотя бы одно из этих неравенств строгое. При этом операция а называется доми­нирующей, а операция в — доминируемой. Ясно, что ни при ка­ком разумном выборе наилучшей операции доминируемая опе­рация не может быть признана таковой. Следовательно, наилуч­шую операцию надо искать среди недоминируемых операций Множество этих операций называется множеством Парето или множеством оптимальности по Парето.

На множестве Парето каждая из характеристик Е, R — одно­значная функция другой, т.е. по характеристике Е можно опреде­лить характеристику R и наоборот.

Применительно к матричным играм распределение называет­ся Парето — оптимальным, если положение ни одного из игроков нельзя улучшить, не ухудшая при этом положение его партнера.

Продолжим анализ рассматриваемого примера. Каждое реше­ние  отметим как точку на плоскости (Рис.2.1), получили

три точки. Чем выше точка (Л,, £,•), тем более доходная операция, чем точка правее, тем более она рисковая. Значит, нужно выби­рать точку выше и левее. В рассматриваемом примере множество Парето состоит только из одной второй операции.

Для нахождения лучшей операции иногда применяют подхо­дящую взвешивающую формулу, которая для операции Е с харак­теристиками (/?, Е) дает одно число, по которому и определяют

2 •

200000 —

170000--

• 1

------------------------------ 1----------- 1----------- 1----- ►

50000 75000 100000 R

Рис. 2.1. Множество операций

 

лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула име­ет вид: /(£) = 2Ё~Я.

Тогда имеем:

/(£j) = 2 -172550-906161 = 254483

/(£₂) = 2 ■ 210931! - 52235 = 3696281,

/(£₃) = 2 • 204810-650231 = 3445961.

Отсюда видно, что стратегия Е₂ — лучшая.

Взвешивающая формула выражает отношение лица, прини­мающего решение к доходу и риску. Если ЛПР применяет только что рассмотренную формулу, то он согласен на увеличение риска операции на две единицы, если доход операции при этом увели­чивается не менее, чем на одну единицу. Следует отметить, что эта формула может передать отношение ЛПР к доходу и риску лишь приблизительно.