6.7. ПОСТРОЕНИЕ ПОРТФЕЛЕЙ ПРИ МИНИМИЗАЦИИ РИСКА

6.7.1. Постановка задачи

ЦМРК (САРМ) предполагает, что только систематический риск каждого отдельного актива важен при построении портфе ля. Однако модель, первоначально разработанная Марковицем и до сих пор широко применяемая, использует общий риск каж­дого отдельного актива. Следовательно, при построении портфе­лей и определении общего риска портфеля должны рассматри­ваться ковариации в каждой паре потенциальных для портфеля активов.

Известно, что когда доходы по рискованному активу явля ются случайными переменными, доходы по портфелю — это взвешенная по стоимости средняя доходов по отдельным акти вам, т.е.

= г,                                                                                        (6.7.1)

1=1

Однако среднее квадратическое отклонение портфеля не рав но взвешенной по стоимости средней из средних квадратических отклонений отдельных ценных бумаг, потому что должна быть учтена ковариация в каждой паре активов. Для иллюстрации это

 

го среднее квадратическое отклонение портфеля из двух активов составляет:

о_п =              +УЇСГІ + 2У_хУ₂(р₁₂а_ха₂)

где 0/7 — среднее квадратическое отклонение портфеля, У_х и У₂ — веса активов 1 и 2 в портфеле; <3\² и <5ї — дисперсии доходов по активам 1 и 2; р 12 — корреляция доходов по активам 1 и 2; Оі и о₂ — средние квадратические отклонения доходов по 1 и 2; (Р12О1О2) — ковариации доходов по активам 1 и 2.

 

Каждый элемент — дисперсия в дисперсионно-ковариацион­ной матрице умножен дважды на соответствующий ему вес акти­ва, поэтому веса, связанные с дисперсиями, имеют возведенное в квадрат влияние, т.е. V,-². Каждая ковариация умножается один раз на вес каждого актива из пары активов и существуют две ко­вариации для каждой возможной пары, т.е. 2соу У, Уу.

Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по различным видам ценных бумаг. Естественно, что целью инвес­тора является такое вложение денег, которое сохраняет его капи­тал, а по возможности и наращивает его.

Обозначим через х„ 1 = 1, п долю капитала, потраченную на покупку ценных бумаг 1-го вида. Рассуждения о долях эквивален-

 

тны тому, что весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть Е{ — доходность в процентах годовых ценных бумаг /-го вида в расчете на одну денежную единицу. Тогда доходность пор­тфеля равна

п

(6.7.5)

і=І

Итак, задача увеличения капитала портфеля эквивалентна аналогичной задаче о доходности портфеля, выраженной через доходности бумаг и их доли формулой (6.7.5).

Как правило, доходность бумаг колеблется во времени, так что будем считать ее случайной величиной. Пусть е„ сг, — средняя ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение (СКО) этой случайной доходности, т.е. с,- = М[£,] — математичес­кое ожидание доходности и г, = . где У,-,- — вариация или дис­персия г'-й доходности. Будем называть с,-, г,- соответственно эф­фективностью и риском г'-й ценной бумаги. Через Уу обозначим ковариацию доходностей ценных бумаг г'-го иу'-го видов (или кор­реляционный момент Ку).

Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг случайна, то и доходность портфеля есть также случайная вели­чина. Математическое ожидание доходности портфеля есть

М[Е_п]=х₁М[Е₁]+...+х_пМ[Е_п] = ^х_іе_і,

і

обозначим его через ец. Дисперсия доходности портфеля есть

П[Е_п] = ^^хі^хі^ач-

ч

Так же, как для ценных бумаг, назовем еп эффективностью портфеля, а величину о _{п    п} ] — риском портфеля г_п. Обыч­

но дисперсия доходности портфеля называется его вариацией ^г>п=а²п-

Итак, эффективность и риск портфеля выражены через эффек­тивности составляющих его ценных бумаг и их совместные кова- риации.

Пусть портфель наполовину (по стоимости) состоит из бу­маг первого вида с доходностью 14% годовых и из бумаг вто­рого вида с доходностью 8% годовых. Какова эффективность портфеля?

Оба термина — доходность и эффективность специально упомянуты вместе. Имеем 0,5 • 14 + 0,5 • 8 = 11% годовых.

Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с ди­леммой: хочется иметь эффективность побольше, а риск помень­ше. Однако поскольку «нельзя поймать двух зайцев сразу», необ­ходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском (этот выбор в конечном счете определяется отношением ЛПР к эффективности и риску).

Рассмотрим два портфеля ценных бумаг. Так как портфель оценивается по двум характеристикам — эффективности и риску, то между портфелями есть отношение доминирования. Скажем, что 1-й портфель с эффективнстью е\ и риском Г\ доминирует 2-й С С2, ?2 если С\ > еъ и Г\ < Г2, и хотя бы одно из этих неравенств строгое. Недоминируемые портфели назовем оптимальными по Парето, такие портфели называют еще эффективными. Конечно, инвестор должен остановить свой выбор только на эффективных портфелях.

Если рассмотреть какое-нибудь множество портфелей и нане­сти их характеристики — риск г_п и эффективность е_п на плос­кость риск — доходность, то типичное множество эффективных портфелей выглядит, как кривая БАС на рис. 6.16.

Не расположенный к риску инвестор действует в соответствии с теоремой Неймана — Монгенштерна [54], составляя портфель

 

таким образом, чтобы максимизировать математическое ожида­ние полезности дохода (6.7.1) или (6.7.5). По общему свойству за­дач условной оптимизации следует, что с расширением выбора (6.7.1) (при росте п) шансы на более высокий уровень ожидаемрй полезности увеличиваются.

Любой инвестор заинтересован в уменьшении риска портфе­ля при поддержании его эффективности на определенном уровне.

Пусть в портфеле собрано к различных видов ценных бумаг. Рассмотрим дисперсию портфеля

и

Разобьем слагаемые на две группы:

I                                                       <*/

В первой группе слагаемых к, а во второй — к(к - 1). Предпо­ложим для простоты, что стоимость портфеля распределена рав­ными долями по этим видам ценных бумаг, т.е. все х₁ - ^. Тогда по формулам для дисперсии имеем

^К I                                   IV;           I             I*] ^К '

Величина           может быть названа средней дисперсией цен-

I

у

ных бумаг, входящих в портфель, а величина к(к-Х) — ^{их с}Р^еД" ней ковариацей. Поэтому предьщущую формулу можно выразить словами: дисперсия портфеля равна средней дисперсии плюс

А

1-— средней ковариации. Это и есть эффект диверсификации портфеля: с ростом числа входящих в портфель ценных бумаг в 422 его дисперсии (и риске) вклад средней дисперсии (среднего риска) становится все меньше, зато все больше — вклад средней ковари- ации. Так что если входящие в портфель ценные бумаги мало кор- релированы друг с другом, то дисперсия портфеля уменьшается с ростом числа входящих в портфель бумаг.

В реальности, однако, практически все ценные бумаги, обра­щающиеся на рынке, испытывают воздействие общеэкономичес­ких факторов и изменяются под их воздействием. Это приводит к тому, что их взаимная корреляция является вполне заметной ве­личиной. Эта взаимная корреляция обусловливает так назы­ваемый рыночный, или систематический, риск портфеля, его также называют недиверсифицируемым риском. Систематический риск •— это минимальный уровень риска портфеля, которого мож­но достичь при диверсификации с большим количеством произ­вольно выбранных активов. Иными словами, систематический риск порождается общими рыночными и экономическими усло­виями, и этот риск не может быть полностью диверсифицирован.

Конечно, в силу особенностей работы эмитентов ценных бу­маг каждая конкретная ценная бумага испытывает свои колеба­ния эффективности, иногда совершенно не связанные с общеры­ночными. Эти колебания обусловливают так называемый инди­видуальный, или несистематический, риск ценной бумаги. Его также называют диверсифицируемым, уникальным, остаточным или специфическим риском.

Снижение несистематического риска портфеля при помо­щи диверсификации можно проиллюстрировать графически. На рис. 6.17 показано, что уже для портфеля из 20 случайно подо­бранных активов (в данном случае обыкновенных акций), риск можно почти полностью диверсифицировать. Существенно, что оставшийся риск представляет собой систематический, или ры­ночный, риск.

Таким образом, можно сделать следующий вывод: общий риск актива измеряется вариацией его доходности. При этом он делит­ся на систематический и несистематический компоненты.

Диверсификация портфеля может почти полностью устранить влияние на риск всего портфеля индивидуального риска отдель­ных ценных бумаг, но она не в силах устранить рыночный риск всего портфеля.

Рассмотрим более конкретно упрощенные примеры влияния корреляции разных ценных бумаг. Предположим сначала, что

 

ценные бумаги различных видов ведут себя независимо, они не- коррелированы, т.е. а,, = 0, если / * у". Тогда Б_п = ^ л²сг,² и

 

о; с;

ш ■&

I-

о. о с

&

I

о ч

I ф

I

о

<и

X

£ го

ч

го

I-

о

 

Число активов в портфеле

Рис. 6.17. Систематический и несистематический риски портфеля

Предположим далее, что деньги вложены равными долями, т.е. 1     . — ~        г«,

средняя ожидаемая

Д^ля всех / = 1, я . Тогда е_п = У,—

о²

Пусть у² = шах а², тогда г_п <

Гп'

Отсюда вывод: если ценные бумаги некоррелированы, то при росте числа их видов п в портфеле риск портфеля ограничен и стре­мится к 0 при п —>

Анализ составления портфеля из нескольких видов не­коррелированных ценных бумаг позволяет сделать ряд важных выводов.

 

Предположим, инвестор имеет возможность составить порт­фель из четырех видов некоррелированных ценных бумаг, эффек­тивности и риски которых даны в таблице.

/12 3 4

е,                                  2            4             8         12

<т,                               1            2             4            6

Рассмотрим несколько вариантов составления портфеля из этих бумаг равными долями. Напомним, что эффективность пор­тфеля есть среднее арифметическое эффективностей, а риск в дан-

2 2 2 2 Л+/', + ... + Г„

ном случае г = -------------- — -

п

В табл. 6.7 сведены результаты расчетов эффективности е и риска г для портфелей, образованных из различного сочетания ценных бумаг.

 

Как видим, при составлении портфеля из все большего числа ценных бумаг риск растет весьма незначительно, а эффективность растет быстро.

Однако, как указано выше, полная некоррелированность цен­ных бумаг по существу невозможна.

При полной прямой корреляции диверсификация портфеля не дает никакого эффекта — риск портфеля равен среднему арифме­тическому рисков составляющих его ценных бумаг и не стремит­ся к нулю при росте числа видов ценных бумаг.

Положительная корреляция между эффективностями двух цен­ных бумаг имеет место, когда курс обеих определяется одним и тем же внешним фактором, причем изменение этого фактора дей­ствует на обе бумаги в одну и ту же сторону. Диверсификация портфеля путем покупки обеих бумаг бесполезна — риск портфе­ля от этого не уменьшится.

При полной обратной корреляции возможно такое распреде­ление вложений между различными видами ценных бумаг, что риск полностью отсутствует.

Полная обратная корреляция довольно редкое явление и обыч­но она очевидна.

Суммирая записанные выше отдельные элементы формализа­ции, придем в общем случае к следующей оптимизационной зада­че, которую решает инвестор: максимизировать доходность пор­тфеля

(6-7.7)

м

сведя риск (дисперсию) портфеля

п п

1=1 м

к минимальному значению и выполняя естественное условие

5>,=1.                                                                                     (6.7.9)

1=1

Если инвестор только покупает ценные бумаги, то добавляет­ся условие неотрицательности х₍ > 0.

Для инвестора, который готов участвовать в операциях типа коротких продаж, что равносильно взятию в долг суммы (-х,) под случайную ставку г,-, неизвестные х, могут быть любого знака. Подобное заимствование сводится к тому, что инвестор продает акции, которых у него нет и которые он обещает поставить на оговоренную дату. При этом он назначает цену продажи, исходя из оценки будущего курса.

На дату поставки инвестор приобретает акции на реальном рынке и закрывает свои обязательства. Из-за возможного несоот­ветствия цены приобретения ожиданиям инвестора вся операция сопряжена с риском процентной ставки г, учитываемой в модели характеристиками <?,-, о,².

Мы здесь не даем схемы коротких продаж, т.е. продаж ценных бумаг, которых в данный момент нет, рекомендуя обратиться к специальной литературе. Для нас важно только то, что если неко­торые переменные Хі окажутся отрицательными, то это будет оз­начать, что по данным позициям следует участвовать в подобных операциях.

Очевидно, что точка (х,, ... х„), доставляющая максимум по­лезности и (е, о), принадлежит множеству таких допустимых то­чек задачи (6.7.7) — (6.7.9), которые не могут быть улучшены сра­зу по двум критериям — ей а. В теории многокритериальной оп­тимизации такие решения называются Парето-оптимальными, или эффективными.

Чтобы пояснить смысл этого понятия, представим себе кон­тур, соединяющий точки с координатами е, а, вычисленными для допустимых точек некоторого «условного» множества х (рис. 6.18).

с А

е

Рис. 6.18. Восходящая дуга АВ соответствует Парето-оптимальному множеству решений

Множеству эффективных точек соответствует восходящая дуга АВ: для любой посторонней точки, например С, можно постро­ить улучшающую ее точку (*) в том смысле, что либо е* > е, су* = <т (точка С[), либо е* - е, а* < а (точка С₂), либо е* > е, о* < а (точка Сз), а для «своих» точек этого сделать нельзя.

В связи с этим ясно, что поиск оптимального по критерию полезности и (е, <т) портфеля можно проводить в два этапа: вна­чале, решая задачу (6.7.7) — (6.7.9), найти множество эффектив­ных портфелей, а затем из этого множества отобрать портфель с максимальным уровнем полезности. Очевидно, что это может быть сделано с помощью множества эффективных точек.

Функция полезности и (е, а) и оптимальность по Парето бу­дут подробно рассмотрены в следующей главе.

На данном этапе достаточно лишь знать, что у инвестора име­ется некоторая функция полезности и (е, о), с помощью которой он может анализировать варианты, причем предпочтение отдает­ся варианту с большим значением этой функции.

6.7.2. Построение границ эффективности портфеля

Известно, что если коэффициент корреляции в парах активов меньше чем 1,0, то диверсификация может улучшить взаимосвязь между ожидаемым риском портфеля и ожидаемым доходом по портфелю. Это происходит потому, что, если переменная доход­ности является линейной функцией средней доходности, то фак­тор риска представляет собой квадратическую функцию диспер­сии доходов по ценным бумагам. Степень улучшения портфеля зависит от весов, которые каждый из активов имеет в портфеле, и от корреляции этих активов.

Лучший способ продемонстрировать это — пример с дву­мя активами. Рассмотрим данные табл. 6.8 — различные средние

 

 

квадратические отклонения портфеля, составленного из двух рискованных активов, при допущениях, что корреляция р\^ равна 0,6 или 0,9 и что доли каждого актива в портфеле меня­ются на 10%. Рис. 6.19 — это диаграмма границ эффективнос­ти, относящихся к портфелям, построенным с учетом пред­положенных Р12 = 0,60 и рп = 0,90. Актив 1 имеет ожидаемый доход 8% со средним квадратическим отклонением 12%, а актив 2 — ожидаемый доход 12% со средним квадратическим отклоне­нием 16%.

Средние квадратические отклонения портфеля вычисляются по формуле (6.7.2).

Для предположенной степени корреляции среднее квадрати- ческое отклонение рассчитано для некоторых различных портфе­лей, которые могут быть построены из этих двух активов и нане­сены на диаграмму (рис. 6.19).

Сначала рассмотрим данные в столбце табл. 6.8 для р\г ~ 0,6

и график на рис. 6.19 для р\₂ = 0,6, отражающие выгоды от диверсификации для случая, когда активы умеренно коррели­рованны. Данные и график, обозначенные р\₂ = 0,9, показы­вают, что диверсификация имеет благотворное влияние на соотношение риск-доход, даже когда активы высоко, но не пол­ностью коррелированны. Заметьте, что в обоих случаях грани­ца эффективности вогнута. Чем больше степень вогнутости, тем больше выгоды от диверсификации. Учтите, однако, что не все точки на границе эффективны, а эффективна только верх­няя часть каждой вогнутой границы (обозначенных АВ на рис. 6.19).

Верхняя часть каждой из линий АВ представляет границу эф­фективности возможных портфелей, так как на границе невозмож­но достичь большего дохода без несения большего риска. Выше линии находится область недостижимых комбинаций риска и до­хода из-за ограниченности характеристик ценных бумаг 1 и 2. Ниже линии находятся худшие комбинации риска и дохода, кото­рые могут быть улучшены просто перемещением в любую точку на линии АВ. Это достигается продажей существующих активов и покупкой 1 и/или 2. Например, портфель С располагается на нижней части границы, помеченной р\₂ - 0,6. Инвестор может повысить свою полезность продажей этого портфеля и покупкой комбинации 1 и 2, представленной любой из точек на границе эффективности. Например, перемещаясь в точку Б, инвестор не­сет тот же уровень риска, но получает более высокий доход, чем в С.

Нужно отметить, что не существует единственного наилучше­го портфеля. Жирные линии указывают на многие «эффективные портфели». Граница эффективна, потому что невозможно повы­сить доход без увеличения риска или снизить риск без снижения дохода. Возможная комбинация риска и дохода будет зависеть от целевой функции (функция полезности для инвестора).

Однако давая в реальности обычно менее чем полностью кор­релированные доходы по отдельным активам, теория предпола­гает, что наиболее диверсифицированным и, следовательно, при­носящим наилучший доход на единицу риска, будет портфель, который содержит все рискованные активы. Это должны помнить инвестиционные менеджеры, поскольку их портфели обычно ог­раничены до содержания только денежных средств, облигаций и обычных акций.

6.7.3. Задача оптимизации портфеля

Теперь, понимая взаимосвязь между риском и доходом и вли­яние ковариации, мы можем определить задачу оптимизации пор­тфеля. Задача оптимизации портфеля заключается в том, чтобы определить, какая доля портфеля должна быть отведена для каж­дой из инвестиций так, чтобы величина ожидаемого дохода и уро­вень риска оптимально соответствовали целям инвесторов. Пред­положим, что цель инвестора состоит в минимизации риска порт­феля, где риск измеряется дисперсией портфеля.

На практике инвестор обычно устанавливает ограничения относительно способа, по которому может быть построен порт­фель. Например, целевой функцией может быть минимизация рис­ка, но при каком-то минимальном уровне дохода, а также при ограничениях на минимальные и максимальные доли, которые могут быть инвестированы в каждый актив. Как поступать с эти­ми ограничениями — объясним позже.

Сейчас же проиллюстрируем портфельную задачу, рассмотрев оптимизацию при ограничениях для случая портфеля из трех активов.

Требования инвестора обычно ограничивают процесс выбо­ра. Например, инвестор может потребовать минимизации риска при ожидаемом доходе не менее или равном данному уровню.

Портфельная задача, таким образом состоит в минимизации дисперсии портфеля при каком-то минимальном уровне дохода. Из (6.7.4) видно, что дисперсия портфеля ои может быть выра-

—т

жена через произведение транспонированного вектора V, т.е. V ,

дисперсионно-ковариационной матрицы О и вектора V, т.е. V. Следовательно, поставленная задача является задачей квадрати- ческого программирования и может быть записана следующим образом.

Минимизировать функцию

2 =                                                                                       (6.7.10)

при ограничениях

У,+У₂+У₃ =1

У,Е(г₁) + У₂Е(г₁)+УзЕ(г₃)>Е_Пр(г),                                 ₍₆₇₁₁₎

У!>0,У₂>0,У₃>0,

где Ец_р(г) — это минимальный приемлемый уровень дохода.

 

Рассмотрим некоторый портфель акций, которые находятся на денежном счете и полностью оплачены, т.е. они куплены не за счет кредита. Отметим, что входные данные для нахождения эф­фективного портфеля это прибыли, которые мы ожидаем по дан­ной акции, и дисперсия, которая ожидается от этих прибылей. Прибыли по акциям определяются как дивиденды, ожидаемые за определенный период времени, плюс повышение рыночной сто­имости акций (или минус уменьшение) за этот же период, выра­женные в процентах.

Предположим, что мы имеем три актива — 1, 2 и 3 с ожидае­мыми доходами 0,14,0,16, 0,10 соответственно. Известна диспер­сионно-ковариационная матрица £2 :

0,0002 0,00006 - 0,00008^Л 0,00006 0,0003 -0,00004 -0,00008 - 0,00004 0,0001

Нужно найти пропорции V, для инвестирования в каждый ак­тив, чтобы получить требуемый доход 13% при минимальной дис­персии.

Составляем дисперсию (целевую функцию)

 

0,0002 0,00006 - 0,00008 0,00006 0,0003 -0,00004 -0,00008 - 0,00004 0,0001

 

= + К₂²ст₂² \Vlol +2У_п соу₁₂+2К,з СОУ,₃+2У₂₃ СОУ₂₃ = = 0,0002К,² + 0,0003К₂² + 0,00011"з² + 0,000121-1 К, -0,00016Г,К₃ - -0,00008Г₂К₃.

Таким образом, наша задача формулируется следующим об­разом: минимизировать целевую функцию

г = 0,0002К,² +0,0003к₂² +0,0001К₃² + 0,00012К,К₂ -0,00016У,У₃ -0,00008У₂У₃

при ограничениях

V,+У₂ + У₃=1,

0Д4У, +0,16У₂+0,1У₃ =0,13,

V! >0,У₂ >0,У₃ >0.

 

Если имеем задачу математического программирования: минимизировать функцию

г=ЛУ\, У_г,..., У_п)

при ограничениях

<р_х(У₁,У₂,...,У_п) = 0, / = то функция Лагранжа имеет вид

п

иу_х ,..У„, Я, ,...,А„) = /(V,, У₂,..., У_п) + £ (V,, У₂,..., У_п).

1=1

Для нашего случая функция Лагранжа запишется как

ОД. У2, УъА Д₂) = 0,0002У,² + 0,0003У₂² + 0,0001У₃² + + 0,000121/^2 -0,00016У,У₃ -0,00008У₂\/₃ +А,(У, + У₂ + У₃ -1) + +А₂(0,14У₁ +0,16У₂ +0,1У₃ -0,13).                 (6.7.14)

Находим частные производные этой функции по У\, У₂, Уз, Л\, Л₂ и приравниваем их к нулю

^ = 0,0004У, + 0,00012У₂ -0,00016У₃ +*., +1,2Х₂ =0, (IV,

= 0,0006У₂ + 0,00012V, -0,00008У₃ +1,4Х₂ =0,

0\>2 г)1

- = 0,0002У₃ -0,00016V! -0,00008У₂ +Х, +Х₂ =0,

сУ₃

А 7 \ 7 1 А                                                                          (6.7.15)

= V, + У₂ + У₃ -1 = 0,

4^- = 0,14У,+0,16У₂+0,1У₃ -0,13 = 0. дк₂

Исключаем Уз из 4-го и 5-го уравнений системы, найдем 4У_г + 6 У₂ = 3.

Исключаем А1 из 1-го и 3-го уравнений системы и исключаем А] из 2-го и 3-го уравнений системы, получаем:

0,00028 У\ - 0,00048 У₂ - 0,00008 У₃ - 0,2А₂ = 0, 0,00028 У, + 0,00668 У₂ - 0,00028 У₃ + 0,4А₂ = 0.

Из этих двух уравнений исключаем переменную Я₂, находим 0,00084 У\ - 0,00028 У₂ - 0,00044 У₃ = 0.

Подставляя сюда Уз = 1 - У\ - У₂, имеем 32У\ +4У₂= 11.

Из системы

4У, +6У₂ =3, 32% + 4У₂ = 11

находим, что У\ = 0,307; У₂ = 0,295 и, следовательно, У₃ = -\-V\-Vi~ 0,398.

При этом определяем, что = 0,000432 и А₂ = -0,000439.

Таким образом, минимальные риски (дисперсия) соответству­ют портфелю, в котором имеются 30,7% активов 1-го вида, 29,5% активов 2-го вида и 39,8% активов 3-го вида.

Пакет линейного программирования позволяет быстро решать системы вида (6.7.15).

Рассмотрим четыре потенциальные инвестиции, три из кото­рых — в акции, а одна — в сберегательный счет с процентной ставкой 8,5% в год. Отметим, что продолжительность периода инвестирования равна одному году (табл. 6.9).

 

 

Ожидаемая прибыль — это то же самое, что и потенциальная прибыль, а дисперсия (или стандартное отклонение) ожидаемых прибылей — то же самое, что и потенциальный риск. Отметим, что данная модель двумерная. Мы может сказать, что модель пред­ставлена правым верхним квадрантом декартовой системы коор­динат (рис. 6.20), где по вертикали откладывается ожидаемая при­быль, а по горизонтали откладывается ожидаемая дисперсия, или стандартное отклонение прибылей, или риск.

1.4 -г

1,3 —

 

л 5 л ю

о. с

к го 2

0)

го СІ

з: *

О

 

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

Риск

Рис. 6.20. Правый верхний квадрант декартовой системы координат

Есть и другие аспекты потенциального риска, такие как по­тенциальный риск (вероятность) катастрофического убытка, ко­торый мы не рассматриваем отдельно от дисперсии прибылей. Оптимальный портфель отвечает зависимостям (6.6.10) — (6.6.11) в классическом варианте. Маркович также утверждал, что порт­фель, полученный из этой задачи, оптимален только в том случае, если полезность, т.е. «удовлетворение» инвестора, является лишь функцией ожидаемой прибыли и дисперсии ожидаемой прибыли. Марковиц указал, что инвестор может использовать и более вы­сокие моменты распределения, а не только первые два Е(г) и г, например асимметрию и эксцесс ожидаемых прибылей.

 

Потенциальный риск — очень емкое понятие, он является фун­кцией гораздо большего числа переменных и включает более вы­сокие моменты распределений. Тем не менее мы будем определять потенциальный риск как дисперсию ожидаемых прибылей. Не следует, однако, полагать, что этим риск полностью определен. Риск намного шире, и его реальная природа плохо поддается ко­личественной оценке.

Первое, что должен сделать инвестор, это придать количе­ственный смысл своим предположениям относительно ожидаемых прибылей и дисперсий прибылей рассматриваемых ценных бумаг на определенном временном горизонте (периоде удержания). Эти параметры можно получить эмпирически. Инвестор может рас­смотреть прошлую историю ценных бумаг и рассчитать прибыли и их дисперсии за определенные периоды. Как уже было отмече­но, термин «прибыли» означает не только дивиденды по ценной бумаге, но и любые повышения стоимости ценной бумаги (в про­центах). Дисперсия является статистической дисперсией процент­ных прибылей. Для определения ожидаемой прибыли в период удержания можно использовать линейную регрессию по прошлым прибылям. Дисперсия как входной параметр определяется путем расчета дисперсии каждой прошлой точки данных на основе ее спрогнозированного значения (а не на основе линии регрессии, рассчитанной для прогнозирования следующей ожидаемой при­были). Вместо того чтобы определять эти значения эмпиричес­ким способом, инвестор может оценить значения будущих при­былей и дисперсий. Возможно, наилучшим способом нахождения параметров является комбинация обоих подходов. Инвестору сле­дует использовать эмпирический подход (т.е. использовать исто­рические данные), затем, если это необходимо, можно учесть про­гноз относительно будущих значений ожидаемых прибылей и дис­персий.

Следующими параметрами, которые должен знать инвестор для использования данного метода, являются коэффициенты ли­нейной корреляции прибылей. Эти параметры можно получить эмпирически, путем оценки или с помощью комбинации обоих подходов.

При определении коэффициентов корреляции важно исполь­зовать точки данных того же временного периода, который был использован для определения ожидаемых прибылей и дисперсий. Другими словами, если мы используем годовые данные для опре­деления ожидаемых прибылей и дисперсии прибылей (т.е. ведем расчеты на годовой основе), следует использовать годовые дан­ные и при определении коэффициентов корреляции. Если мы ис­пользуем дневные данные для определения ожидаемых прибылей и дисперсии прибылей (т.е. ведем расчеты на дневной основе), тогда нам следует использовать дневные данные для определения коэффициентов корреляции.

Вернемся к нашим четырем инвестициям — Т,1,Ьик сберега­тельному счету (5). Ниже приведена таблица их коэффициентов линейной корреляции

 

Используя метод п. 6.2, вычисляем дисперсионно-ковариаци­онную матрицу £1 Отметим еще раз, что ковариация ценной бу­маги самой к себе является дисперсией, так как коэффициент ли­нейной корреляции ценной бумаги самой к себе равен 1.

 

= К²сг,² + К₂²сг² + К₃²сг² + 2У_и соу,₂+2У₁₃ соу,₃+2К₂₃ соу₂₃ = = 0,1-К,² +0,25-К/ + 0,4К₃² -0,0474Г,К₂ +0,02К,К₃ +0,158К₂К₃.

Тогда задача формулируется следующим образом: минимизи­ровать целевую функцию

г = 0,1 • У,² + 0,25У₂² + 0,4У₃² - 0,0474У, У₂ + + 0,02У, У₃ + 0,158 ■ У₂У₃    ⁽⁶"⁷'¹⁶⁾

при ограничениях

У,+У₂ + У₃+У₄=1,

0.095У, + 0,13У₂ +0,21У₃ +0,085У₄ = Е, (6 7 17) У,>0,У₂>0,У₃>0,У₄>0.

Здесь через Е мы обозначили требуемый доход. Функцию Лагранжа зададим в виде

ЦУ,,У₂,У₃,У₄,Я,,Я₂) = ОДУ,² + 0,25У² + 0,4У₃² -

-0,0474У,У₂ +0,02У,У₃ + 0,158У₂У₃ +Я,(У, +У₂ +У₃ +У₄ -1) +

+ Я₂ (0.095У, +0,13У₂ +0,21У₃ + 0,085У₄ - Е).

Находим частные производные этой функции по У\, У₂, Уз, У₄, Яь Я₂ ^приравниваем их к нулю

г)1

~ = 0,2У, - 0,0474У₂ + 0,02У₃ +х ,+ 0,095,, ₂ = 0, оУ,

^ = 0,5У₂ -0,0474V, +0,158У₃ +х , +0,13,. ₂ = 0, а\₂ ат

= 0,8У₃+0,02У₍+0,158У₂+х ,+0,21х ₂=0,

о\'₃ г)1

дГ_Г = х , + 0,085х 2=0,

_э,⁴                                                                                         (6-7.18)

= У,+У₂+У₃+У₄-1 = 0,

Эх ,

г)1

-------------- = 0,095У, + 0,13У₂ + 0,21 У₃ + 0,085У₄ - Е = 0.

Ох ₂

Тогда проблема минимизации X при данном Е для рассматри­ваемого портфеля может быть решена с помощью системы линей­ных алгебраических уравнений (6.7.18) с применением ЭВМ.

Так как порядок системы (6.7.18) небольшой, то решим ее в конечном виде. 438

Исключая из пятого и шестого уравнений системы, найдем: 0,015К, + 0,045V₂ + 0,1?5¥■} + 0,085 -Е- 0   (а)

Из первого и второго уравнений исключаем Х\ и из второго и третьего исключаем Ль получаем:

0,2474 V\ - 0,5474 V₂ - 0,138 F, - 0,035А₂ = 0, -0,0674 V\ + 0,342 V₂ - 0,642 V₃ - 0,08A₂ = 0.

Из этих двух уравнений исключаем А₂.

0,022151 • V\ - 0,055762 V₂ + 0,01143 F₃ = 0.

Из этого уравнения с помощью уравнения (а) исключаем F₃

259730 • V\ - 748460 • V₂ - 97155 + 1143000 • Е = 0. (b)

Из первого и четвертого уравнений системы, второго и чет­вертого уравнений и третьего и четвертого уравнений исключаем Ai, получаем три уравнения:

0,2 F, - 0,0474 V₂ + 0,02 F₃ + 0,01Л₂ = 0, -0,0474 V\ + 0,05 F₂ + 0,158F₃ + 0,045A₂ = 0, 0,02F, + 0,158 V₂ + 0,8 F₃ + 0,125A₂ = 0,

в которых из первого и второго, второго и третьего исключаем А₂, находим

0,009474 F, - 0,007133 V₂ - 0,00068 F₃ = 0, -0,006825 V_x + 0,05539 V₂ - 0,01625 F₃ = 0.

Из этих двух уравнений исключаем F₃

158593 F, - 153576 F₂ = 0.

Из этого уравнения и уравнения (Ь) находим, что

V\ = 2,22721-0,188,

(d)

V₂ = 2,30- £-0,195.

Подставляя решения ((1) в уравнение (с), найдем

Уз = 6,9 ■ £-0,582.                                                                 (е)

Из последнего уравнения системы (6.7.18), подставляя в нее выражения (с1) и (е), найдем, что

У₄ = -11,427 •£ + 1,965.                                                             (0

Подставляя решения ((1), (е) и (0 в (6.7.16), получим значение целевой функции (дисперсии, риска)

г_т;_п = 23,919 • Е² - 4,039 • Е + 0,156.

Таким образом, минимальный риск

'тт =д/23,919Е² -4,039 -£ + 0,156                                   (6.7.19)

при требуемом доходе £ будет отвечать оптимальному портфелю составленному из акций Т, Ь, I, Б соответственно в долях

V, =2,227 -£-0,188,

У₂ = 2,30 -£-0,195,                                                                      ₀

Уз = 6,90 • £ - 0,582, У₄ = -11,427 ■£ + 1,965. Пусть ожидаемая отдача (доход) £ = 14. Тогда У\ = 0,1238,

У₂ = 0,127, Уз = 0,384, У₄ = 0,3652, дисперсия £>_тш = сг²-_т = 0,05935, а сг_тш =г_т1п =0,2436 = 24,36%.

Первые четыре значения, от У\ до У₄, дают нам веса, т.е. доли инвестируемых средств, для получения оптимального портфеля с 14%-ой ожидаемой прибылью. Нам следует инвестировать 12,38% в Т, 12,7% в I, 38,4% в £ и 36,52% в сберегательный счет. Если мы хотим инвестировать 50000 долларов, то получим:

 

Таким образом, в I мы бы инвестировали 6350 доллара. Те­перь допустим, что I котируется по цене 20 долларов за акцию, т.е. следует купить 317,5 акции (6350/20). На самом деле мы не можем купить дробное число акций, поэтому купим либо 317, либо 318 акций. Следует также отметить, что небольшой лот из 17 или 18 акций, остающийся после покупки первых 300 акций, будет стоить дороже. Нестандартные, малые лоты обычно стоят несколь­ко дороже, поэтому мы переплатим за 17 или 18 акций, а это кос­нется ожидаемой прибыли по нашей позиции в / и в свою очередь затронет оптимальную комбинацию портфеля.

В некоторых случаях следует ограничиться только стандартным лотом (в нашем случае — это 300 акций). Как видите, необходимо учитывать некоторый коэффициент ухудшения. Мы можем опре­делить оптимальный портфель с точностью до дробной части ак­ции, но реальная торговля все равно внесет свои коррективы.

Естественно, чем больше наш счет, тем ближе будет реаль­ный портфель к теоретическому. Допустим, вместо 50000 долла­ров мы оперируем пятью миллионами долларов. Мы хотим инве­стировать 12,7% в / (если речь идет только об этих четырех инве­стиционных альтернативах) и поэтому будем инвестировать 5000000 • 0.127 = $635000. При цене 20 долларов за акцию мы бы купили 635000/20 = 31750 акций. Когда для инвестирования у нас есть только 50000 долларов, мы купим 300 акций вместо опти­мального количества 317,5 и таким образом отклонимся от опти­мального значения примерно на 5,8%.

Составим табл. 6.10, в которой приведем для различных зна­чений Е веса акций в портфеле и соответствующий им риск.