6.3. ПОРТФЕЛЬ МАРКОВИЦА

6.3.1. Постановка задачи

Рынок капитала — это не машина, выполняющая желание каж­дого инвестора. Если не считать горстки инструментов вроде об­лигаций с нулевым купоном или депозитных сертификатов с фик­сированной процентной ставкой, все остальные акции и облига­ции не дают инвесторам ни малейшей возможности влиять на доходность вложенного в них капитала. Даже ставки сберегатель­ных счетов зависят от капризов банков, которые сами реагируют на изменения процентных ставок на рынках. Доход каждого инве­стора зависит то того, сколько другие инвесторы заплатят за акти­вы в некий момент неопределенного будущего, а поведение несчет­ного числа других инвесторов никто не может ни проконтролиро­вать, ни даже предсказать с достаточной степенью достоверности.

С другой стороны, инвесторы могут управлять риском, кото­рый они на себя берут. Сильно рискуя, можно много выиграть, но только в том случае, если инвестор может выстоять в тяжелой ситу­ации. Эти простые истины стали очевидными лишь в 70-х годах.

В 1952 году, когда Марковиц в «Формировании портфеля» [96] поставил задачу использовать понятие риска при конструирова­нии портфелей для инвесторов, суждения о качестве акций своди­лись к тому, сколько инвестор выиграл иди проиграл. О риске просто не говорили.

В описании инвестиционной стратегии Марковиц не исполь­зует слово «риск». Он просто определяет изменчивость прибыли как «вещь нежелательную», которую инвесторы стараются мини­мизировать. Риск и изменчивость стали синонимами. Фон Ней­ман и Моргенштерн начали измерять полезность, Марковиц на­чал измерять инвестиционный риск.

Дисперсия прибыли является статистической величиной, оп­ределяющей, насколько сильно прибыль от ценных бумаг колеб­лется вокруг своего среднего значения. Это понятие математичес­ки связано со средним квадратичным отклонением; по сути дела, они взаимозаменяемы. Чем больше дисперсия или среднее квад­ратичное отклонение относительно среднего, тем в меньшей сте­пени среднее характеризует ожидаемую прибыль.

Стратегическая роль диверсификации является ключевой в кон­цепции Марковица. В диверсифицированном портфеле, некоторые

акции будут подниматься, когда другие падают; в любом случае доходность разных ценных бумаг будет разной. Использование диверсификации для уменьшения изменчивости привлекательно для каждого, кто не любит риск и предпочитает определенное будущее неопределенному. Большинство инвесторов предпочитает невысо­кую надежную прибыль от диверсифицированного портфеля став­ке на пакет акций одной компании, даже если эта ставка обещает очень высокую прибыль.

Хотя Марковиц никогда не ссылался на теорию игр, заметно большое сходство между его диверсификацией вложений и стра­тегическими играми фон Неймана. В этом случае одним игроком оказывается инвестор, а другим фондовый рынок — противник и в самом деле могучий и с неизвестными намерениями. Играть про­тив такого противника на выигрыш — это, по всей вероятности, верное средство разориться. Следуя же стратегии лучшей из худ­ших сделок — диверсифицируя, вместо того чтобы пытаться со­рвать банк, — инвестор по крайней мере повышает свои шансы выжить.

Математический анализ диверсификации помогает понять причины ее привлекательности. Хотя прибыль от такого портфе­ля будет равна среднему от прибылей входящих в него разнород­ных вложений, зато изменчивость его прибыли будет меньше, чем средняя изменчивость прибыли отдельных составляющих. Это значит, что диверсификация — нечто вроде бесплатной закуски, получаемой в результате составления из группы рискованных ак­ций, обещающих высокий доход, портфеля с относительно неболь­шим общим риском. Главное условие — минимизировать кова­риантность или корреляцию между динамикой доходности раз­личных акций.

Инвесторы всегда хотят владеть «самыми выгодными при дан­ной цене» акциями. Ожидаемый доход от портфеля таких акций равен математическому ожиданию, или среднему от ожидаемого Дохода отдельных пакетов акций, входящих в портфель. Но паке­ты, обещающие наибольшие прибыли, часто приносят разочаро­вание, тогда как другие превосходят самые оптимистичные про­гнозы. Марковиц предположил, что распределение вероятностей значения доходности портфеля вокруг ее математического ожи­дания описывается симметричной нормальной кривой Гаусса.

Распределение этой кривой вокруг среднего значения отража­ет изменчивость доходности портфеля — область возможных ре­зультатов и вероятностей отклонений фактической доходности портфеля от ожидаемой доходности. Именно это Маркович имел в виду, введя понятие дисперсии (изменчивости) как меры риска, или неопределенности дохода; этот комбинированный подход к риску и прибыли профессионалы и ученые обычно называют оп­тимизацией отношения «среднее-дисперсия».

Марковиц использует термин «эффективный» для характери­стики портфеля, составленного из лучших по данной цене акций с минимальной изменчивостью доходности. Можно было бы гово­рить в данном случае об оптимизации. Подход объединяет два основных стереотипа поведения, понятных самому незрелому ин­вестору: кто не рискует, тот не выигрывает, но и не клади все яйца в одну корзину.

Важно понять, что не существует единственного эффективно­го портфеля, который был бы эффективнее всех остальных. Сред­ствами линейного программирования метод Марковича предла­гает меню эффективных портфелей. Как у всякого меню, у него две стороны: с одной стороны, ваши желания, с другой — цена. Чем выше ожидаемый доход, тем больше риск. Но каждый из эф­фективных портфелей этого меню обеспечивает максимальный ожидаемый доход для заданного уровня риска или минимальный уровень риска для заданного ожидаемого дохода.

Разумные инвесторы имеют возможность выбрать по своему вкусу портфель, оптимальный в рамках выбранной ими агрессив­ной или оборонной стратегии. В духе фон Неймана и Моргенш- терна система предлагает метод максимизации выгоды (полезно­сти) для каждого инвестора. Это единственный пункт, в котором система Марковича имеет дело с субъективными устремлениями человека. Все остальное в ней математизировано.

Технические проблемы возникли в связи с предположением Марковича о том, что инвесторам будет не трудно получить оцен­ку нужных для модели исходных данных — ожидаемой доходнос­ти, дисперсии и ковариации доходности отдельных пакетов цен­ных бумаг. Но, как отмечал Кейнс и в своей книге о теории веро­ятностей, и позже, использование данных о прошлом таит в себе опасность. И степень доверия не всегда может быть измерена, тем более с точностью, которой требует подход Марковича. Этот под­ход предполагает использование статистических и прогнозных оденок, но инвесторы знают, что такие расчеты обычно сопро­вождаются большим количеством ошибок. К тому же чувствитель- иость процесса к малым расхождениям в оценке исходных дан­ных делает результат еще более спорным.

Наиболее сложной процедурой в ходе реализации модели Марковица является накопление вычислений, необходимых для оценки того, как курсы разных акций или облигаций меняются по отношению к курсам других акций или облигаций.

Найдем доли X, распределения исходного капитала, миними­зирующие вариацию эффективности портфеля:

(6.3.1.)

при условии, что обеспечивается заданное значение эффективно­сти портфеля Еп, то есть

^Еп=^^Х<^Е*                                                                            (6.3.2)

I

и выполняется бюджетный баланс

brqoil . £ £х,М

В такой постановке минимизация вариации равносильна ми­нимизации риска портфеля, поэтому задача Марковица может быть сформулирована следующим образом. Найти Хі минимизирующие риск портфеля:

при условии, что обеспечивается заданное значение эффективно­сти портфеля Еп, Т.е. Е_п = ^ , , и поскольку X_t — доли, то в

сумме они должны составлять единицу: ^ X, = 1.

Решение (оптимальное) этой задачи обозначим значком*. Если * *

> 0, то это означает рекомендацию вложить долю х, налично­го капитала в ценные бумаги /'-го вида. Если же х* <0, то содер­жательно это означает провести операцию «short sale» («корот­кая продажа»). Если такие операции невозможны, значит необхо­димо ввести ограничения х* > 0.

Что это за операция? Инвестор, формирующий портфель, обя­зуется через какое-то время поставить ценные бумаги i'-го вида (вместе с доходом, какой они принесли бы их владельцу за это время). За это сейчас он получает их денежный эквивалент. Эти деньги он присоединяет к своему капиталу и покупает рекоменду­емые оптимальным решением ценные бумаги. Так как ценные бумаги других видов (т.е. не /-го вида) боле эффективны, то инве­стор оказывается в выигрыше! Собственно, можно обойтись и без операции «short sale», если инвестору доступны займы денежных средств по безрисковой ставке.

Этот портфель минимального риска из всех портфелей задан­ной эффективности называется портфелем Марковица минималь­ного риска. Ясно, что его риск /77 есть функция его заданной эф­фективности.

6.3.2. Портфель Марковица максимальной эффективности

Постановку Марковица задачи формирования оптимального портфеля (6.3.1) — (6.3.3) можно словами сформулировать так: сформировать портфель минимального риска из всех портфелей, имеющих эффективность не менее заданной.

Но столь же естественна и задача формирования портфеля максимальной эффективности из всех портфелей, имеющих риск не более заданного:

Найти х„ максимизирующие ожидаемую эффективность пор­тфеля

Е_п = ^ х, E_i —> шах »

при условии, что обеспечивается заданное значение риска порт­феля, т.е. х, XjVjj = г^г_п; поскольку х,- —- доли, то в сумме они дол­жны составлять единицу: ^ х, = 1.

I

Назовем данную формализацию портфелем Марковица мак­симальной эффективности.

 

6.3.3. Решение задачи о максимально полезном портфеле

Решая задачу Марковица (6.3.1) — (6.3.3) для различных зна­чений Е_р, получим множество точек X*. В плоскости портфель­ных характеристик Е_р, а*_п найденным эффективным точкам бу­дет соответствовать соединяющая их кривая, называемая траек­торией эффективных портфелей (рис. 6.3)

Рыночная эффективная граница

о                                                                                               с;

Рис. 6.3. Зависимость минимального риска от ожидаемой эффективности портфеля

Отметим, что, во-первых, множество эффективных портфе­лей составляет подмножество множества допустимых портфелей и, во-вторых, что на эффективной траектории допустимые порт­фели являются одновременно и эффективными в том смысле, что они дают минимальный риск при фиксированной ожидаемой доходности или максимальную ожидаемую доходность при дан­ном риске.

Согласно сформулированным выше принципам теории Мар­ковица, инвестор всегда выбирает портфель, лежащий на эффек­тивной границе. Этот выбор осуществляется посредством анали­за соотношения риска и доходности (постоянного «взвешивания»). Двигаясь вдоль границы слева направо, мы увеличиваем ожидае­мый риск, но при этом расширяются и границы доходности. В связи с этим возникает следующий вопрос: какой же портфель лучше? Лучший из всех портфелей на эффективной границе Мар­ковица называется оптимальным.

 

Интуитивно понятно, что оптимальный портфель зависит от предпочтений инвестора при выборе между риском и доходнос­тью. Как уже говорилось в начале главы, эти предпочтения мож­но описать при помощи функции полезности.

На рис. 6.4 изображены три кривые безразличия и эффектив­ная граница. В нашем случае кривая безразличия определяет ком­бинации риска и ожидаемой доходности, дающие одинаковый уровень полезности. И чем дальше расположена кривая от гори­зонтальной оси, тем больше полезность.

Также из рис. 6.4 видно, какой портфель при данных кри­вых безразличия будет для инвестора оптимальным. Следует помнить, что инвестор стремится к самой высокой кривой без­различия, какую можно достичь на эффективной границе. При этих требованиях оптимальный портфель представлен точкой пересечения кривой безразличия с эффективной границей. На рис. 6.4 это портфель А. Инвестор находит точку А Е_А), в которой полезность ЩЕ, о) максимальна, и вслед за этим уста­навливает оптимальный для себя портфель как решение X* зада­чи (6.3.1) — (6.3.3).

Портфель А максимизирует полезность для определенных ха­рактером кривой безразличия предпочтений риска и доходности инвестора, а также его ожиданий по поводу доходности и ковари- ации. Если его предпочтения относительно ожидаемого риска и доходности изменятся, изменится и оптимальный портфель. На­пример, на рис. 6.5 изображена та же эффективная граница, но другие кривые безразличия. В этом случае оптимальным будет портфель В с более низкими доходностью и риском, чем портфель А на рис. 6.4.

При этом может возникнуть вопрос о том, как определить функцию полезности инвестора, чтобы построить его кривую без­различия? К сожалению, ответить на него непросто. Дело в том, что экономисты еще не пришли к единому мнению о том, как из­мерять полезность.

Это, однако, не означает, что теория бесполезна. А говорит лишь о том, что, описав эффективную границу, инвестор должен определить, какой эффективный портфель ему подходит в наи­большей степени.

В параграфе 6.2 мы рассматривали вопрос о влиянии диверси­фикации вклада на снижение риска и получили формулу (6.2.9)

₂ 1—2 п-1 —

СГр = -ст, +------------------------------ СОУу ,

^н п                                                   п

которая показывает, что при росте числа п видов ценных бумаг, включаемых в портфель, риск эффективного портфеля ограничен и стремится к нулю при п —» со.

Отсюда вытекает главное практическое правило финансового рынка: для повышения надежности эффекта от вклада в риско­ванные ценные бумаги целесообразно делать вложения не в один их вид, а составлять портфель, содержащий возможно большее разнообразие ценных бумаг, эффект от которых случаен, но слу­чайные отклонения независимы.

Однако в реальности большого разнообразия достичь труд­но, поскольку гипотеза независимости эффектов в достаточной степени условна и ограничивает возможности подобного расши­рения: технологическая сопряженность и экономическая взаимо­зависимость хозяйствующих субъектов естественным образом проявляются в статистическом взаимодействии случайных эффек- тивностей ценных бумаг.

Отметим также, что с практической точки зрения выгоды от масштабной диверсификации далеко не бесспорны: ее экономи­чески обоснованные размеры ограничиваются влиянием трансак- ционных издержек. С ростом числа сделок эти издержки делают включение в портфель малых партий большого числа активов неоправданно дорогим занятием.

Анализ, проведенный экономистами США, показал, что зна­чительную часть диверсифицируемого риска можно устранить, включая в портфель около 20 видов ценных бумаг, и дальнейшее увеличение числа видов таких активов в портфеле ведет к суще­ственному падению темпа уменьшения риска. Кривая риска ин­дивидуального портфеля (Т/7 при увеличении числа активов асим­птотически приближается к уровню риска рыночного портфеля

а*_п (рис. 6.6).

Из описания теории Марковица, можно сделать вывод, что она дает принципы построения эффективных портфелей и спосо­бы выбора из них наилучшего, или оптимального, портфеля. Эта теория отличается от предыдущих тем, что в ней сформулирова­ны принципы измерения основных параметров теории. К ним от­носятся риск и ожидаемая доходность как отдельных активов, так и всего портфеля в целом. Более того, при помощи этих величин, а также ковариации и корреляции между доходностями активов можно осуществить диверсификацию портфеля, цель которой со­стоит в уменьшении его риска без ущерба для доходности. Опре­деление и точный смысл этих параметров основываются на тео­ретико-вероятностных понятиях, а их количественная оценка осу­ществляется статистическими методами.

Ожидаемая доходность портфеля — это взвешенное среднее ожидаемых доходностей всех активов, входящих в портфель. Вес каждого актива определяется как процентная доля рыночной сто­имости актива в общей рыночной стоимости всего портфеля. Риск актива измеряется при помощи вариации или стандартного от­клонения его доходности. В отличие от ожидаемой доходности портфеля его риск не равен взвешенному стандартному отклоне­нию рисков отдельных активов, входящих в портфель. Риск пор­тфеля зависит от ковариации и корреляции между активами. Чем ниже корреляция, тем меньше риск портфеля.

Эффективный портфель по Марковицу — это допустимый портфель с наибольшей ожидаемой доходностью для заданного Уровня риска. Набор всех эффективных портфелей называется эффективным множеством портфелей, или эффективной границей.

Оптимальным портфелем называется такой портфель, кото­рый в наибольшей степени удовлетворяет предпочтениям инвес­тора по отношению к доходности и риску. Предпочтения инвес­тора описываются функцией полезности, которая графически представляется при помощи набора кривых безразличия. Опти­мальный портфель — это такой портфель, для которого кривая безразличия касается эффективной границы.