Глава З ПРИНЯТИЕ ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ В УСЛОВИЯХ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РИСКА

3.1. ВЕРОЯТНОСТНАЯ ПОСТАНОВКА ПРИНЯТИЯ ПРЕДПОЧТИТЕЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

Риск — категория вероятностная, поэтому в процессе оценки неопределенности и количественного определения риска исполь­зуют вероятностные расчеты.

Вероятностные задачи характеризуются тем, что эффектив­ность принимаемых решений зависит не только от детерминиро­ванных факторов, но и от вероятностей их появления, т е. извес­тен закон распределения управляемых факторов X в виде:

 

где Р, есть вероятность появления управляемого фактора х„ /' = 1, п.

Каждой паре (х„ Р,) соответствует значение функции эффек­тивности Е(хь Р,). В качестве показателей эффективности могут выступать математическое ожидание Е, дисперсия О, среднее квад- ратическое отклонение и другие вероятностные характеристики.

Е = ^х,_Р1,0 = и²=^(х,-Е)²-Р; = ?-(Е)²,У=±-|-100%, (3.1.1)

где Е² — среднее ожидаемое значение квадрата рассматриваемой величи­ны.

Средняя величина Е представляет собой обобщенную количе­ственную характеристику и не позволяет принять решение в пользу какого-либо варианта вложения капитала.

Среднее квадратическое отклонение а является именованной величиной и указывается в тех же единицах, в каких измеряется варьирующий признак. Дисперсия и среднее квадратическое от­клонение являются мерами абсолютной колеблемости.

Дисперсия не дает полной картины линейных уклонений АХ = X - Е, более наглядных для оценивания рисков. Тем не ме­нее, задание дисперсии позволяет установить связь между линей­ным и квадратичными отклонениями с помощью известного не­равенства Чебышева.

Вероятность Р того, что случайная величина X отклоняется от своего математического ожидания больше, чем на заданный до­пуск е > 0, не превосходит ее дисперсии, деленной на е², т.е.

Р(|Х-фе)<4-                                                                    (3.1.1)

Отсюда видно, что незначительному риску по среднеквадра- тическому отклонению соответствует малый риск и по линейным отклонениям: точки X с большой вероятностью будут распола­гаться внутри е— окрестности ожидаемого значения Е.

Все более признанным становится оценка рискованности по­средством среднего квадратического отклонения с.

Итак, будем считать, Что риском операции называется число а — среднее квадратическое отклонение управляемого фактора (например, дохода) X операции, которое обозначим г - а.

Если, например, под X понимать случайный доход <2, то Е(> представляет собой средний ожидаемый доход, или эффектив­ность, а среднее квадратическое отклонение сг^ является оценкой рискованности, риском и обозначается rQ.

Коэффициент вариации V — безразмерная величина. С его помощью можно сравнивать даже колеблемость признаков, вы­раженных в разных единицах измерения. Коэффициент вариации изменяется от 0 до 100%. Чем больше коэффициент, тем сильнее колеблемость. Установлена следующая качественная оценка раз­личных значений коэффициента вариации [14]: до 10% — слабая колеблемость, 10—25% — умеренная колеблемость, свыше 25% — высокая колеблемость.

С помощью этого метода оценки риска, т.е. на основе расчета дисперсии, стандартного отклонения и коэффициента вариации можно оценить риск не только конкретной сделки, но и предпри­нимательской фирмы в целом (проанализировав динамику ее до­ходов) за некоторый промежуток времени.

Преимуществом данного метода оценки предпринимательско­го риска является несложность математических расчетов, а явным недостатком — необходимость большого числа исходных данных (чем больше массив, тем достовернее оценка риска).

Рассмотрим данный метод на конкретном примере. Сравним по риску вложения в акции трех типов А, В, С, если каждая из них по своему откликается на возможные рыночные ситуации, дости­гая с известными вероятностями определенных значений доход­ности (табл. 3.1).

 

По формулам (3.1.1) находим для акции А: Е_А =20 • 0,5 + 10 • 0,5 = 15%, И_А = (20 - 15)² • 0,5 + (10 - 15)² • 0,5 = 25,

= л/^7 = 5%, У а = —-100% = -^ -100% = 33,3%; Е_а       15

для акции В:

Е_в =15,1 • 0,99 + 5,1 • 0,01 = 15%, £>_й = (15,1 - 15)² • 0,99 + (5,1 - 15)² • 0,01 = 0,99, 0995

а_в =0,995%, У_в =^-100% = 6,63%;

для акции С:

Ее =13 • 0,7 + 7 • 0,3 = 11,2%, £>_с = (13 - 11,2)² • 0,7 + (7 - 11,2)² • 0,3 = 7,56,

ст_с = 2,75%, У_с = ~ • 100% = 24,6%. 1

Так как наименьшее значение коэффициента вариации имеем для акции В, то и вложения в эту акцию наиболее предпочтитель­ны, тем более, что и о_в - г в = 0,995% наименьшее.

Особый вариант риска связан с разорением. Так называется вероятность столь больших потерь (х < Е), которые ЛПР не мо­жет компенсировать и которые, следовательно, ведут к его разо­рению.

Пример. Пусть случайный доход операции О имеет следую­щий ряд распределения:

 

и потери 30 или более ведут к разорению ЛПР. Следовательно, вероятность возникновения риска разорения в результате данной операции равна 0,1 + 0,2 + 0,5 = 0,8.

Серьезность риска разорения оценивается именно величиной соответствующей вероятности. Если эта вероятность очень мала, то ею часто пренебрегают (в конце концов вероятность разорения отлична от нуля почти в любой сделке — из-за весьма маловеро­ятных катастрофических событий на финансовых рынках, в мас­штабах государства, из-за природных явлений и т.п.).

Определим вероятностную меру разорения, приписывая ей вероятность осуществления подобного события.

Пример. Предположим, что на рынке могут возникнуть толь­ко два исхода и на каждый из них акции А и В откликаются неслу­чайным образом. Вероятности этих исходов и соответствующих им значений доходности задаются табл. 3.2.

Таблица 3.2

Е_а = 6 • 0,3 + 2 • 0,7 = 3,2%, Е_в = - 1 • 0,2 + 4,25 • 0,8 = 3,2%

совпадают, а дисперсии (квадратичные характеристики рисков) равны:

А, = (6 - 3,2)² • 0,3 + (2 - 3,2)² • 0,7 = 3,35, о_А = г_А = 1,83, £»е = (- 1 - 3,2)² • 0,2 + (4,25 - 3,2)² • 0,8 = 3,41, а_в = г_в= 1,85.

Предположим теперь, что инвестор взял деньги в долг под процент, равный 2,5%. Ставка процента по кредиту ниже ожида­емой доходности по акциям, которые будут приобретены на за­емные деньги, поэтому действия инвестора вполне разумны.

Однако, если инвестор вложил деньги в акции А, то при исходе 1 он выиграет (6 - 2,5) = 3,5%, а при исходе 2 проиграет (2 - 2,5) = - 0,5%, причем с вероятностью Рг = 0,7. Напротив, если он вложит деньги в актив В, то разорение ему грозит с вероятнос­тью Р\ = 0,2 в первой ситуации (исход 1), когда он теряет (- 1 - 2,5) = - 3,5%.

Подсчитаем ожидаемые потери (Я) при покупке акций А и В соответственно: П_А - 0,5 • 0,7 = 0,35, П_в = 3,5 • 0,2 = 0,7.

Как видим, в первом случае они меньше. Зато риски разоре­ния, оцениваемые через вероятность наступления события, наобо­рот, при приобретении акций А будут больше (0,7 > 0,2). Это пре­вышение возможности банкротства должно отпугивать осторож­ного вкладчика, который к тому д$е «играет» на заемном капитале, от акции А в пользу бумаг В.

В свою очередь, ожидаемый риск П_л < П_в склоняет его к вы­бору в пользу акций А. Как действовать в подобной ситуации инвестору? Это зависит от его индивидуальных предпочтений, выражаемых в том числе, функцией полезности инвестора.

В рассматриваемых статистических играх используются по­нятия: риск (функция риск), потери (функция потерь), решение (функция решения), функции распределения при определенных условиях.

Между определенностью и неопределенностью находится слу­чай принятия решения в условиях риска, когда можно оценить вероятность возникновения каждого возможного условия. Широ­ко используемый подход при таких обстоятельствах — критерий предполагаемого выигрыша.

Предполагаемый выигрыш рассчитывается для каждой аль­тернативы, после чего отбирается альтернатива с самым высоким показателем. Предполагаемый выигрыш — это сумма значений выигрыша для каждой альтернативы, причем, каждое значение взвешивается с точки зрения вероятности соответствующего ус­ловия. Таким образом, используя критерий предполагаемого вы­игрыша, можно определить возможное значение выигрыша для каждой альтернативы и выбирать вариант с наилучшим значени­ем выигрыша.

 

В случае стохастической неопределенности, когда неуправ­ляемым факторам (состояниям природы) поставлены в соответ­ствие вероятности, заданные экспертно или вычисленные, ре­шение обычно принимается на основе критерия максимума ожидаемого среднего выигрыша или минимума ожидаемого сред­него риска.

Если для каждой игры с природой, задаваемой платежной мат­рицей Р -|, 1-1,/и, ] -1, л" стратегиям природы П_р соответ­ствуют вероятности Р], то лучшей стратегией игрока один будет та, которая обеспечивает ему максимальный средний выигрыш, т.е.

п

max > Р: ■ P_n.

ISiSm ^{1 4}

7=1

Применительно к матрице рисков (матрице упущенных воз­можностей (выгод)) лучшей будет та стратегия игрока, которая обеспечивает ему минимальный средний риск

п

min > Pj Гц.

1<,<т^> ^{1 11}

7=1

Когда говорится о среднем выигрыше или риске, то подразу­мевается многократное повторение процесса принятия решений, хотя реально требуемого количества повторений чаще всего мо­жет и не быть.

Пусть платежная матрица имеет вид:

'5 2                                                 8  4 ^

2 3    4  12

8 5    3  10

14            2 8

По формуле (2.2.2)

Гу = Р]~Р>

где Р - = max Л, при заданном ,

¹ 1</<т ¹

строим матрицу рисков R. 110

 

Находим /3] = шах (5, 2, 8, 1) = 8, = 5, /З₃ = 8, /3₄ = 12 и тогда

3                                          3 0     8

6                                                                                       2 4    0 0           0 5       2

7                                                                                       16     4

 

Предположим, что вероятности Р] равны: Р_} = формуле (3.1.4) находим средний ожидаемый риск:

 

п                                                     « ¹ „

/?2 = 6- —+ 2- — + 4- — + 0- — = 4, 2 6 6 6

Ъ п ¹ , 1 ✓ ¹ „ ^{1 16}

2 6 6 6 ⁼1Г

Минимальный средний ожидаемый риск:

Ятт =т'т(Я1,Р2,Рз,Р4) = -^-

о

По формуле (3.1.3) найден средний ожидаемый выигрыш

2 6 6 6 ^ , 1 „ 1                 1 о ^{1 17}

2 (5 б "б⁼~(Г

Максимальный средний ожидаемый доход Р = тах(Р\,Р2,Рз,Рл) = 1.

 

Вероятностная постановка задачи выбора оптимальных реше­ний в экономике более адекватно отображает реальные ситуации. Поэтому применение вероятностных моделей во многих случаях позволяет уменьшить риск при выборе наиболее эффективных решений. Однако применение указанных моделей связано с не­обходимостью определения вероятностных характеристик ана­лизируемых процессов (ситуаций). Это существенно усложняет решение рассматриваемых задач. Во многих случаях вероят­ностное распределение экономических показателей бывает не­известным. Поэтому возникает необходимость определения предпочтительных альтернатив при условии, что вероятностные характеристики экономических показателей являются неизвест­ными.

В условиях полной неопределенности, когда вероятности рас­сматриваемых ситуаций неизвестны, можно пользоваться пра­вилом Лапласа, заключающимся в том, что все неизвестные вероятности Pj считают равными. После этого выбор эффектив­ного решения можно принимать или по правилу максимизации среднего ожидаемого выигрыша (3.1.3) или по правилу миними­зации среднего риска (3.1.4). Подобный критерий принятия ре­шения можно назвать принципом недостаточного обоснования Лапласа.