2.3. КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ В УСЛОВИЯХ полной НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Неопределенность, связанную с отсутствием информации о вероятностях состояний среды (природы), называют «безнадеж­ной» или «дурной».

В таких случаях для определения наилучших решений исполь­зуются следующие критерии:

• критерий гарантированного результата (максиминный кри­терий Вальда) — это пессимистический по своей сути критерий, потому что принимается во внимание только самый плохой из всех возможных результатов каждой альтернативы. Этот подход ус­танавливает гарантированный минимум, хотя фактический ре­зультат может и не быть настолько плохим;

•   критерий оптимизма (критерий макеимакса) соответствует оптимистической наступательной стратегии; здесь не принимает­ся во внимание никакой возможный результат, кроме самого луч­шего;

•  критерий пессимизма характеризуется выбором худшей аль­тернативы с худшим из всех худших значений окупаемости;

•   критерий минимаксного риска Сэвиджа можно рассматри­вать как критерий наименьшего вреда, который определяет худ­шие возможные последствия для каждой альтернативы и выбира­ет альтернативу с лучшим из плохих значений;

•   критерий обобщенного максимина (пессимизма — оптимиз­ма) Гурвица позволяет учитывать состояние между крайним пес­симизмом и безудержным оптимизмом. В определенных обстоя­тельствах каждый из этих методов имеет свои достоинства и не­достатки, которые могут помочь в выработке решения.

При сравнительном анализе критериев эффективности неце­лесообразно останавливаться на выборе единственного критерия, так как в ряде случаев это может привести к неоправданным ре­шениям, ведущим к значительным потерям экономического, со­циального и иного содержания. Поэтому в указанных ситуациях имеется необходимость применения нескольких критериев в со­вокупности. Например, наряду с критерием гарантированного результата может быть использован критерий Сэвиджа, критерий оптимального поведения может дополняться применением песси­мистического критерия и т.д.

Применение различных критериев эффективности для различ­ных задач выбора оптимальных решений в условиях неопределен­ности показывает, что подход, базирующийся на комплексном применении указанных критериев, может стать определяющим.

2.3.1. Критерий гарантированного результата

Его также называют максиминным критерием Вальда. Сущ­ность данного критерия заключается в следующем. ЛПР распола­гает множеством стратегий (вариантов, альтернатив) решения проблемы.

Указанные стратегии считаются контролируемыми (управля­емыми) факторами. Наряду с факторами управляемыми действу­ют факторы, которые не поддаются контролю. Обозначим их

через Я = {п_]}, 7 =!,/(.

В качестве Р„ могут быть: технические параметры проектиру­емых систем, экономические показатели состояния предприятия, различные варианты решения поставленных задач и т.п.

Факторы Я, представляют: уровень спроса на товары, предла­гаемые фирмой, рыночные цены, условия эксплуатации техничес­ких и производственных систем, действия конкурентов и т.д.

Для оценки эффективности принимаемых решений вводим показатель эффективности Е и считаем, что функция Е(Р, П) яв­ляется известной. Так как факторы Р и Я являются дискретными, то и эффективность Е также представляет собой множество диск­ретных чисел. Таким образом, каждой точке контролируемых и неконтролируемых факторов (Р_ь Щ, ставится в соответствие зна­чение эффективности Е (Р„ Щ. Следовательно, можно построить

матрицу £' = |е₁у||, которая представлена в виде табл. 2.1.

 

Для каждого контролируемого фактора />, (строки) находится min е(Р;,Я₍), в результате чего определяется набор значений по-

1< j<n

казателя эффективности е(Ру, Я)тіп, е(Р2, Я)тіп,..., е(Р_т, Я)тіп. Сравнивая полученные величины, выбирают управляемый фак­тор Р_геР, при котором обеспечивается максимальное значе­ние Е{Р, Я).

Таким образом, критерий гарантированного результата (мак- симинный критерий Вальда) записывается в виде

Е_г = max min Е(Р, 77) = тах min е_и.                                               с? ч п

/ j                                                         )<m<i 1< j<n '

Данный критерий обеспечивает максимизацию минимально­го выигрыша или, что то же самое, минимизацию максимальных потерь, которые могут быть при реализации одной из стратегий. Критерий прост и четок, но консервативен в том смысле, что ори­ентирует принимающего решение на слишком осторожную линию поведения. Величина, соответствующая максимальному критерию, называется нижней ценой игры, под которой следует понимать максимальный выигрыш, гарантируемый в игре с данным про­тивником выбором одной из своих стратегий при минимальных результатах. Это перестраховочная позиция крайнего пессимиз­ма, рассчитанная на худший случай. Такая стратегия приемлема, например, когда игрок не столь заинтересован в крупной удаче, но хочет себя застраховать от неожиданных проигрышей. Выбор такой стратегии определяется отношением игрока к риску.

Рассмотрим следующую задачу. Пусть, например, предприя­тие готовится к переходу на новые виды продукции, при этом воз­можны четыре решения Р\, Р₂, 7>3, Ра, каждому из которых соот­ветствует определенный вид выпуска или их сочетание.

Результаты принятия решений существенно зависят от обста­новки, которая в значительной мере неопределенна. Варианты обстановки характеризует структура спроса на новую продукцию, которая может быть трех типов: П\, 77₂, 77₃.

Выигрыш, характеризующий относительную величину резуль­тата (доходы, прибыль и т.п.), соответствующий каждой паре со­четаний решений Р и обстановки П, представлен в табл. 2.2.

Нужно найти такую стратегию (линию поведения) 7>„ которая по сравнению с другими является наиболее выгодной (оптимальной). Показатель эффективности

Е_г = тах {0,25;0,20;0,10;0,20}= 0,25 i

и, следовательно, предпочтение необходимо отдать варианту 7*1.

Выбрав решение Р\, мы независимо от вариантов обстановки получим выигрыш не менее 0,25. При любом другом решении, в случае неблагоприятной обстановки, может быть получен резуль- 72

 

тат (выигрыш) меньше 0,25. Так, при выборе решений Р₂, полу­ченный выигрыш, в зависимости от наступившего варианта об­становки, будет колебаться от 0,2 до 0,75. Для решений Рт, и Р4 границы, в которых будет колебаться выигрыш, составят 0,10 + 0,80 и 0,20 + 0,90.

Отметим еще раз, что этот критерий ориентирует ЛПР на слишком осторожную линию поведения. Так этот критерий ни­как не учитывает, что в случае принятия решения Р\ (т.е. при ори­ентации на выигрыш 0,25), максимальный выигрыш не превыша­ет 0,4. В то время, как выбирая, например, решение Рз, при гаран­тированном выигрыше 0,1 в случае благоприятной обстановки можно получить выигрыш равный 0,80.

В ряде экономических задач в качестве критерия эффективно­сти принимаемых решений выступает показатель минимума зат­рат. В этих ситуациях принцип гарантированных затрат форму­лируется в виде

З_г =штшахЗ«.                                                                       (2.3.2)

> 1

В качестве затрат 3 = ||3у|| могут выступать: капитальные вло­жения, валовые издержки производства, приведенные годовые затраты и другие показатели.

Пример. Производится сравнение различных инвестиционных проектов Пр\, Пр2,..., Пр_т. Для реализации каждого из проектов необходима определенная величина капитальных вложений К = {К;}, (= Цдй, величины /ц являются управляющими (контро­лируемыми) факторами.

Каждому проекту соответствует определенное значение себес­тоимости продукции, которую предполагается выпускать при ре­ализации проекта. Совокупность значений себестоимости продук­ции представляется в виде:

С = {СД

Величины С/ на начальных этапах выполнения проекта точно определить невозможно, поэтому они считаются неконтролируе­мыми факторами. Каждой паре К(, Ср соответствует опреде­ленное значение приведенных годовых затрат, определяемых по формуле

З ц - Ей • К( + Ср

где Ен — нормативный коэффициент эффективности капитальных вложе­ний.

Располагая наборами {К/} и {Су}, составляем матрицу приве­денных затрат 3 = , С_у )|| = ||з_у |, которая приведена в табл. 2.3.

 

Критерий гарантированных затрат реализуется как З_г =шіп{і30,200,200;150}=130.

В качестве наиболее эффективной выступает первая стратегия, которой соответствуют капитальные вложения К\.

2.3.2. Критерий оптимизма

При использовании данного критерия, называемого также кри­терием максимакса, ЛПР ориентируется на то, что условия функ­ционирования анализируемых систем будут для него наиболее бла­гоприятными. Вследствие этого оптимальным решением является стратегия, приводящая к получению наибольшего значения крите­рия оптимальности в платежной матрице. Этот критерий целесо­образно применять в тех случаях, когда имеется принципиальная возможность повлиять на функции противоположной стороны.

Если анализируется матрица эффекта Е(Р, П) того или иного вида, то выбор управляемых факторов осуществляется таким об­разом, чтобы обеспечить максимум эффекта. И в этом случае кри­терий оптимизма записывается в виде

Е„ = max max Е(Р, 77) = max max е_и.                                          n i

i j    1<;<ш 1< ]<n ¹                                 JZ.J.JJ

Пример. Анализируется матрица выпуска новых видов продукции, приведенная в табл. 2.2. Необходимо определить оптимальную стратегию с помощью принципа оптимизма. В данном случае принцип оптимизма записывается в виде

Е₀ = тах{0,40; 0,75 ;0,80;0,90}= 0,90, i

что отвечает выбору решения Р₄.

Если рассматривается матрица затрат, то управляемые факторы выбираются так, чтобы минимизировать указанные затраты. Тогда рассматриваемый критерий формируется следующим образом:

3„ = min min 3(Р, П) = min min 3„.                                             n i а\

1 j   \<i<m\<j<n ¹                                   iz.j.t;

Пример. Рассматривается матрица приведенных годовых зат­рат, соответствующая табл. 2.3. Необходимо определить наибо­лее эффективную стратегию, используя критерий оптимизма. При­менительно к рассматриваемой ситуации принцип оптимизма может быть представлен в виде

3₀ = min{75,80,60,90}= 60. <

Следовательно, наиболее эффективной является стратегия, соот­ветствующая Кз. Сравнивая два данных решения этого пункта и

75

решения, полученные при использовании критерия гарантирован­ных затрат, видим, что они не совпадают. Следует ожидать, что такая ситуация будет характерна для большинства анализируе­мых реальных задач из-за принципиальных отличий критериев.

Отметим, что ситуации, требующие применения критерия оп­тимизма, в экономике в общем нередки и пользуются им не толь­ко безоглядные оптимисты, но и игроки, поставленные в безвы­ходное положение, когда они вынуждены руководствоваться прин­ципом «или пан, или пропал».

2.3.3. Критерий пессимизма

В отличие от критерия оптимизма, когда ЛПР ориентируется на наиболее благоприятную внешнюю среду, которая является неконтролируемой, и на оптимальное использование управляемых факторов, при использовании принципа пессимизма предполага­ется, что управляемые факторы могут быть использованы небла­гоприятным образом:

Е„ = min min Е(Р, П) — min min е,_{,                             о ? с\

i j                                                         \<i<m\<j<n '           IZ.J.J)

где Е(Р, П) — функция эффективности принимаемых решений.

Применение этого принципа может вызывать некоторое со­мнение, если учесть, что факторы Р являются контролируемы­ми и их следует использовать оптимальным в том или ином смыс­ле образом. Однако, в реальных ситуациях в ряде задач может оказаться невозможным контроль за неконтролируемыми фак­торами, принадлежащими множеству Р. Особенно это отно­сится к задачам, связанным с необходимостью учета фактора времени.

К этим задачам можно отнести следующие задачи: социаль­но-экономическое прогнозирование; долгосрочное планирование; проектирование сложных объектов и др.

Например, издержки производства являются контролируемы­ми факторами на коротких временных интервалах. Однако, при анализе длительных процессов, которые составляют несколько лет, некоторые элементы указанных издержек становятся неконтро­лируемыми. К таким элементам можно отнести: стоимость элект­роэнергии, стоимость материалов и покупных изделий и т.п.

Другим примером является определение объемов производства

продукции предприятия. Данный показатель также можно счи­тать управляемым фактором. Но он зависит от различных факто­ров, которые могут существенным образом применяться в про­цессе производства. При этом указанные факторы относятся к внутренней среде предприятия: уровень конструкторской и тех­нологической подготовки производства, тип используемого обо­рудования, квалификация работающих и пр.

Пример. Компания производит продукцию определенного ас­сортимента и осуществляет ее сбыт по четырем каналам:

•    ежемесячный объем продукции с устойчивыми связями по сбыту на ряд лет в среднем составляет 490000 у.е.;

•   ежемесячный объем продукции с устойчивым сбытом, но не на длительный срок — 500000 у.е.;

•   ежемесячный объем продукции обеспечен только разовыми закупками — 510000 у.е.;

•     месячная продукция, покупатель на которую не опреде­лен — 480000 у.е.

Компания может осуществлять производство продукции по трем проектам в объемах 980000 у.е., 1500000 у.е. и 1980000 у.е.

Требуется выбрать оптимальную стратегию производства.

В зависимости от изменений рыночной конъюнктуры в связи с имеющимися возможностями реализации рассчитаны варианты среднегодовой прибыли, которые представлены в виде матрицы платежеспособного спроса (табл. 2.4), с учетом ожидаемого зна­чения потерь в случае неудачного исхода, связанных, например, с хранением нереализованной продукции, как следствия неисполь­зованных возможностей, нерационального распределения инвес-

 

 

тиций, снижения оборачиваемости оборотных средств, порчей, либо другими причинами.

При построении платежной матрицы первостепенную важность имеют пропорции исходных и результативных показателей, по­скольку вызванные инфляционными пропорциями изменения цен, оказывая влияние на абсолютные величины, не изменяют их про­порциональных соотношений. Это позволяет использовать данную методику в условиях инфляции без дополнительных расчетов.

Контролируемыми параметрами являются объем производства и им соответствуют три стратегии Pi, Р2, Р3. Неопределенность rij связана с колебаниями спроса на продукцию предприятия и ей отвечают четыре стратегии: П\ — низкая зависимость от из­менений рыночной конъюнктуры, П2 — средняя зависимость, /7з — зависимость от изменения конъюнктуры высокая, //4 — за­висимость от изменений конъюнктуры абсолютная.

Критерий пессимизма равный

Е„ = min {49300; - 60; -1140}= -1140.

i

отвечает стратегии Рз, которой соответствует выбор объема производства продукции в сумме 1 980 ООО у.е.

Для анализа матрицы затрат критерий пессимизма запишет­ся как

3„ = max max 3(Р, П) = max max З_и.                                   _п о ^

i ]                                                         läiäm \<]<n ¹             (Z.j.o;

Пример. Располагая матрицей приведенных годовых затрат, представленной в виде табл. 2.3, необходимо выбрать эффектив­ную стратегию с помощью принципа пессимизма.

В рассматриваемой стратегии 3_n = max{l30,200,200,150}= 200.

(

Затраты З_п = 200 могут быть обеспечены при использовании второй и третьей стратегий.

2.3.4. Критерий минимаксного риска Сэвиджа

При использовании вышеперечисленных критериев возмож­ны ситуации, когда неконтролируемые факторы будут действо­вать более благоприятным образом по сравнению с наихудшим состоянием, на которое ориентировалось ЛПР. Например погод- 78

ные условия оказываются более благоприятными по сравнению с прогнозируемыми. Количество конкурентов на тех или иных рынках оказывается существенно меньше по сравнению с теми ожиданиями, на которые ориентировались производители.

В подобных ситуациях полезный результат может значитель­но отличаться от того, который обеспечивается при реализа­ции критерия гарантированного результата или критерия песси­мизма.

Поэтому возникает необходимость определения возможных отклонений полученных результатов от их оптимальных значе­ний. Здесь находит применение критерий Сэвиджа. Выбор стра­тегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем отличием, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей Е, а матрицей рисков R, построенной по формуле (2.2.2).

Критерий Сэвиджа формулируется следующим образом:

E_rc = min max R(P,I7) - min max r_ir                                       (2.3.7.)

i j                                                                              1<j\<m IS]<,n

Пример. Матрица полезного результата имеет вид, представ­ленный в табл. 2.4. Найдем значения /3, = тахе_|7:

' К/<.т '

ßi = max {49 300, - 60, - 1140} = 49 300, ß₂ = max {197 200, 148 900, 98 400} = 197 200, ßi = max {197 200, 297 800, 196 800} = 297 800, fr = max {197 200, 297 800, 393 600} = 393 600,

а затем по формуле (2.2.2) строим матрицу рисков (табл. 2.5).

 

 

В данном случае E_rc = min {196 400, 95 800, 101 000} = 95800. Следовательно, выбирается стратегия Р₂, при которой величина риска, равная 95 800 у.е., принимает минимальное значение в са­мой неблагоприятной ситуации.

Сущность этого критерия в стремлении избежать большого риска при выборе решения. В соответствии с этим критерием (см. табл. 2.4) следует производить продукцию в объеме Р₂ = 1 500 000 у.е.

Таким образом, критерий Сэвиджа минимизирует возможные потери. Основным исходным допущением этого критерия являет­ся предположение о том, что на выбор вариантов обстановки ока­зывают влияние действия разумных противников (природы), ин­тересы которых прямо противоположны интересам ЛПР. Поэто­му, если у противников (конкурентов) имеется возможность извлечь какие-либо преимущества, то они это обязательно сдела­ют. Это обстоятельство заставляет ЛПР обеспечить минимизацию потерь вследствие этих действий.

2.3.5. Критерий обобщенного максимина (пессимизма-оптимизма) Гурвица

Критерий Гурвица позволяет учитывать комбинации наихуд­ших состояний. Этот критерий при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом, характери­зующим состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом.

В соответствии с этим компромиссным критерием для каждо­го решения определяется линейная комбинация минимального и максимального выигрышей.

Е. = {к min е_; + (1 - к) max е.-, },

1<j<n ¹                                                 1<]<П ¹

и предпочтение отдается варианту решения, для которого ока­жется максимальным показатель Е„ т.е.

Е_и = max {А: min е„ + (1 - к) max е_и},                                 о -х ял

* l<i<m 1 <i<n ⁴                                    1 <j<n '^J               (I.J.K)

где к — коэффициент, рассматриваемый как показатель оптимизма (0 < к < 1).

При к = 0 критерий Гурвица совпадает с максимальным критерием, т.е. ориентация на предельный риск, так как боль­ший выигрыш сопряжен, как правило, с большим риском. При к = 1 — ориентация на осторожное поведение. Значения к между О и 1 являются промежуточными между риском и осторожностью и выбираются в зависимости от конкретной обстановки и склонно­сти к риску ЛПР.

Пример. Анализируется матрица полезного результата, име­ющая вид табл. 2.4. При значении коэффициента оптимизма к = 0,6 найдем оптимальную стратегию Р,.

Вычисляем для каждой стратегии линейную комбинацию:

Ei = 0,6 • 49 300 + (1 - 0,6) • 197 200 = 108 460, Е₂ = 0,6 • (- 60) + (1 - 0,6) ■ 297800 = 119 084, £₃ = 0,6 • (- 1140) + (1 - 0,6) • 393 600 = 147 756.

Выбираем наибольшее из этих значений:

Е_и = тах{ 108460; 119084; 147756}.

В соответствии с критерием Гурвица средний размер прибыли будет равен 147 756 у.е. при выборе объема производства Р₃ = 1 980 000 у.е.

Применительно к матрице рисков R критерий Гурвица имеет вид:

Е„ = min {к max r,₇ +(1-£) min г, }.                                    (2.3.9)

1</<т 1< j<n ¹                                       \< ]<п ¹

Пример. Рассматривается матрица коммерческого риска, при­веденная в табл. 2.5. Необходимо определить оптимальную стра­тегию с помощью критерия Гурвица (2.3.9).

Вычисляем при коэффициенте оптимизма к = 0,6 линейные комбинации:

E_ri = 0,6 ■ 196400 + (1 - 0,6) -0 = 117840, Е_г2 = 0,6 • 95800 + (1 - 0,6) • 0 = 57480, Е_гЪ = 0,6 • 101000 + (1 - 0,6) • 0 = 60600.

Находим E_ri = min{117840; 57480; 60600} = 57480, что отвечает выбору объема производства Р₂ = 1500000 у.е.

Пример. Анализируется матрица выпуска новых видов про­дукции, приведенная в табл. 2.2. Исследовать зависимость от различных значений коэффициента оптимизма к и показать оп­тимальные решения.

Результаты вычислений по формуле (2.3.8) сведены в табл. 2.6.

 

Как видим, с изменением коэффициента к изменяется вариант решения, которому следует отдать предпочтение. Сведем все критерии оптимальности в табл. 2.7.