3.6. СРАВНИТЕЛЬНАЯ ОЦЕНКА ВАРИАНТОВ РЕШЕНИЙ

3.6.1. Выбор оптимального варианта решения с помощью статистических оценок

В предыдущей главе рассматривалась сравнительная оценка вариантов решений в условиях неопределенности в зависимости от критериев эффективности.

На практике для сравнительной характеристики проектов по степени риска особенно в инвестиционно-финансовой сфере, в качестве количественного критерия широко используется, как уже указывалось, среднее ожидаемое значение результата деятельнос­ти (доход, прибыль, дивиденды и т.п.), среднее квадратическое отклонение, как мера изменчивости возможного результата, а так­же коэффициент вариации.

Для задачи, рассматриваемой в п. 3.2, исходные данные кото­рой представлены в табл. 3.3, определяем основные показатели эффективности. Для стратегии Р\

Е = Е(Х) = 23300, Е(Х²) — X² = 718930000,

й_Е = е(Х²)-(Е(Х))² =718930000-23300² =176040000,

а_Е - Л)^ = >/176040000 = 13268, У =^^--100 = 56,9%.

23300

Для стратегии Р₂.

£ = 18220, X² =493228000, £>£=161259600, а_Е =12698, У = 69,7%. Для стратегии Р_3:

Е = 21800, X ² = 526160000, =50920000, ст_я =7135, У =32,7%. Эти данные сведем в табл. 3.10.

Таблица 3.10

 

Из этой таблицы однозначно можно лишь сказать, что стра­тегию прохладной погоды, как заведомо проигрышную, предпри­ятие не должно рассматривать. Остается сравнить две стратегии: Л и Р_ъ.

Если имеются две стратегии А и В, для которых известны Е_л, Е_в, а а и о_в, то предложение должно быть отдано стратегии^, если:

1 ,Е_А> Е_в, о_а = о_в и У_А < Ув,

2.                                                            Е_а > Е_в, а_А<а_виУ_А< У_в,               (3.6.1)

3.                                                            Е_а = Е_в, а_А<а_виУ_А< У в-

Предпочтение варианту В следует отдавать при:

4.                                                            Е_а < Е_в, о_А = о_в и У_А > У в,

5.                                                            Е_а < Е_в, ст_А >а_в и Уа> У_в,              (3.6.2)

6.                                                            Е_а = Е_в, о_А> а_в и У_А> Ув-

В общем случае, когда Е_л > Е_в, а_л > а_в или Е_л < Е_в, о_А < а_в, требуются дополнительные исследованию, как и в нашей ситуации.

Заказчик может выбрать стратегию с большим ожидаемым доходом, связанным, однако, с большим риском, или стратегию с меньшим ожидаемым доходом, но более гарантированным и ме­нее рискованным.

Можно также отдать предпочтение стратегии, которая харак­теризуется меньшим коэффициентом вариации Vи, как следствие, обеспечивает более благоприятное соотношение риска (<т) и дохода (Е).

Использование одного из этих двух подходов к выбору опти­мальной стратегии может привести к заметным ошибочным ре­зультатам.

3.6.2. Нормальное распределение

Рассмотрим другой метод исследования, основанный на пред­положении о том, что большинство результатов хозяйственной деятельности (прибыль, доход и т.д.) как случайные величины подчиняются закону, близкому к нормальному. Этот закон харак­терен для распределения событий в случае, когда их исход пред­ставляет собой результат совместного воздействия большого ко­личества независимых факторов, и ни один из этих факторов не оказывает преобладающего влияния.

Нормальное распределение является основным элементом большинства систем управления риском. На нем целиком осно­ван страховой бизнес, потому что от пожара в Москве не загора­ются дома в Самаре, а смерть определенного человека в одном месте, как правило, не имеет отношения к смерти другого челове­ка в другом месте и в другое время. Когда страховые компании собирают сведения о миллионах людей обоего пола всех возрас­тов, значения ожидаемой продолжительности жизни оказывают­ся распределенными по нормальной кривой. В силу этого страхо­вые компании способны с большой степенью надежности оцени­вать продолжительность жизни разных групп населения. Они мо­гут не только определять ожидаемую среднюю продолжительность жизни, но и диапазоны, в которых она может колебаться из года в год. Уточняя эти оценки на основе дополнительных данных, таких, как истории болезней, число курильщиков, постоянные места проживания, профессиональная деятельность, эти компа­нии повышают точность оценки ожидаемой продолжительнос­ти жизни.

Порой нормальное распределение дает гораздо больше важ­ной информации, чем простые оценки представительности выбор­ки. Нормальное распределение менее вероятно, хотя и не исклю­чено, когда наблюдения зависимы друг от друга, то есть когда вероятность события определяется предыдущим событием. Напри­мер, если у лучника проблемы со зрением, стрелы будут ложиться слева от яблочка, т.е. центр распределения окажется сдвинутым. В подобных ситуациях распределение относительно среднего зна­чения обычно оказывается асимметричным.

В таких случаях мы можем воспользоваться рассуждением на­оборот. Если независимость событий является необходимым ус­ловием нормального распределения, можно предположить, что данные, распределение которых представлено нормальной кри­вой, получены на основе независимых наблюдений. Теперь мы можем поставить несколько интересных вопросов.

Насколько точно изменения курса акций на бирже подчинены законам нормального распределения? Некоторые знатоки рынка утверждают, что курс подвержен случайным колебаниям, напо­минающим пошатывающегося пьяного, пытающегося ухватить­ся за фонарный столб. Они полагают, что у курса не больше па­мяти, чем у рулетки или пары костей, и что каждое наблюдение здесь независимо от предыдущего наблюдения. Сегодняшнее дви­жение цен не зависит от того, что произошло минуту назад, вчера или позавчера.

Лучший способ решения вопроса о том, являются ли измене­ния курса акций независимыми событиями, заключается в срав­нении колебаний курса с нормальным распределением. У нас есть веские основания утверждать, что эти колебания подчиняются нормальному закону, и в этом нет ничего удивительного. В усло­виях постоянной изменчивости и конкурентной борьбы на нашем рынке капитала, когда каждый инвестор стремится переиграть других, новая информация мгновенно отражается на котировках. Когда выясняется падение прибыли у General Motors или Merck объявляет о выпуске нового чудодейственного лекарства, коти­ровки не стоят на месте в ожидании, пока инвесторы переварят информацию. Ни один инвестор не станет ждать, пока начнут дей­ствовать другие. На рынке действуют сворой, и новая информа­ция немедленно изменит котировки акций General Motors или Merck. При этом сама новая информация поступает в случайном порядке. В силу этого изменения котировок непредсказуемы.

Интересные данные в поддержку этой точки зрения были при­ведены в 1950-х годах профессором Чикагского университета Гар­ри Робертсом. Роберте с помощью компьютера брал случайные числа из наборов с тем же средним и тем же средним квадратич­ным отклонением, какие наблюдались у цен на фондовой бирже. Затем он начертил диаграмму последовательной смены этих слу­чайных чисел. Результаты оказались идентичными с результата­ми аналитиков рынков ценных бумаг, пытающихся предугадать движение котировок. Реальная динамика цен и динамика случай­ных чисел, выданных компьютером, оказались практически не­различимыми. Возможно, что и на самом деле биржевые котиров­ки не имеют памяти.

Нормальность распределения — это жесткая проверка гипо­тезы случайных колебаний рынка. Но нужна одна важная оговор­ка. Даже если гипотеза случайных колебаний адекватно описыва­ет ситуацию на фондовом рынке, даже если изменения котировок описываются нормальным распределением, среднее значение из­менений всегда отлично от нуля. Тенденция к повышению коти­ровок не должна нас удивлять. Состояние владельцев акций со временем растет, как и сбережения, доходы и прибыли корпора­ций. Поскольку по большей части котировки не падают, а растут, среднее значение их изменений оказывается положительным.

На практике для проверки предположения о нормальном рас­пределении исследуемой совокупности случайных факторов при­меняются различные критерии согласия, устанавливающие соот­ветствие между эмпирическим (опытным) и теоретическим (нор­мальным) распределением, и которые для задаваемой надежности (вероятности) позволяют принять или отвергнуть принятую ги­потезу о нормальном законе распределения.

Нормальное распределение (распределение Гаусса) представ­ляет собой вид распределения случайных величин, с достаточной

точностью опнсывающин распределение плотности вероятности результатов производственно-хозяйственной, финансовой, инно­вационной деятельности или изменений условий внешней среды, поскольку показатели, характеризующие их, определяются боль­шим числом независимых случайных величин, каждая из которых в отдельности относительно других играет незначительную роль и непредсказуема. Применение нормального распределения для оценки рисков также связано с тем, что в основе данных, как пра­вило, используется ряд дискретных значений. Эти теоретические предпосылки, а также апробация моделей для анализа рисков на основе нормального распределения доказывают адекватность это­го теоретического инструмента реальным процессам экономичес­кой деятельности.

Плотность вероятности нормального распределения имеет вид:

(Х-Х)²

1

№=-^=е *> ,                                                                         (3.6.3)

<У\2я

где х = а — математическое ожидание,

а — среднее квадратическое отклонение случайной величины X.

Из курса теории вероятностей известно, что попадание слу­чайной величины X в заданный интервал (а; /3) определяется как

 

и

Р(а<х<р) = $№еЬ=А

 

(х-х)^г

где ф(х) = [е ²°² ах

есть интеграл вероятностей или функция Лапласа, ее значения в зависимости от параметра х приводятся в специальных таблицах, эта функция четная и она изменяется от 0 до 0,5.

Если предположить, что ожидаемое значение результата (при­быль, потери и т.д.) должны принадлежать интервалу (а; /3) дли­ной Л = Р - а, то вероятность того, что достигаемый результат будет находиться в указанном интервале, определяется из форму­лы (3.6.4) и пусть равна Р\. На графике рис. 3.7 заштрихованная площадь численно равна Р\. Тогда вероятность попадания рас­сматриваемого результата за пределы допустимых границ, исхо­

дя из того, что вся площадь под кривой нормального распределе­ния равна единице, будет равна Р₂ — 1 - Р\.

тк

1

 

х

 

Вероятность Р₂ оценивает неопределенность результата и от­дельные авторы считают непосредственным измерителем риска ве­личину Р₂. На наш взгляд, лишь в относительно простых случаях для оценки степени риска можно использовать величину вероятно­сти получения отрицательного результата (Р₂), так как при этом не затрагиваются существенные факторы понятия риска, отсутствует сравнение возможных выигрышных исходов и обстоятельств, спо­собствующих им, с возможными потерями в случае неудачи.

Средняя арифметическая х = а определяет центр распределения и ее размерность та же, что и размерность случайной величины X. Среднее квадратическое отклонение о определяет разброс центра распределения и размерность а совпадает с размерностью случай­ной величины X. На рис. 3.8 показано, как разница в значениях

 

вой распределения. Это есть характеристика рассеивания. Наи­большая ордината кривой распределения обратно пропорциональ­на о; при увеличении а максимальная ордината уменьшается. Так как площадь кривой распределения всегда должна оставаться рав­ной единице, то при увеличении с кривая распределения стано­вится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; напротив, при уменьшении и кривая распределения вытягивается вверх, од­новременно сжимаясь с боков, и становится более иглообразной. На рис. 3.9 показаны три нормальные кривые (/, II, III) при а = 0; из них кривая I соответствует самому большому, а кривая III — самому малому значению а. Изменение параметра ст равносильно изменению масштаба кривой распределения — увеличению мас­штаба по одной оси и такому же уменьшению по другой.

В процессе принятия управленческих решений предпримате- лю целесообразно различать и выделять определенные области (зоны риска) в зависимости от уровня возможных (ожидаемых) потерь. Для этого разработаны и используются так называемые шкалы риска, позволяющие классифицировать поведение лиц, идущих на хозяйственный риск. В табл. 3.11 приведена эмпири­ческая шкала риска, которую рекомендуют применять предпри­нимателям при использовании ими в качестве количественной оценки риска вероятность наступления рискового события авто­ры книги [50].

 

 

Дадим математический анализ этой таблицы.

В практике общеупотребительной характеристикой рассеива­ния служит не среднее квадратическое отклонение о, а другая ве­личина, называемая вероятным отклонением (иначе — «средин­ным отклонением» или «срединной ошибкой»).

Вероятным отклонением называется половина длины участ­ка, симметричного относительно центра рассеивания, вероятность попадания в который равна половине.

Геометрически вероятное отклонение Е есть половина длины участка оси абсцисс, симметричного относительно центра рассе­ивания, на который опирается половина площади кривой распре­деления (рис. 3.10).

Ж

№

 

 

Вероятное отклонение мы будем обозначать буквой Е. Поясним смысл термина «срединное отклонение», часто при­меняемого в практике вместо «вероятного отклонения». Вероя- ность того, что величина X отклонится от центра рассеяния а меньше чем на Е, по определению вероятного отклонения Е, рав- 1

на-

Р(\Х-а\<Е) = ^.                                                           (3.6.5)

Вероятность того, что это отклонение будет больше Е, также 1

равна —

Р<\Х-а\>Е) = \.

Таким образом, при большом числе опытов в среднем поло­вина значений случайной величины Сбудет отклоняться от а боль­ше чем на Е, а половина — меньше; отсюда и термин «срединное отклонение».

Из курса теории вероятностей известно, что вероятность того, что отклонение случайной величины X от среднего значения а по абсолютной величине не превысит положительного числа е= (Л, определяется соотношением

Р(\х-а\<е) = 2ф^у2ф(₁).                                                (3.6.6)

Очевидно, вероятное отклонение как характеристика рассеи­вания должно находиться в прямой зависимости от среднего квад- ратического отклонения ст. Установим эту зависимость. Для это­го вычислим вероятность события |х-а\<Е в уравнении (3.6.5) по формуле (3.6.6)

 

/ „ \

Р(\Х-а\<Е) = Ф

 

Формулы (3.6.4), (3.6.6) и (3.6.7) применяются на практике для попадания случайной величины X в заданный интервал.

Для примера вычислим вероятности попадания случайной ве-

 

личины X, подчиненной нормальному закону, на последователь­ные участки длиной Е, отложенные от центра рассеивания. По определению вероятного отклонения, вероятность попадания на участок длины Е, примыкающий к центру рассеивания, равно 0,25. Так как плотность вероятности по мере удаления от центра рассе­ивания убывает, то, откладывая от центра последовательные уча­стки длиной Е, мы будем получать все меньшую и меньшую веро­ятность попадания (рис. 3.11). Вычислим вероятность попадания

№

 

->

X

 

случайной величины на эти участки по формуле (3.6.7) с точнос­тью до 0,01:

Р(т <Х <т+ Е) = 0,25;

Р(т + Е < X < т + 2£) = 0,16; Р(т + 2Е < X < т + ЪЕ) = 0,07; Р(т + ЪЕ < X <т + ЛЕ) — 0,02.

Складывая эти четыре числа, получаем 0,5. Из этого заключа­ем, что если пренебречь вероятностями менее 0,01, можно считать практически достоверным, что случайная величина, подчиненная нормальному закону, отклоняется от центра рассеивания не бо­лее чем на четыре вероятных отклонения. Строго говоря, такие отклонения все же возможны и встречаются примерно в 0,5% всех случаев (в ту и другую сторону).

 

3.6.3. Кривая рисков

Используя соотношение (3.6.6) и выбирая вероятности из табл. 3.11, по таблицам функции Лапласа Ф(/) находим соответствую­щие значения параметра I (табл. 3.12).

 

Наносим значения е = ог на график нормальной кривой влево

и вправо от х = а и строим зоны риска (не нарушая общности, значения £ откладываются только вправо) (рис. 3.12).

Кривую представленную на рис 3.12, можно называть кривой риска. На ней выделены следующие характерные точки и зоны.

Первая точка определяет вероятность нулевых потерь, ее мож­но считать максимальной, но, конечно, меньше единицы.

Вторая точка вероятности нежелательного исхода, соответ­ствует «нормальному», «разумному» риску, при котором рекомен­дуется принимать обычные предпринимательские решения. Зона приемлемого (минимального) риска характеризуется уровнем по­терь, не превышающим размера чистой прибыли. Третья точка характеризуется величиной возможных потерь, равной ожидае­мой прибыли, т.е. полной потери прибыли. Зона допустимого (по­вышенного) риска характеризуется уровнем потерь, не превыша­ющим размеры расчетной прибыли. Осторожные предпринима­тели стараются действовать так, чтобы возможная величина потерй не выходила за пределы допустимого риска.

Четвертая точка соответствует величине потерь, равных рас­четной выручке. Зона критического риска характеризуется тем, что в границах этой зоны возможны потери расчетной прибыли, т.е. есть опасность потерять и средства, вложенные предприни­мателем в операцию.

Пятая точка характеризуется потерями, равными имуществен­ному состоянию предпринимателя. Зона катастрофического (не­допустимого) риска характеризуется тем, что в границах этой зоны ожидаемые потери способны превзойти размер ожидаемых дохо­дов от операций и достичь величины, равной всему имуществен­ному состоянию предпринимателя (фирмы).

Принятие решений с большим уровнем риска зависит от склон­ности ЛПР. Однако, принятие таких решений возможно только в случае, если наступление нежелательного исхода не приведет пред­принимателя к банкротству.

Рассмотренным точкам риска соответствуют следующие зна­чения вероятностей:

Р\ < 0,1; Р₂ = 0,25; Р₃ = 0,4; Р₄ = 0,75; Р₅ > 0,75.

Вероятности определенных уровней потерь являются важны­ми показателями, позволяющими высказывать суждение об ожи­даемом риске и его приемлемости, поэтому построенную кривую и можно назвать кривой риска. Так, если вероятность катастро­фической потери выражается показателем, свидетельствующим об ощутимой угрозе потери всего состояния, то осторожный пред­приниматель заведомо откажется от такого дела и не пойдет на подобный риск.

Знание предельных значений вероятностей возникновения до­пустимого Ру, критического Лф и катастрофического Р_кат рисков позволяет сформулировать самые общие условия приемлемости анализируемого вида предпринимательства:

• показатель допустимого риска не должен превышать предель­ного значения, т.е. Р₃ < Р_с;

•   показатель критического риска должен быть меньше предель­ной величины, т.е. Р4 < Р_кр;

•    показатель катастрофического риска не должен быть выше предельного уровня, т.е. Р5 < Лф..

3.6.4. Выбор оптимального решения с помощью доверительных интервалов

Если результаты экономической деятельности подчиняются нормальному закону распределения вероятностей, то в этом слу­чае имеет место, так называемое, правило трех сигм, которое в более широкой постановке позволяет установить область возмож­ных значений случайной величины X как

Е-т<Х <Е+ю,                                                                   (3.6.8)

где величина I характеризует доверительную вероятность попада­ния случайной величины Хв интервал (Е - Е + ю), а Е = х = а — среднее случайной величины X.

При / = 1 с вероятностью 0,6826 (или в 68% случаев) можно утверждать, что значение случайной величины лежит в пределах Е ± о; при / =2 с вероятностью 0,9544 можно утверждать, что хе (Е - 2 о, Е + 2 о); и при 1 = 3 вероятность того, что значение случайной величины х е (Е - Зет, Е + За); составляет 0,9973, т.е. это событие практически достоверно.

Для пояснения сказанного рассмотрим три ситуации: ситуация 1, ситуация 2, ситуация — стратегия предприятия (табл. 3.10), ко­торые характеризуются параметрами, приведенными в табл. 3.13.

 

Для наглядности результаты табл. 3.13 изобразим графически на рис. 3.13 а,б, в. На графиках по оси I отложены значения 0,1,2,3, а по оси ординат ОЕ отложены значения (Е - /о).

Величину Е_тт = Е-П7назовем минимальным значением ожи­даемого результата (отдачей). Из рис. 3.13 а видим, что в ситуа­ции 1 стратегия А обеспечивает более высокое минимальное зна­чение отдачи при всех уровнях доверительной вероятности. По­этому выбор стратегии А является более предпочтительным, чем выбор стратегии В, хотя и У_А> ¥в-

Рассмотрим ситуацию 2. Если использовать коэффициент вари­ации, то следует выбрать стратегию В. Из зависимости минималь­ных значений отдачи (рис 3.13 6) для стратегии А к В при различных * видно, что при доверительной вероятности, не превышающей 0,9544, которой соответствует 1 = 2, оптимальной является стратегия А, в противном случае предпочтение следует отдать стратегии В.

Из взаимного положения прямых Р\ и Рз, представленных на рис. 3.13 в, можно сделать вывод, что при доверительной вероятнос­ти, не превышающей 0,251, которой соответствует значение / = 0,32, наиболее эффективной является стратегия Р\ и при доверительной вероятности больше 0,251 предпочтительнее стратегия Р₃.

Предприниматель, понимая, что риск неизбежен, стремится учитывать риск в своей работе, руководствуясь идеей, что требу­емая доходность и риск должны изменяться в одном направлении (пропорционально друг другу). Если риск является вероятным, то его количественное измерение не может быть однозначным и пре­допределенным и его величина может меняться в зависимости от метода определения риска.

Результаты практической реализации прошлых аналогичных решений, принятых в условиях неопределенности, подсказывают ЛПР тактику поведения. Понесенные потери диктуют выбор ос­торожной политики, успех же побуждает к риску. Большинство людей предпочитает малорискованные варианты действий. Вме­сте с тем, отношение к риску во многом зависит от величины ка­питала, которым располагает предприниматель.

При анализе альтернативных вариантов решений ЛПР при­ходится прогнозировать возможные последствия принимаемых решений. Наиболее благополучной при этом является такая ситу­ация, когда руководитель достаточно точно может оценить ре­зультаты каждого из альтернативных вариантов решения. При­мером могут служить инвестиции в депозитные сертификаты и в государственные облигации, когда имеется государственная га­рантия и точно известно, что на вложенные средства будет полу­чен оговоренный в условиях процент.

Если нельзя оценить вероятности возможных результатов, то рассмотрение решений с известной вероятностью получения лю­бого результата относится к рисковым случаям. Когда требую­щие анализа и учета факторы весьма сложны, а достоверной или достаточной информации о них нет, то вероятность того или ино­го результата невозможно предсказать более или менее точно. Неопределенность характерна для многих решений, принимаемых в быстро меняющихся обстоятельствах. В этом случае предпри­ниматель пытается получить дополнительную информацию, еще раз проанализировать проблему и, следовательно, учесть ее но­визну и сложность, сочетая информацию и результаты анализа с накопленным опытом. Привлечение к этой работе специалистов для составления экспертных оценок является иногда решающим.

Если времени на сбор дополнительной информации мало или затраты на нее очень велики, то целесообразно действовать в со­ответствии с прошлым опытом и интуицией. По мере увеличения уязвимости бизнеса от финансовых рисков многие компании и предприниматели понимают, что поиск решений проблем риска должен быть поставлен на профессиональную основу, т.е. риском нужно профессионально управлять.