7.2. ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ

7.2.1. Графики функций полезности

Теория полезности существует в двух видах: теория предпоч­тений индивида и отражающая ее функция полезности — это де­терминированный вариант, и теория ожидаемой полезности — стохастический вариант, основы которого были заложены Д. Бер- нулли в 1738 г., раньше, чем детерминированной.

Для принятия решения в условиях неопределенности одинаково важны измерения и рассудительность. Разумные люди стараются объективно оценивать информацию: если их прогнозы и оказыва­ются ошибочными, то это скорее случайные ошибки, нежели резуль­тат упрямой предрасположенности к оптимизму или пессимизму. Такие люди воспринимают новую информацию в соответствии с ясно выраженным набором приоритетов. Они знают, чего хотят и, исполь­зуют информацию для реализации своих предпочтений.

Предпочтения определяют, что нечто является более желатель­ным, чем что-то другое, -— борьба приоритетов заложена в самом этом понятии. Это полезная идея, но метод измерения предпочти­тельности должен сделать ее более ощутимой.

Речь идет о понятии полезности в качестве меры предпочтитель­ности — для вычисления того, насколько одну вещь мы предпочи­таем другой. Мир полон желанных вещей, но разные люди готовы платить за них разную цену. И чем больше мы чего-то имеем, тем меньше склонны платить за то, чтобы получить больше.

Используемое Бернулли понятие пользы наряду с его утверж­дением об обратной зависимости между степенью удовлетворен­ности определенным приращением богатства и объемом налич­ного богатства было настолько здравым, что оказало весомое вли­яние на работы крупных мыслителей последующих поколений. Понятие полезности легло в основу закона спроса и предложе­ния — впечатляющего достижения экономистов Викторианской эпохи, которое стало исходным пунктом для понимания того, как функционируют рынки и как покупатели и продавцы договари­ваются о цене. Понятие полезности оказалось столь продуктив­ным, что в последующие двести лет превратилось в основной ин­струмент объяснения процесса принятия решения и теории выбо­ра в областях, весьма далеких от финансовых операций. Теория игр — изобретенный в XX веке подход к принятию решений в войне, политике и бизнесе — сделала понятие полезности неотъем­лемой частью единого системного подхода.

Понятие полезности оказало решающее влияние на психоло­гию и философию, потому что Бернулли предложил стандарт для оценки разумности человеческого поведения. Например, люди, для которых полезность богатства растет вместе с его ростом, счита­ются большинством психологов и моралистов невротиками; алч­ность не привлекала Бернулли, не вписывается она и в современ­ные представления о рациональности.

Теория полезности требует от разумного человека способнос­ти оценивать полезность при любых обстоятельствах и, руковод­ствуясь этой оценкой, делать выбор и принимать соответствую­щие решения — высокая планка, если учесть, что нам всю жизнь приходится действовать в условиях неопределенности. Работа явно нелегкая, даже если, как предполагал Бернулли, факты для всех одни. Но во многих случаях факты все-таки не для всех одинако­вы. У каждого своя информация, и к тому же каждый склонен ок- рашивать ее по-своему. Даже самые разумные люди часто не мо­гут договориться о том, что значат те или иные факты.

 

Поведение индивида предполагается рациональным и описы­вается в простейших ситуациях максимизацией ожидаемого зна­чения функции полезности (ФП), например, дохода.

Будем исходить из упрощенного понятия полезности, в соот­ветствии с которым все побуждения представительного инвесто­ра (ЛПР) описываются одной числовой величиной — доходом, и чем больше доход, тем больше полезность от обладания им. Таким образом, полезность рассматривается как неубывающая функция и(е) с единственной переменной — доходом е, примем, что м(0) = 0.

Теоретически могут существовать три типа возрастания фун­кции и(е): с затухающими, неизменными и нарастающими приро­стами полезности Ди при движении аргумента по оси дохода с оди­наковым шагом Дг. Этим возможностям отвечают варианты гра­фиков, изображенных на рис. 7.1.

 

 

Рир. 7.1. Три типа возрастания полезности

При сравнении кривых просматривается разница между б), в), и г) в смысле оценок повышения полезности от выигрыша некоторой суммы (ВА) по сравнению с потерей той же суммы (ВО = ВА).

Так для б) •— при одинаковых выигрышах и потерях после­дние воспринимаются более ощутимо (СГ> < ВС), в случае в) — оценки приобретений и потерь равнозначны и в случае г) — более ощутимы выигрыши (СО > ВС).

Отсюда понятно, что экономическое поведение по типу б), при котором человек больше боится потерять, чем желает приобрес­ти, будет отличаться от типов в) и г) в пользу осторожных реше­ний и умеренных действий. Этого почти достаточно, чтобы клас­сифицировать кривую б) как полезность для несклонных к риску предпринимателей.

Проведем анализ кривых рис. 7.1 несколько по иному. Рас­смотрим плоскую фигуру, образованную ломанной ОАО и пря­мой объективиста В(ё) или кривой оптимиста А(е) или пессимис­та С(ё). Обозначим через/долю, которую занимает эта фигура в прямоугольнике ОАОЕ. Для объективиста эта фигура есть треу­гольник ОАО и/= 0,5; для пессимиста эта фигура образована ло­маной ОАО и кривой С(е) и 0 </< 0,5 и для оптимиста эта фигура образована ломаной ОАО и кривой А(е) и 0,5 < / < 1. Число / оценивает отношение ЛПР к риску. Если/ = 0,5, то это объекти­вист и его отношение к риску нейтрально; при 0 < / < 0,5 — это пессимист, он риск не любит, и чем меньше /, тем больше он не любит риск; наконец 0,5 </< 1, то это оптимист и чем ближе/к 1, тем благожелательнее его отношение к риску.

Эти рассуждения выглядят безупречно. На самом деле огром­ное большинство людей не любят рисковать и поэтому, по нашей терминологии, они пессимисты. Кроме того, имея достаточно много денег и терпения, оптимиста можно разорить, пред? чего он, возможно, пересмотрит свое отношение к риску.

Реальный опыт, основанный, в частности, на многочисленных специальных экспериментах, убеждает, что большинство субъек­тов экономики (индивидуумы, фирмы, инвесторы и т.п.) в своих действиях и решениях склонны к стабильности.

В пользу такого вывода говорит, например, более высокий уровень ожидаемой эффективности рисковых вложений по срав­нению с безрисковыми. При игнорировании риска вложения по­текли бы к более эффективным, но менее надежным активам. В результате возросшего спроса на рисковые инвестиции их ожида­емые доходности поползли бы вниз до уровня эффективности без­рисковых вложений.

Следовательно, с полным основанием можно сказать, что наи­более адекватно поведение инвестора описывает графическая мо­дель б), изображенная на рис. 7.1. Эту выпуклую функцию назы­вают функцией уклонения от риска, а линейную и вогнутую фун­кции (рис. 7.1 в) и г))—соответственно нейтральной относительно риска и функцией стремления к риску.

Примерами функций полезности являются квадратическая и = а + Ье - се², логарифмическая и = 1п е, логарифмическая со сдвигом и = 1п(1 + ссе), экспоненциальная и = 1 - ё~^ае, степенная и = е^а, где 0 < а < 1.

Однако эти функции зависят только от дохода е и поэтому не учитывают влияния внешних факторов на предпочтения ЛПР и, следовательно, на вид кривых полезности.

7.2.2. Теория ожидаемой полезности

Предположим, что вам предлагают купить лотерейный билет, по которому немедленно будет проведен розыгрыш. У вас равные шансы выиграть сумму Р = 100 руб. и остаться при своих — ниче­го не выиграть и не проиграть. За какую сумму вы купили бы этот билет?

Математическое ожидание выигрыша М = 50 руб. и если вы согласились бы купить билет за 50 руб., то вас можно назвать объек­тивистом. Если вы согласны заплатить за билет менее М, то вы не любите рисковать. И если вы согласны заплатить за билет более М, то вас можно назвать оптимистом, и вы любите рисковать.

Рассмотрим теперь более общие лотереи Ь_п с п исходами

1, п . Эти исходы не равноценны в системе предпочтений ЛПР.

Трудность выбора лучшей лотереи усугубляет их сложная при­рода. В процессе исследования данного круга вопросов были най­дены аксиомы, которые значительно упрощают систему предпоч­тений ЛПР на множестве лотерей.

Ожидаемая полезность рискового решения определяется на основе функции рисковой полезности с учетом вероятностей по­лучения будущих доходов и отражает как рисковые предпочте­ния лица, принимающего решения, так и отношение его к разме­ру дохода.

 

Обозначим и(У) функцию рисковой полезности, которая пред­ставляет собой полезностную оценку дохода V с учетом склонно­сти или несклонности инвестора к риску. Для выбора наиболее предпочтительного среди рисковых проектов с разным распреде­лением будущих доходов необходимо найти проект, обеспечива­ющий максимальную ожидаемую полезность, на основе следую­щего выражения

т

(7.2.1)

Для составления более точного представления о форме учета склонности или несклонности инвестора к риску, а также для фор­мулирования предпосылок, на основании которых функция рис­ковой полезности соответствует рисковым предпочтениям данного лица, и описания возможного метода ее построения пользуются понятием простого шанса, или простой лотереи, под которой по­нимается лотерея с двумя исходами, вероятности которых извест­ны и в сумме равны единице, а также понятием гарантированно­го эквивалента, под которым понимается такой гарантированный доход, который для данного лица эквивалентен простому шансу. Простой шанс можно записать так:

Ь={У_и VI: Р)

где У\ ■— выигрыш с вероятностью Р,

У₂ — выигрыш с вероятностью 1 — Р.

Например, если из 1000 лотерейных билетов только один при­носит выигрыш 1 тыс. руб., то такая лотерея представляет собой простой шанс вида Ь = {1,0 : 0,001}. Если под гарантированным эквивалентом понимать сумму, которую некое лицо согласно зап­латить за право участия в простой лотерее, то склонность или не­склонность этого лица к риску определяется в зависимости от со­отношения ожидаемого выигрыша в простую лотерею и гаранти­рованного эквивалента. Если гарантированный эквивалент В больше ожидаемого выигрыша в простую лотерею, т.е.

РУ_х+(\-Р)У₂<В,

 

и данное лицо согласно заплатить сумму, равную В, за право уча­стия в данной лотерее, т.е. за (100 х Р)%-й шанс выиграть У\ руб­лей, то оно считается склонным к риску.

Если гарантированный эквивалент меньше ожидаемого выиг­рыша в простую лотерею, т.е.

РУх + (1-Р)У₂> В,                                                                (7.2.3)

и рассматриваемое лицо согласно заплатить за право участвовать в ней только сумму, равную В, то это лицо не склонно к риску. Если гарантированный эквивалент для данного лица совпадает с математическим ожиданием выигрыша в простую лотерею, т.е.

РУ_Х + (\-Р)У₂ = В,                                                               (7.2.4)

то данное лицо безразлично к риску.

Полученные условия позволяют сделать вывод о виде функ­ции рисковой полезности. В соответствии с условием (7.2.1) зна­чение функции рисковой полезности на простой лотерее можно определить так

ЩУ,, У₂ :Р} = РЩУО + (1 -Р)ЩУ₂).

Соответствие простой лотереи гарантированному эквивален­ту означает, что их полезность для инвестора одинакова

ЩВ) = Щ У и У₂:Р} = РЩУО + (1 - Р)11(У₂).

Тогда, учитывая, что функция рисковой полезности, возрас­тающая в случае, если лицо, принимающее решение, склонно к риску, с учетом выражения (7.2.2) принимает вид

ЩВ) = РЩУО + (1 - Р)ЩУ₂) > и((РУ0 + (1 - Р)У₂),

то функция 1/(У) является выпуклой.

Если лицо, принимающее решение, не склонно к риску, то с учетом условия (7.2.3) имеем

С/(В) = РЩУО + (1 - Р)ЩУ₂) < Щ(РУ0 + (1 - Р)У₂),

и функция Щ У) вогнутая. 494

Если лицо, принимающее решение, безразлично к риску,'то с учетом условия (7.2.4) верно равенство

и(В) = РЩУО + (1 - Р)ЩУ₂) = и{(РУ_х) + (1 - Р)У₂),

и функция и{У) линейная.

Это подтверждается кривыми, приведенными на рис. 7.1.

Согласно аксиомам Дж. Неймана и О. Моргенштерна, кото­рым должны удовлетворять рассматриваемые предпочтения лица, принимающего решения, этим предпочтениям можно поставить в соответствие некоторые количественные оценки, которые сохра­няют порядок предпочтения и позволяют производить их сравни­тельный анализ путем сопоставления значений функции рисковой полезности. Впоследствии названные аксиомы были сформулиро­ваны применительно к анализу поведения лица, принимающего решение, в условиях риска в предположении, что его выбор произ­водится в условиях простых лотерей. Были предложены разные ва­рианты таких аксиом. В изложении американского экономиста П. Шумейкера более поздний вариант этих аксиом выглядит сле­дующим образом.

1.  Аксиома порядка и транзитивности.

Порядок в системе предпочтений означает, что лицо, осуще­ствляющее выбор между двумя простыми лотереями, может од­нозначно указать одно из трех соотношений: лотерея Ь\ предпоч­тительнее лотереи Ь₂ или, наоборот, лотерея Ь₂ предпочтитель­нее лотереи Ь\, или обе лотереи эквивалентны. Следовательно, возможно одно из трех соотношений:

> Ь₂, Ь\ < Ь₂, или Ь\ ~ Ь₂.

Транзитивность означает, что если первая лотерея предпоч­тительнее второй, а вторая предпочтительнее третьей, то первая лотерея всегда предпочтительнее третьей, т.е. если

Ь\ > Ь₂, и Ь₂> Ц, то Ь\ > Ь₃.

2.   Аксиома устойчивости.

Если значения У\, У₂ и У₃ таковы, что У\ > У₂> У₃, то су­ществует вероятность Р*, 0 < Р* < 1, при которой простая лотерея

{Кь Уз: Р*} эквивалентна гарантированному доходу У₂, т.е.

Ь= {У_и У₃:Р*} = У₂.

3.  Аксиома доминирования

Если две лотерея с одинаковыми выигрышами и разными ве­роятностями их получения имеют вид

и = {Уи У₂:Р\},Ь₂= {Нь У₂:Р₂),

причем Р\ > Р₂, то первая лотерея всегда предпочтительнее вто­рой: Ь\ > Ь₂

4.  Аксиома заменяемости.

Пусть из двух проектов с гарантированными доходами У\ и У₂ для некоторого лица проект 1 привлекательнее проекта 2. Тогда для любой вероятности Р и при любом значении дохода У лотерея Ь\ = {У\, V \ Р]} всегда привлекательнее лотереи Ь₂ ={У₂, У:Р} т.е. и » и.

Если проекты с гарантированным доходом эквивалентны, то и указанные простые лотереи также эквивалентны:

~ Iъ

5.  Аксиома последовательности.

Любая составная лотерея, в которой каждый исход сам явля­ется лотереей, эквивалентна лотерее с несколькими исходами, ве­роятности наступления которых определяются путем перемноже­ния вероятностей всех возможных состояний по правилу произ­ведения вероятностей сложных событий. Пусть Ь\ = {Ь₂, : Р}, где Ь₂ = {У\, У₂ : 0), Ь₃ = {У₃, У₄ : Я}. Тогда лотерея Ь₄ = = {У\, У₂, Уз, Уа :       1 - 0, (1 - Р)Я, (1 - Я)}, эквивалентна

лотерее Ь\, т.е. Ь\ ~ Ь₄.

Используя приведенные пять аксиом, можно показать, что су­ществует порядковая функция рисковой полезности, такая, что упо­рядочение лотерей по ожидаемой полезности их выигрыша соот­ветствует действительным предпочтениям лица, принимающего решение, если оно в своих действиях учитывает аксиомы 1—5.

Для случая п исходов множество лотерей Ь есть {(Р, Р_п): все

Р,>О и £Р, =1}.

Если принять все пять аксиом, то можно доказать следующую теорему:

Возможно каждому исходу 1= 1,..., п приписать число щ та­кое, что для любых двух лотерей Ь = (/?),..., р_п), Ь' = (р{, ..., р,{)

будет верно Ь< и, если и только если ^ р₁и₁ < р'₁и_{ .

Число и, приписанное /-у исходу, называется его полезностью. Число же иЩ = ^ р₁и₁, которое приписывается лотерее Ь, называ-

I

ется средней ожидаемой полезностью этой лотереи. С точки зрения теории вероятностей это просто математическое ожидание лотереи.

Полезности же лотерей можно вычислить по формуле матема­тического ожидания.

Пример. Возьмем две простые лотереи Ь\ = (0,2; 0,8) и Ь₂ = (0,3; 0,7). Теперь рассмотрим составную лотерею (Ь\, 0,4; Ь₂, 0,6). По аксиоме последовательности эта составная лотерея эквивален­тна простой (0,2 • 0,4 + 0,3 • 0,6; 0,8 ■ 0,4 + 0,7 • 0,6) = (0,26; 0,74).

Припишем исходу 1 полезность 10, а исходу 2 — полезность 100. Найдем средние ожидаемые полезности всех трех лотерей.

Итак, и_х = 10, и₂ = 100. Значит = 0,2 • 10 + 0,8 • 100 = 82; 1/(Ь₂) = 0,3 • 10 + 0,7 • 100 = 72 и для составной лотереи, которую мы свели к простой ЩЦ) = 0,26 • 10 + 0,74 100 = 76,6.

Пример. Пусть начальный капитал ЛПР составляет 9 руб., а

его функция полезности денег есть Щх) = л[х. Ему предлагают лотерею, в которой возможны выигрыш 27 руб. с вероятностью 0,5 и выигрыш 0 руб. также с вероятностью 0,5. Следует ли ЛПР участвовать в такой лотерее?

Решение. Полезность 9 для ЛПР равна С/(9) = ^9 =3. Полез­ность его капитала после выигрыша 27 руб. равна [/(9 + 27)=л/36 = =6; после выигрыша 0 руб. — £/(9) = 3; средняя ожидаемая полез­ность равна: 0,5 ■ 6 + 0,5 • 3 = 4,5, что меньше первоначального капитала. Следовательно, ему не нужно участвовать в лотерее.

Если лотерея задается распределением вероятностей на множе­стве всех неотрицательных сумм К = [0, °о], то из теории ожидае­мой полезности полезность лотереи Ь рассчитывается по формуле

иЩ = \и(х)с1Цх).

Пример. Если функция полезности для ЛПР имеет вид

и(х) = >/х, а выигрыши лотереи равномерно распределены на от­резке [0, 4], то средняя ожидаемая полезность лотереи равна

Г 4хс1х =—. Л)                                3

Для использования функции рисковой полезности на практи­ке ее необходимо построить для каждого лица, принимающее решения. При этом обычно рекомендуют проводить опрос мето­дом простого шанса, или простой лотереи. Набор будущих дохо­дов, по которому необходимо определить возможное значение функции рисковой полезности, предполагается заданным. Если матрица будущих доходов задана, то в качестве таких доходов следует рассматривать все содержащиеся в ней будущие доходы. Алгоритм определения полезностных оценок для каждого элемен­та матрицы будущих доходов с помощью опроса, проводимого методом простого шанса, следующий:

1.   Сначала все множество будущих доходов упорядочивается по возрастанию их объема, и его элементы преобразуются так, чтобы

К, < К₂ < ... < К„_ш,

где К, = min К„-, V_nm = max V_u.

I.J                              U

Шкала оценки полезности должна быть построена таким об­разом, чтобы на У\ она достигала минимального, а на V_nm — мак­симального значения. Учитывая, что указанную шкалу можно пронормировать в любой положительной области, полагается U (Ко) = 0 и U (K„_m) = 1. Тогда оценки всех остальных будущих до­ходов должны находиться в интервале между нулем и единицей.

2.  Далее проводится опрос методом простого шанса, и каждо­му значению будущего дохода ставится в соответствие некоторое значение вероятности, при котором этот доход будет эквивален­тен условной, или гипотетической, простой лотерее с большим V_nm и меньшим V\ выигрышами.

3.   И, наконец, определяются полезностные оценки всех рас­смотренных значений дохода.

Полученные в результате опроса вероятности можно исполь­зовать в качестве полезностных оценок будущих доходов, а выра­жение функции рисковой полезности можно определить на осно­ве уравнения регрессии.

Определенные таким образом функции рисковой полезности могут быть использованы для оценки и обоснования рисковых инвестиционных альтернатив. Существенное преимущество по­добного подхода состоит в том, что стандартное отклонение, или риск рассматриваемых инвестиций, не учитывается в явном виде. Основной недостаток указанных функций заключается в том, что их вид и параметры, определяемые по результатам опроса мето­дом простого шанса, неустойчивы и существенно зависят от объе­ма и распределения будущих доходов. Кроме того, если получен­ная в результате расчетов функция рисковой полезности имеет в области определения подмножества, на которых она монотонно убывает или возрастает, то данную функцию в соответствии с ак­сиомами 1—5 следует использовать только на участках ее возрас­тания.

7.2.3. Учет отношения лица, принимающего решение, к риску

Введем в рассмотрение функцию и(г, е), с помощью которой ЛПР оценивает операцию с риском г и эффективностью е, где под эффективностью понимается средняя ожидаемая доходность опе­рации. Такая функция относится к классу функций полезности. Любая линия уровня функции и дает операции, равноприемлемые для ЛПР, поэтому они называются еще кривыми безразличия. В зависимости от отношения ЛПР к риску такие функции могут быть трех видов (рис. 7.2).

Кривая (рис. 7.2а) соответствует неприятию риска —двигаясь по кривой безразличия, ЛПР компенсирует увеличение риска все большим увеличением дохода, кривая (рис. 7.26) — нейтрально­му, или лучше сказать, безразличному отношению к риску и кри­вая (рис. 7.2в) — благожелательному отношению к риску, когда

ЛПР считает, что ему непременно повезет и предпочитает более рисковые операции. Наиболее естественным представляется по­ведение ЛПР с неприятием риска. Типичная функция такого ЛПР есть, например, и(г, ё) = е- 2 г, т.е. когда ЛПР готов поступиться увеличением риска на единицу, если при этом эффективность уве­личится на две единицы.

В гл. 6 при формировании инвестиционного портфеля мы пред­полагали, что инвестор избегает риска. Хотя это предположение является вполне резонным, оно не является необходимым. Вместо этого можно предположить, что инвестор азартен или нейтрален к риску.

Сначала рассмотрим азартного инвестора. Если данный ин­вестор столкнется с «честной игрой», он предпочтет принять уча­стие в данном проекте. Кроме того, крупные игры являются более привлекательными, чем мелкие. Это объясняется тем, что он по­лучает больше «удовольствия» от выигрыша, чем «разочарова­ния» от проигрыша. Так как вероятности выигрыша и проигры­ша равны, то азартный инвестор предпочтет принять участие в игре. Это означает, что при выборе из двух портфелей, имеющих одинаковую доходность, азартный инвестор выберет тот, у кото­рого больше стандартное отклонение.

Например, при выборе между А и В (рис. 7.3) азартный инвес­тор выберет В. Этот факт позволяет предположить, что азартный инвестор будет иметь отрицательно наклоненные кривые безраз­личия. То есть азартный инвестор предпочтет портфель, находя­щийся на кривой безразличия, расположенной выше и правее дру­гих. Рис. 7.3 представляет график кривых безразличия гипотети­ческого азартного инвестора. Как показано на рисунке, при выборе между А, В, С и И данный инвестор выберет портфель В.

Случай нейтральности к риску находится между случаями из­бегания риска и азартности. В то время как инвестор, избегаю­щий риска, не хочет принимать участие в «честной игре», а азарт­ный инвестор, наоборот, хочет, нейтральному к риску инвестору все равно, принимать участие в игре или нет. Это означает, что риск или, точнее, стандартное отклонение не является важным фактором для инвестора, нейтрального к риску, при оценке порт­феля. Соответственно кривыми безразличия данного инвестора являются горизонтальные линии, как это показано на рис. 7.4. Данный инвестор предпочитает выбирать портфели, находящие­ся на кривых безразличия, расположенных наиболее высоко. При"

 

Рис. 7.3. График кривых безразличия азартного инвестора

	в	U<
с ,		а
1		I
Л		1 и2
1	D	1 "
1 1 1	Г 1 1 1 1	1 1 1 1 1

=<г

Рис. 7.4. График кривых безразличия инвестора, нейтрального к риску

501

 

выборе из А, В, С иР данный инвестор выберет В, потому что данный портфель имеет наивысшую ожидаемую доходность.

Несмотря на то что отдельный инвестор может быть азарт­ным или нейтральным к риску, наблюдения показывают, что боль­шинство из них можно охарактеризовать как избегающих риска. Одно из наблюдений говорит о том, что исторически в среднем доходность по обыкновенным акциям превышает доходность по облигациям, поскольку инвесторов необходимо стимулировать большим вознаграждением для совершения более рискованных вложений.

Риск коммерческой деятельности можно определить как воз­можность неблагоприятного осуществления процесса и (или) ре­зультата внедрения нововведения. При этом благоприятность или неблагоприятность оцениваются в соответствии с теорией полез­ности.

Теория управления рисками оперирует также с категорией, обратной по своей сущности риску. Этой категорией является шанс, который определяется как возможность благоприятного и (или) результата внедрения нововведения. Шанс и риск образуют полную группу событий

Р(г) + Р(ш) = 1,

где Р(г) — вероятность риска (неблагоприятного исхода) коммерческой деятельности,

Р(ш) — вероятность шанса (благоприятного исхода) коммерческой де­ятельности.

Шанс занимает одно из основных мест среди категорий тео­рии управления рисками, поскольку в конечном итоге именно оценка шанса заставляет ЛПР принять окончательное решение. Но если шанс существует, то всегда находятся ЛПР, готовые вос­пользоваться им. Именно шанс является движущим мотивом пред­принимательской деятельности.

Отношение ЛПР к риску рассмотрим теперь в рамках так на­зываемой теории субъективной полезности, которая является ин­струментом анализа для выбора оптимальной стратегии при од­нократном использовании результата.

Суть ее заключается в следующем. Для каждого исхода (ре­зультата рискованной операции) ЛПР определяет величину, на­зываемую полезностью данного исхода. Она тем больше, чем луч­ше данный исход. Если качество исхода измеряется в денежных единицах прибыли, выручки, продаж и т.п., то чем больше исход, тем больше его полезность. Затем для сравниваемых стратегий вычисляют математические ожидания полезностей (а не матема­тические ожидания исходов, например в денежном выражении). Лучшей считается та альтернатива, у которой большее значение так называемой ожидаемой полезности. Зависимость между по­лезностью и величиной исхода в общем случае не пропорциональ­ная и даже не линейная. Это отражает тот факт, что одинаковое по величине приращение показателя при незначительной его ве­личине более важно (более «полезно»), чем при большом исход­ном значении.

В процедуре «назначения» полезностей исходов учитывается не только качество исхода, но и его сопоставление с уровнем риска, на который готов пойти принимающий решение ради достижения данного результата. Математической теорией подтверждается, что при подобной схеме альтернатива с максимальным значением ожи­даемой полезности действительно оказывается наилучшей.

Использование этой схемы в практике управления без привле­чения специалистов по математическому моделированию вряд ли возможно. Однако, оставляя им технические детали анализа, не­обходимо, тем не менее, четко представлять себе, в каком именно смысле рекомендуемая стратегия будет лучше других. Никакой гарантии, что при однократной реализации решения избранная в соответствии с описываемой схемой стратегия управления риском окажется выигрышной, нет. Ее не может быть в принципе. Теоре­тический вывод выглядит так: у рекомендуемой теорией полезно­сти стратегии максимальная вероятность оказаться наилучшей среди прочих стратегий.

Необходимо также помнить, что полезности назначены конк­ретным ЛПР. Для другого принимающего решение они могут ока­заться иными!

Термин «субъективный» в названии подхода не носит оценоч­ного характера. Субъективный — не плохой, а присущий конк­ретному менеджеру. Плохо ли это? Да нет. Дело в том, что каж­дый принимающий решение имеет свое собственное отношение к риску, характеризующееся либо склонностью, либо, напротив, несклонностью. Решение, наилучшее для одного менеджера, мо­жет быть неприемлемо рискованным для другого.

Лаплас и Пуанкаре обратили внимание на то, что нам зачас­тую недостает информации для применения теории вероятностей.

Мы можем собрать много или мало информации, но мы ни­когда не сможем собрать всю информацию. Более того, мы ни­когда не можем быть уверены в качестве собранной информации. Эта неопределенность делает сомнительными суждения и риско­ванными основанные на них действия. Мы не можем предсказать со стопроцентной уверенностью даже завтрашний восход солн­ца: древние, которые предсказывали это событие, сами имели дело с ограниченной выборкой из истории мироздания.

При нехватке информации мы прибегаем к индуктивным рас­суждениям и пытаемся угадать возможные шансы. Джон Мейнард Кейнс в работе по теории вероятностей пришел к заключению, что статистические концепции часто оказываются бесполезными: «Между данными и событиями есть определенная связь, но ее не всегда можно измерить».

Индуктивные рассуждения приводят нас к некоторым курьез­ным выводам, когда мы пытаемся совладать с неопределеннос­тью и риском. Наиболее впечатляющее исследование этого фено­мена выполнено нобелевским лауреатом Кеннетом Эрроу.

С самого начала Эрроу пришел к заключению, что в большин­стве своем люди переоценивают информацию, которая им доступ­на. Неспособность экономистов установить причины Великой депрессии в свое время убедили его, что их знание экономики было «очень ограниченно». Его опыт работы в метеорологической служ­бе военно-воздушных сил во время Второй мировой войны «до­бавил убежденности в том, что мир природы также непредсказу­ем».

В одной из своих работ, посвященных риску, Эрроу задается вопросом, почему многие из нас время от времени играют в азар­тные игры и почему мы регулярно оплачиваем взносы за страхо­вые полисы. Математические вероятности убеждают в том, что в обоих случаях это простая потеря денег. В случае игры с точки зрения статистики можно рассчитывать разве что остаться при своих (хотя можно и выиграть); в случае страховки деньги, кото­рые мы платим, стоят большего, чем вероятность пожара в на­шем доме или кражи наших бриллиантов.

Почему же мы все-таки втягиваемся в эти убыточные пред­приятия? Дело в том, что мы склонны смириться с большой веро­ятностью незначительного проигрыша в надежде на малую вероятность много выиграть; во всяком случае, для большинства игра — это скорее развлечение, чем риск. Мы покупаем страхо­вой полис, потому что не можем рисковать потерей нашего дома от огня или преждевременной утратой трудоспособности. Это оз­начает, что мы предпочитаем игру, в которой с вероятностью по­чти 100% проигрываем помалу (выплачиваемая страховая премия), но с очень малыми шансами большого выигрыша (если разразит­ся катастрофа), игре с определенным малым выигрышем (сэконо­мить расходы на страховку), но с неопределенными, однако по­тенциально разрушительными последствиями для нас и наших близких.

Эрроу получил Нобелевскую премию за исследования, посвя­щенные воображаемой страховой компании или любой другой организации, принимающей на себя чужие риски, которая, опе­рируя на «совершенном рынке», принимала бы на себя страхова­ние от потерь любого сорта и любых размеров. Мир, считал он, был бы совершеннее, если бы мы могли застраховаться от любой возможности. Тогда люди охотнее бы шли на риск, без которого невозможен экономический прогресс.

7.2.4. Роль информации в процессе принятия решений

Часто у нас не оказывается возможности провести нужное ко­личество испытаний или получить выборку, достаточную для ис­пользования законов вероятности в процессе принятия решения, и приходится принимать решения, подбрасывая монетку десять раз, а не сто. При отсутствии страховки почти любой исход ка­жется случайным. Страхование, объединяя риски многих людей, позволяет каждому наслаждаться преимуществами, создаваемы­ми действием закона больших чисел.

На практике страхование возможно только в условиях, при которых этот закон выполняется. Закон требует, чтобы число стра­хующихся от риска было велико, а сами риски были независимы друг от друга, подобно результатам подбрасывания монетки.

На самом деле эта «независимость» имеет несколько аспектов. Она означает, например, что причина пожара должна быть не­зависима от действий держателя страхового полиса. Она также означает, что страхуемые риски не должны быть зависимы друг от друга, подобно тому как изменение котировки какой-либо акции зависит от общего падения на рынке или как война быва­ет причиной многих одновременных разрушений. Наконец, она означает, "что страхование возможно только в том случае, когда есть надежные способы оценить вероятность наступления стра­хового случая, — ограничение, которое исключает возможность страховать от опасности, что новое направление моды вообще не привьется или что страна ввяжется в войну в ближайшие де­сять лет.

Это значит, что число рисков, против которых можно застра­ховаться, меньше числа рисков, с которыми нам приходится иметь дело. Мы часто сталкиваемся с возможностью сделать не­верный выбор, чтобы потом горько сожалеть об этом. Деньги, что мы платим страховым компаниям, только один из видов оп­ределенных умеренных трат, на которые мы идем, чтобы избе­жать возможности неопределенных больших утрат, и мы порой прилагаем громадные усилия, чтобы предотвратить возможность ошибочного выбора. Кейнс однажды спросил: «Почему не толь­ко сумасшедшие хотят владеть наличными деньгами?» И сам же ответил: «Обладание наличными деньгами избавляет от тревоги; и премия, которую мы требуем за расставание с деньгами, — это мера нашей тревоги».

В бизнесе при заключении сделки подписывают контракт или ударяют по рукам. Эти формальности определяют наше поведе­ние в будущем, даже если ситуация изменится и мы пожалеем, что заключили именно такое соглашение. В то же время они защи­щают нас от ущерба, который нам могли бы нанести партнеры по контракту. Фирмы, производящие товары с нестабильными ценами, такие, как зерно или золото, защищают себя от потерь, заключая товарные фьючерсные контракты, позволяющие им продать свою продукцию еще до того, как она будет произведе­на. Они отказываются от возможности продать позже по более высокой цене, чтобы избежать неопределенности относительно бу­дущей цены.

В 1971 году Кеннет Эрроу вместе со своим коллегой экономи­стом Фрэнком Ханом указал на соотношение между деньгами, контрактами и неопределенностью. Контракты не должны состав­ляться в терминах денег, «если речь идет об экономике без про­шлого или будущего». Но прошлое и будущее для экономики — это то же самое, что уток и основа для ткани. Мы не принимаем решений без учета прошлого, о котором можем судить с некото­рой степенью определенности, и будущего, о котором не можем сказать ничего определенного. Контракты и наличные деньги за­щищают нас от нежелательных последствий, даже когда мы пла­ваем в том самом тумане, о котором говорил Эрроу.

Ясно, что когда решение принимает индивидуум, то он дей­ствует согласно своей системе предпочтений. Но в обществе, в экономике решения часто принимает группа лиц. У каждого чле­на этой группы — определенная шкала ценностей, сложившаяся система предпочтений. Сразу же возникает вопрос: существует ли какой-нибудь общий способ определения, построения системы предпочтения всей группы, исходя из систем предпочтений вхо­дящих в нее лиц?

Рассмотрим множество альтернатив, на котором у каждого члена группы задана своя система предпочтений. Очевидно, группа может принимать решение, если в ней имеются:

а) простое большинство;

б) квалифицированное большинство, например две трети;

в) консенсус, т.е. полное согласие всех членов группы;

г) идеологические соображения;

д) авторитет, под влиянием которого возможно добровольное присоединение к мнению одного из членов группы;

е) диктатура в какой-либо форме одного из членов группы или подгруппы.

При внимательном анализе этих правил обнаруживаются не­которые их недостатки. Рассмотрим, например, хорошо извест­ное правило «простого большинства».

Пусть группа состоит из трех членов — I, II, III, система пред­почтений которых по трем альтернативам — х, у, г представлена в таблице (лучшая альтернатива написана в верхней строке).

 

Мы видим, что для двух участников х лучше у, следовательно, и группа, казалось бы, должна считать так же. Однако аналогич­но обстоит дело и для альтернатив у, г иг, х. Получается пороч­ный круг: х > у, у > г, г > х, т.е. нарушается транзитивность систе­мы предпочтений. Таким образом, правило «простого большин­ства» не может служить безукоризненным основанием для формирования групповой системы предпочтений. Для этой цели не пригодны и такие правила принятия решений в группе, как «квалифицированное большинство» и даже «консенсус». Тем не менее существует формально безукоризненный способ принятия решений в группе — это диктатура. Он заключается в том, что члены группы принимают точку зрения, систему предпочтений какого-нибудь одного ее члена — «диктатора».

В 1951 г. К. Эрроу провел анализ возможных правил приня­тия решений в группах и сформулировал следующую теорему [88]: если групповое правило принятия решений удовлетворяет неко­торым естественным условиям, то это диктатура.

Многих пугает и слово и понятие «диктатура» и они считают, что диктатура не является приемлемым способом принятия реше­ний в группах. Но тогда получается, что теорема Эрроу утверж­дает, что нет никакого автоматического механизма принятия ре­шений в группе, удовлетворяющего интересам членов этой груп­пы. Тем самым, члены группы должны сотрудничать друг с другом при выработке решений.