6.8. МОДЕЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕН ОСНОВНЫХ АКТИВОВ

6.8.1. Модель теории арбитражного ценообразования

Модель САРМ является равновесной моделью, объясняющей, почему различные ценные бумаги обладают разными ожидаемы­ми доходностями. Эта модель образования цен на финансовые активы, в частности, утверждает, что ценные бумаги обладают различными доходностями вследствие различных коэффициентов «бета». Однако существует альтернативная модель ценообразо­вания, разработанная Стефаном Россом. Эта теория, известная как теория арбитражного ценообразования (APT), в некотором смысле является менее сложной, чем САРМ.

САРМ-модель требует выполнения большого числа предпо­ложений, включая предположения, сделанные Гарри Марковичем^ при разработке базовой стохастической модели, например, о том, что каждый инвестор выбирает свой оптимальный портфель, ис­пользуя кривые безразличия, учитывающие ожидаемый доход и стандартное отклонение. В то же время модель APT основана на меньшем числе предположений. Главным предположением тео­рии является то, что каждый инвестор стремится использовать возможность увеличения доходности своего портфеля без увели­чения риска. Механизмом, способствующим реализации данной возможности, является арбитражный портфель.

Арбитраж — это получение безрисковой прибыли путем ис­пользования разных цен на одинаковые продукцию или ценные бумаги. Арбитраж, являющийся широко распространенной инве­стиционной тактикой, обычно состоит из продажи ценной бума­ги по относительно высокой цене и одновременной покупки та­кой же ценной бумаги (или ее функционального эквивалента) по относительно низкой цене.

Однако, следует понимать, что такая возможность реализует­ся редко. В самом деле, арбитражер с неограниченной возможно­стью осуществления «коротких» продаж может немедленно вы­ровнять дисбаланс цен на этих рынках, если профинансирует по­купку актива на рынке с низкой ценой за счет его «короткой» продажи на рынке с высокой ценой. Это означает, что возмож­ность безрискового арбитража очень кратковременна.

Арбитражная деятельность является важной составляющей со­временных эффективных рынков ценных бумаг. Поскольку арбит­ражные доходы являются безрисковыми по определению, то все инвесторы стремятся получать такие доходы при каждой возмож­ности. Правда, некоторые инвесторы имеют большие ресурсы и наклонности для участия в арбитраже, чем другие. Однако для реа­лизации и исчерпания арбитражных возможностей (вследствие по­купок и продаж акций) достаточно меньшего числа инвесторов, чем имеется желающих принять участие в этих операциях.

Менее явная возможность арбитража существует в том слу­чае, если удается сконструировать портфель активов, имеющий идентичный с некоторым другим активом поток доходов, но с меньшей ценой, чем этот актив. Данный вид арбитража основан на фундаментальном принципе теории финансов, носящем назва­ние закон единой цены. Его суть состоит в том, что если поток доходов, порождаемый данным активом, совпадает с потоком доходов от искусственно созданного пакета других активов, то стоимости актива и (копирующего) его пакета должны совпадать.

Если обнаруживается различие цен актива и пакета активов с одинаковыми потоками доходов, то инвесторы будут осуществ­лять с ними арбитражные сделки, что в конечном счете приведет к выравниванию цен и восстановлению равновесия. Наличие ры­ночного механизма, восстанавливающего равновесие, и предпо­лагается теорией арбитражного ценообразования, при этом счи­тается также, что проведение арбитражной сделки не столкнется с непредусмотренным в ней изменением цен.

Сущность арбитража проявляется при рассмотрении различ­ных цен на определенную ценную бумагу. Однако «почти арбит­ражные» возможности могут существовать и у похожих ценных бумаг или портфелей. Определить, подходит ли ценная бумага или портфель для арбитражных операций, можно различными спосо­бами. Одним из них является анализ общих факторов, которые влияют на курс ценных бумаг.

Факторная модель подразумевает, что ценные бумаги или пор­тфели с одинаковыми чувствительностями к факторам ведут себя одинаково, за исключением внефакторного риска. Поэтому цен­ные бумаги или портфели с одинаковыми чувствительностями к факторам должны иметь одинаковые ожидаемые доходности, в противном случае имелись бы «почти арбитражные» возможнос­ти. Но как только такие возможности появляются, деятельность

инвесторов приводит к их исчезновению. Это — существенное рассуждение, лежащее в основе APT.

В соответствии с APT инвестор исследует возможности фор­мирования арбитражного портфеля для увеличения ожидаемой доходности своего текущего портфеля без увеличения риска.

APT исходит из предположения о связи доходности ценных бумаг с некоторым количеством неизвестных факторов. Предпо­ложим, что имеется только один фактор и этим фактором являет­ся предсказанный темп роста промышленного производства. В таком случае доходность ценных бумаг определяется в соответ­ствии со следующей однофакторной моделью:

Е(п) = а, + Ь,Р\ + е,

где Е(г,) — ставка доходности ценной бумаги г;

/•") — значение фактора, которым в данном случае является пред­сказанный темп роста промышленного производства; в/ — ожидаемая доходность актива /;

Ь( —■ чувствительность ценной бумаги / к значению фактора (£,); е,- — несистематическая доходность ценной бумаги г.

При формировании арбитражного портфеля следует соблюс­ти два условия. Во-первых, это портфель, который не нуждается в дополнительных ресурсах инвестора. Если через К/ обозначить изменение в стоимости ценной бумаги г в портфеле инвестора (а значит, и ее вес в арбитражном портфеле), то это требование^ арбитражному портфелю может быть записано так:

(6.8.2)

Во-вторых, арбитражный портфель не чувствителен ни к ка­кому фактору. Поскольку чувствительность портфеля к фактору является взвешенной средней чувствительностей ценных бумаг портфеля, то это требование арбитражного портфеля в общем вцце может быть записано так

(6.8.3)

Здесь by чувствительность 1-го фактора нау'-ый, ау'-число фак­торов.

 

Инвесторы будут формировать также арбитражные портфе­ли, пока не будет достигнуто равновесие. Это означает, что рав­новесие будет достигнуто, когда любой портфель, удовлетворяю­щий уравнениям (6.8.2) и (6.8.3) будет иметь нулевую ожидаемую доходность.

Модель APT утверждает, что доходность актива i как случай­ная величина выражается следующим образом для двухфактор- ной модели:

Щгд = а, + Ъ_п[-\ + b_l2F₂ + е,.                                          (6.8.4)

Предположим, что инвестор обладает рисковыми акциями трех выводов Т, I, L и одной безрисковой акцией. Ожидаемые доход­ности и чувствительности к двум факторам, например к состоя­нию промышленного производства и уровню инфляции, для каж­дой из бумаг заданы в табл. 6.13.

 

Составляем на основании формул (6.8.2) и (6.8.3) систему урав­нений

V, +У₂+У₃+У₄ =0, ■ 1,6У, + 0,6У₂ + 2\'₃ + 0,8 У₄ =0, _{(6 8 4)}

1.2У, +1,6У₂ + 1,1У₃ +1,8У₄ =0.

Так как в системе четыре неизвестных, а уравнений три, то имеется бесконечное множество решений. Одно из решений вы­бираем произвольно. Пусть У\ = -0,1, тогда в результате решения получим У₂ = 0,041, У₃ = 0,074, У₄ = -0,015.

Полученные доли представляют потенциальный арбитраж­ный портфель. Вычисляем ожидаемую доходность: -0,1 • 9,5 + + 0,041 • 13 + 0,074 • 21 -0,015 • 8,5 = 1,095 > 0. Так как ожидаемая доходность положительная, то найден арбитражный портфель.

Этот арбитражный портфель предполагает покупку акций I и Ь за счет продажи акций Т и 5¹. Следовательно, деятельность по покупке и продаже повысит курсы акций I и Ь и понизит курсы акций Тя Б. В свою очередь это означает, что ожидаемые доход­ности акций I и Ь понизятся, а акций Ти Б повысятся.

Инвесторы будут формировать также арбитражные портфе­ли, пока не будет достигнуто равновесие. Это означает, что рав­новесие будет достигнуто, когда любой портфель, удовлетворяю­щий системе (6.8.4), будет иметь нулевую ожидаемую доходность. При этом связь между доходностями и чувствительностями будет линейной

Ё(п) = Л₀+Лф_а+Л₂Ь₁₂.      (6.8.5)

Можно считать, что здесь три переменные Е(г_}),Ь_п, Ь_п.

Таким образом, для получения портфеля с нулевой ожидае­мой доходностью нужно будет найти большое число решений си­стемы (6.8.4) и соответствующих им доходностей, что возможно только с применением стандартных программ.

В рассматриваемом примере одним из равновесных сочетаний являются Ао = 8,5, Л\ = 5, Я₂ = -2.

В результате четыре рассматриваемые акции имеют следую­щие равновесные значения ожидаемых доходностей:

£(г, ) = 8,5 + 5 ■ 1,6 - 2-1,2 = 14,1%, Ё(г₂) = 8,5 + 5 • 0,6 - 2 • 1,6 = 8,3%, £(г₃) = 8,5 + 5 2-2-1,1 = 16,3%, Ё(г_л) = 8,5 + 5 ■ 0,8 - 2 • 1,8 = 8,9%.

Ожидаемые доходности акций / и Ь упали, тогда как ожидае­мые доходности акций Т и £ возросли. Изменение спроса и пред­ложения вследствие инвестиций в арбитражные портфели приве­ло к изменениям ожидаемых доходностей в предсказанных направ­лениях.

Механизм влияния арбитражного портфеля на первоначаль­ный портфель становится ясным из анализа табл. 6.14.

 

Под термином старый портфель мы подразумеваем портфель, который отвечает эффективному портфелю (табл. 6.10). Соединя­ем его с арбитражным портфелем и получаем новый портфель с более высокой доходностью, который соответствует эффективно­му портфелю на рис. 6.22.

Рассмотрим уравнение (6.8.5). Если актив не чувствителен к факторам, то Ьц = Ь_і2 = 0 и £(/-,) = и если существует безрисковый актив, то С(0 = гь = До- Тогда уравнение (6.8.5) принимает вид:

ап) = г₅ + Хф_а + ЬЬа-                                                         (6.8.6)

Теперь рассмотрим хорошо диверсифицированный портфель, имеющий единичную чувствительность к первому фактору и ну­левую — ко второму.

Такой портфель называется чистым факторным портфелем, так как он: обладает единичной чувствительностью к единствен­ному фактору; не чувствителен ни к какому другому фактору; имеет нулевой нефакторный риск. А именно Ь\ = 1 и Ь₂ = 0. Из уравнения (6.8.6) следует, что ожидаемая доходность этого порт­феля, обозначаемая е₄, равна г₆ + Л\, т.е. е₄ - г в - Тогда уравне­ние (6.8.6) может быть переписано так

&П) = Г8+ (е₄ - г б) -Ь_п + Л₂Ь_а.                                          (6.8.7)

В примере табл. 6.13 е₄ — гд = 5. Это означает, что е₄ = 13,5, так как г в = 8,5. Другими словами, портфель, имеющий единичную чувствительность к предсказанному состоянию промышленного производства (первый фактор) и нулевую чувствительность к пред­сказанному уровню инфляции (второй фактор), будет обладать ожидаемой доходностью 13,5%, что на 5% больше, чем безриско­вая 8,5%-ная ставка.

Наконец, рассмотрим портфель, имеющий нулевую чувстви­тельность к первому фактору и единичную чувствительность ко второму фактору, т.е. Ь\ = 0 и b₂ = 1. Из уравнения (6.8.5) следует, что ожидаемая доходность этого портфеля, обозначаемая е₂ рав­на г_б + Л₂. Поэтому е₂ - rg = Х₂, а уравнение (6.8.7) может быть переписано так:

С(г,) = г_б + (е₄ - re) ■ Ъ, 1 + (е₂ - г_б) ■ b_i2.                          (6.8.8)

Это есть уравнение ценообразования APT для двухфакторной модели.

В примере табл. 6.13 е₂-гб~ -2. Это означает, что е₂ = 6,5, так как г б = 8,5. Другими словами, портфель, имеющий нулевую чув­ствительность к предсказанному состоянию промышленного про­изводства (первый фактор) и единичную чувствительность к пред­сказанному уровню инфляции (второй фактор), будет обладать ожидаемой доходностью 6,5%, что на 2% меньше, чем безриско­вая 8,5%-ная ставка.

Основные преимущества APT перед ЦМРК заключаются в том, что она не делает ограничительных предположений о пред­почтениях инвестора относительно риска и доходности, относи­тельно функций распределения доходностей ценных бумаг и не предполагает построения «истинного» рыночного портфеля.

Вместе с тем APT не слишком широко используется инвесто­рами. Основная причина этого заключается в неопределенности »тносительно факторов, которые систематически влияют на до­ходы по ценным бумагам.

6.8.2. Портфель Тобина

Через несколько лет после исследования Марковица другой крупнейший американский экономист Д. Тобин, также впослед­ствии лауреат Нобелевской премии заметил, что если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с некоторой натяжкой отнести государственные ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и приобретает заме­чательное новое качество.

В параграфе 6.4.2 был рассмотрен портфель с безрисковым активом и получена связь между ожидаемо^ доходностью Е(г) и риском с в виде зависимости (6.4.4)

Е(г.)-г₆

ЕЦг) = г₆ +—^------------------------------- о,                           (6.8.9)

где г б — безрисковая ставка доходности (эффективность безрисковых бумаг);

Е(г_р) —- ожидаемая ставка доходности рискованного актива; о_гУ[Ъ; — стандартное отклонение доходности рискованного актива;

В, — дисперсия (вариация) рисковой части портфеля, вариация портфеля равна У_п = (1 - х₀)²О, и риск портфеля равен а_п = (1 - х₀)а_г.

Если хо — доля капитала вложенного в безрисковую часть портфеля, а (1 - хо) — безрисковая доля портфеля, то задача Мар­ковича об оптимальном портфеле в этом случае такова:

' J

Е_п =х₀г_б + ^х,Е₁,

(6.8.10)

I

Изложим решение этой задачи, полученное Тобиным. Пусть — матрица ковариаций рисковых видов ценных бумаг, X = (х,), V - (V,) — вектор-столбцы долей х капитала, вкладываемых в г'-й вид рисковых ценных бумаг и ожидаемых эффективностей этого вида, г = 1,..., п. Пусть также/—/2-мерный вектор-столбец, компо­ненты которого равны 1. Тогда оптимальное значение долей х, есть

Здесь О"¹ — матрица, обратная к О,. В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (операция транспонирования первого сомножителя в знаменатеде не указа­на, но подразумевается), тоже получится число, причем констан­та, определяемая рынком и не зависящая от инвестора, ОГ¹(¥-ГбГ) -—вектор-столбец размерности п. Как видим, этот век­тор не зависит от эффективности портфеля Е(г_р). Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг, пропорциональный этому вектору, также не зависит от Е(г_р). Следовательно, структу­ра рисковой части портфеля не зависит от Е(г_р). Однако сумма ком­понент вектора X* зависит от Е(г_р), а именно, компоненты вектора X* пропорционально увеличиваются с ростом Е(г_р), поэтому доля хо безрисковых вложений будет при этом сокращаться.

Выразим риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности. Для этого в формулу вариации портфеля Уп = Х^тО.Х подставим оптимальный вектор X* из формулы (6.8.11), обозна­чив знаменатель формулы (6.8.11) через с1~. Получим:

Окончательно:

(E{r_p)-r₆f E(r )-г₆ ^УП----- ^--------------- или о_п =        -

d^l

Можно также написать выражение эффективности оптималь­ного портфеля от его риска

Е(г_р) - (г₆) = da_n или E{r_p) = г_б + do_n,

что перекликается с результатами параграфа 6.4.2.

Полученный оптимальный портфель называется портфелем Тобина минимального риска, т.е. портфель Тобина — это порт­фель Марковица при наличии на рынке безрисковых ценных бумаг.

Если на рынке есть безрисковые бумаги, то задача формиро­вания портфеля максимальной эффективности имеет решение, похожее на решение Тобина в предыдущей постановке.

Оптимальное значение долей х, рисковых бумаг есть:

№-г_бт~\у-г_б I)                                                       ■ ⁽⁶-⁸-^,2)

В матрично-векторной форме задача формирования портфеля максимальной эффективности при наличии на рынке безриско- вых ценных бумаг такова:

хо г б + УХ —» тах,

ХО.Х = оп²,                                                                       (6.8.13)

Х₀ + 1Х=1.

Для нахождения условного максимума составим функцию Лагранжа

Ь = Х(/_б +УХ + Яо( ХО.Х-о_п²) + Я,(х₀ + IX- 1).

Находим частные производные Ь по X и по хо и приравнива­ем их к нулю

^ = 0

_{= 0>} получаем |у_+Л^х + Я,/ = 0.

Выразим из второго уравнения и подставим в первое, полу­чим У-г_б1 = - ЛоО.Х, так что

(г_е/-юа~'

Для нахождения Ао подставим найденное X в равенство ХО.Х = о_п^г, получим

Л)                                              Л>

отсюда

\2

-±-\<у-г₆1уагЧу-т₆1) = о'_п.

 

1 - l\ Обозначая — = (V-r₆l)Q. ^](V-г_бі), получаем -у-

d                                                                              ^Ло J

 

или —= и окончательно = -г₆1), т.е. формулу Яд d            d

(6.8.12).

Опять видно, что структура рисковой части оптимального в этом смысле портфеля также не зависит от ограничения на вели­чину риска.

Будем называть полученный оптимальный портфель портфе­лем Тобина максимальной эффективности.

6.8.3. Проблемы оценки риска

Сам Маркович был озабочен сложностью практической реа­лизации своих идей. Вместе с аспирантом Уильямом Шарпом, который позднее разделил с ним Нобелевскую премию, он разра­ботал метод, позволивший обойти процесс вычисления ковариа- ции между отдельными ценными бумагами. Он предложил оце­нивать дисперсию акции или облигации по отношению к рынку в целом, что значительно упростило дело. На этой основе Шарп разработал получившую широкую известность модель оценки долгосрочных финансовых активов (Capital Asset Pricing Model, САРМ, или ценовая модель рынка капитала, ЦМРК), которую мы рассмотрели в параграфе 6.5, позволяющую осуществлять оценку ценных бумаг для случая, когда все инвесторы формиру­ют свои портфели в точном соответствии с рекомендациями Мар­ковича. Эта модель использует коэффициент «бета» для описа­ния среднего отклонения курсов отдельных акций или других цен­ных бумаг относительно рынка в целом за определенный период.

Другая математическая проблема заключалась в том, что порт­фели и сами рынки ценных бумаг описывались только двумя чис­лами — ожидаемой доходностью и дисперсией. Зависимость имен­но от этих двух чисел оправданна, только если доходность ценных бумаг описывается кривой Гаусса. Отклонения от нормальной кри­вой недопустимы, и множество значений с каждой стороны от сред­него должно быть распределено строго симметрично.

Если данные не описываются нормальным распределением, дисперсия не может со 100-процентной степенью точности харак­теризовать неопределенность портфеля. Ничто не совершенно в

реальном мире, и это действительно проблема, но для некоторых инвесторов эта проблема серьезнее, чем для других. Часто дан­ные укладываются в нормальное распределение достаточно точ­но, чтобы на их основе вычислять риск и принимать решения от­носительно портфеля. В других случаях несовершенство распре­деления данных стало поводом для разработки новых стратегий, о которых речь пойдет дальше.

Решающим является вопрос об измерении риска. Как могут ин­весторы решить, идти или не идти на риск, пока риск не измерен?

Изменчивость, или дисперсия, интуитивно кажется привлека­тельной в качестве меры риска. Статистический анализ подтверж­дает это интуитивное предположение: рост изменчивости, как пра­вило, сопровождается падением курса ценных бумаг. Более того, интуиция подсказывает, что неопределенность должна характери­зоваться значительными и быстрыми колебаниями стоимости. Спо­собность к быстрому и значительному росту курса обычно сочета­ется со столь же выраженной склонностью к его падению.

Однако нет согласия по вопросу о причинах изменчивости, не говоря уже о причинах того, почему величина изменчивости ко­леблется. Мы наблюдаем изменчивость, когда происходит нечто неожиданное. Пользы от этой тавтологии никакой — никто не знает, как предсказать неожиданное.

С другой стороны, изменчивость беспокоит не всех. Наличие риска означает, что на самом деле случится лишь часть того, что может случиться, к этому и сводится определение изменчивос­ти, — но время остается неопределенным. Вводя элемент време­ни, мы ослабляем связь между риском и изменчивостью. Время изменяет риск во многих отношениях, а не только его связь с из­менчивостью.

Рискованность изменчивого портфеля зависит от того, с чем его сравнивать. Некоторые инвесторы и многие портфельные ме­неджеры не считают изменчивые портфели рискованными, если мала вероятность того, что их доходность окажется ниже опреде­ленного уровня. Этот уровень не обязательно должен быть нуле­вым. Это может быть подвижная точка отсчета, например необ­ходимый минимум доходности для поддержания платежеспособ­ности пенсионного фонда корпорации, или доходность некоего образцового индекса или портфеля.

Тем не менее измерение риска как вероятности падения курса ниже точки отсчета никоим образцы не отменяет предписания

Марковица для управления портфелями. Доходность остается желательной, а риск нежелательным; ожидаемую доходность нуж­но максимизировать, сводя риск к минимуму; изменчивость по- прежнему свидетельствует о вероятности убытков. В этих услови­ях оптимизация мало чем отличается от того, что имел в виду Марковиц. Процесс идет, даже если риск представляется много­мерным понятием, которое связано с чувствительностью бумаг к неожиданным изменениям таких важных экономических перемен­ных, как деловая активность, инфляция и процентные ставки, а также колебания рынка, на котором они продаются.

Риск может быть измерен и по-иному, исключительно на ос­нове анализа прошлого опыта. Предположим, инвестор пытается опережать рынок, т.е. старается покупать до начала роста коти­ровок и продавать, пока они не начали падать. Какой процент ошибок он может себе позволить, чтобы при этом зарабатывать больше, чем просто владея купленными ценными бумагами?

Стратегия опережения рынка чревата опасностью упустить момент большого подъема котировок. Измерение риска значитель­но усложняется, если параметры не стабильны, а изменчивы. Даже сама изменчивость не стоит на месте.

Этим проблема не исчерпывается. Мало кто в течение всей своей жизни не меняет отношения к риску. Мы становимся стар­ше, мудрее, богаче или беднее, и наше понимание риска и степень его неприятия меняются в ту или иную сторону. Так же меняется отношение к риску и у инвесторов, что вызывает значительные изменения в их отношении к будущим доходам от акций и долго­срочных облигаций.

Остроумный подход к такой возможности был предложен уче­ником, коллегой и соратником Марковица нобелевским лауреа­том Уильямом Шарпом. В 1990 году Шарп опубликовал статью [100], в которой проанализировал соотношение между изменени­ем богатства и желанием инвесторов владеть рискованными цен­ными бумагами. Хотя в соответствии с точкой зрения Бернулли и Джевонса у богатых людей вероятность неприятия риска должна быть большей, чем у других, Шарп высказал гипотезу, что изме­нения богатства тоже влияют на степень неприятия риска. Рост богатства повышает способность людей переносить потери, но потери эту способность уменьшают. Как следствие этого, увели­чение богатства влечет за собой усиление аппетита к риску, а по­тери ослабляют его. Шарп предполагает, что эти изменения в не­приятии риска объясняют, почему подъемы или падения на рын­ках всегда доходят до крайних пределов, но в конце концов меха­низм схождения к среднему вступает в свои права, когда контра­пунктные инвесторы замечают, что зашли слишком далеко, и при­ступают к исправлению накопившихся ошибочных оценок.

Несмотря на критику, которой подвергается разработанная Марковичем концепция формирования портфеля, ее значение трудно переоценить. С 1952 года она закладывается в основу важ­нейших теоретических построений и растущего числа практичес­ких приложений, доминирующих в современном подходе к управ­лению инвестициями. В самом деле, неоднородность портфеля стала настоящей религией современных инвесторов. Нападки на Марковица только стимулировали разработку новых концепций и новых приложений, которые никогда не смогли бы появиться без его основополагающей идеи.

Однако почти все, созданное на основе достижений Маркови­ча, зависит от того, как относиться к спорному вопросу о разум­ности инвестора. Необходимы исследования концепции рацио­нального поведения и неприятия риска. Недавними исследовани­ями установлено, что многие отклонения от установленных норм рационального поведения являются систематическими.

Есть и другая возможность. Можно предположить, что люди сами по себе не являются неразумными, но традиционная модель разумного поведения способна охватывать только часть пути, которым рациональный человек идет к принятию решения. В этом случае проблема заключается скорее в модели рационального по­ведения, а не в человеке. Если выбор, который делает человек, и логичен, и предсказуем, пусть даже скорее с разными, нежели с постоянными предпочтениями или с предпочтениями, которые не прямо укладываются в нормы рационального поведения, поведе­ние все-таки может быть смоделировано математическими сред­ствами. Логика может следовать различными путями, не только теми, которые определяет традиционная модель.

6.8.4. Модель Блэка

Пусть инвестор ради будущих доходов, желая увеличить свой инвестируемый капитал Р°, находит дополнительную сумму Р^е. Тогда при покупке разных активов на суммы РР_п° будем иметь

Р° + рк            или, после деления обеих частей этого равенства

ря

на Р°, 1 + У * = х₁, , где У * - —. Пусть х„-и = - тогда получа-

л+1

ем как и раньше ^ л,- = 1, но одна из долей средств, вкладываемых 1=1

в актив 1-го типа, а именно величина x_i уже отрицательная.

Ясно, что в более сложных ситуациях отрицательных компо­нент, отвечающих заемным средствам, может быть больше одной. Доходность портфеля в этом случае вычисляется в виде

р^к -р° -рК ^Е"= Р»_+Р< '                                     <⁶-⁸-¹⁴>

где Р* — стоимость актива в конце периода, Р° — стоимость актива в начале периода, Р⁸ — дополнительный (заемный) актив.

На большинстве фондовых бирж Запада действия, которые ма­тематически формализуются в виде х,- < 0, допустимы и часто ис­пользуются. Но ввиду их особой рискованности обычно есть до­полнительные ограничения на такие действия, а по некоторым ви­дам ценных бумаг и полный запрет. Портфели, удовлетворяющие условиям данного рынка, называются допустимыми. В модели Блэка допустимы любые портфели, то есть единственное ограни­чение £х_г=1.

Особенностью модели Блэка является то, что оказывается воз­можным реализовать любую, сколь угодно большую доходность (но за счет быстро растущего риска!). В самом деле, пусть есть два актива с ожидаемыми доходностями е\ = 1 и ег - -1. Для портфеля X] = 1 + V, Х'2 = -V доходность

Еп = 1 • (1 + V) + (-1) • (-у) = 1 + 2у -» °° при V -» °о.

6.8.5. Модель Тобина — Шарпа — Линтнера (ТШЛ)

Эта модель в большей степени относится к структуре рынка, а не к структуре портфеля. Считается, что есть безрисковый актив, доходность которого не зависит от состояния рынка (обычно это — государственные ценные бумаги или вклады в большие бан­

ки). Если доходность безрискового актива (пусть он на рынке один, его номер — ноль) ге, то ожидаемая доходность Е(г() = г_б, О¹ (го) - 0 и со\(гб, г,) = 0 для всех г Ф О, последнее означает, что в ковариационной матрице рынка есть нулевая строка и нулевой столбец. Все активы, кроме нулевого, — рисковые, то есть (Дп) > 0 для I = 1, ..., п.

В данной модели портфель с вектором х = (хо, X],..., х„) при хо Ф 1 можно представить в виде линейной комбинации без­рискового и рискового портфеля: X = Хо^о ⁺ (1 - ХО^О! где, ео = (1, 0,0,..., 0), это безрисковый портфель, совпадающий с без­

л і                 п

^и'"і---- >—»7-- I—чисто рисковои пор-

1-Х₀               і

тфель.

Например для п = 3 и х = (0,4; 0,2; 0,3; 0,1) разложение будет иметь вид

х = 0,4(1,0,0,0)+0,6|0,|,|,^

Такое разложение играет важную роль при оценке фиксиро­ванных активов.

Рассмотрим рынок двух активов, описываемый вектором ожи­даемых доходстей Е — {Е\, Е₂) и матрицей ковариации

f 2 > сг, ро₁с₂

£2 =

где р = рп — коэффициент корреляции доходностей активов, о"|, 0 2 — стандартные отклонения.

Для модели Блэка, когда допустимы любые значения XI и х₂ ЛИШЬ бы xi + х'2 = 1, имеем в двухмерном случае прямую на плос­кости X], х₂, которая составлена из множества допустимых пар. Удобно представить эту прямую в параметрическом виде: X] = /, х₂ = 1 - тогда каждый портфель описывается так: х = (/, 1 - /), * — принимает любые вещественные значения (в том числе и от­рицательные).

Доходность портфеля

 

En = Eit + £2(1 -t) = E₂ + (£1 - E₂)t,

 

риск портфеля

°П ⁼ X X ^X'^XJ ^cov(r' '^rj^{) =}

f=l j=l

= ct,v +2pf7,cr₂f(l-0 + 02(l-0² =

= (сг,² -2pcr,cr₂ +ol)t² +2(pa_l<7₂ -a\)t + c\.

Оценкой портфеля называют ряд чисел (сг(х), £(х)), которую можно изобразить точкой на плоскости о²£о-

Плоскость (о², £) называют критериальной. Меняя портфель, то есть меняя вектор х, получают различные оценки, а для них разные точки на критериальной плоскости. Множество всех оце­нок (то есть множество пар (о², £), а не множество портфелей) допустимых портфелей называют критериальным множеством. Если критериальное множество не сводится к одной точке, то воз­никает проблема выбора. Пусть По — некоторый портфель, а Qo = (о², £о) — оценка для По.

Критериальную плоскость можно разделить на четыре квад­ранта (рис. 6.23). Если какой-то другой портфель П! имеет оцен­ку в четвертом квандранте, то Пі лучше По, так как £1 > £0 и аі² < сг₀². Если оценка для Пі попадает во второй квандрант, то Пі хуже По, так как £1 < £0 и о² > cr_(j² (причем для обоих этих

 

 

квандрантов хотя бы одно неравенство в приведенных парах не­равенств — строгое). Если же оценка <2\ портфеля Пі находится внутри (не на пунктирах рисунка) первого или третьего кванд­рантов, то имеем два таких портфеля, у которых один показатель лучше, чем у другого, но зато второй — хуже.

Из выражения (6.8.15) найдем, что

^Еп~^Е 2 Е_Х-Е₂

а затем после подстановки этого значения / в выражение (6.8.16) получим

\2

(6.8.17)

°²_П

Критериальное множество (6.8.17) является параболой на плос­кости (оя , Е_п) (рис. 6.24).

1 "2

Рис. 6.24. Критериальное множество при р - 1 для двух активов

Так как О//² > 0, то есть такой портфель, у которого риск нуле­вой. Приравнивая (6.8.17) к нулю, имеем

 

(6.8.18) 469

Нулевой риск (точка (О, £*) на графике) — это, конечно, хоро­шо, но одна из компонент х* — отрицательная величина, то есть заемные средства. Более того, может быть Е* < 0, так будет либо при 1 > 02!о\ > М₂\М\, либо при 1 < а₂1о\ < М₂1М\. Подобное устранение риска бессмысленно, поскольку означает гарантиро­ванный убыток (рис. 6.25).

 

 

 

В модели Блэка (то есть при наличии заемных средств, что равносильно отрицательности компоненты векторах) может быть случай, когда Е*> 0, причем возможно, что доходность портфеля как понизится, так и повысится по сравнению с доходностями ис­пользуемых активов (рис. 6.26, 6.27).

ст²

 

Так для случая, изображенного на рис. 6.27, имеем Е\ < Е₂, 01 > 02, следовательно

Возможно еще одно геометрическое представление для двумер­ного случая: при использовании стандартного отклонения

0 = л[сг* =\а₂ +(0, -0₂)'| И Е_п = Е₂ + (£, -Е₂у

получаем параметрическое задание критериального множества на плоскости (о², Е) (рис. 6.28), которое будет парой лучей с верши-

 

 

ной в точке (о², Е). Таким образом, для р = 1 критериальное мно­жество — парабола на плоскости (о², Е) или пара лучей на плос­кости (о², Е), минимальная граница совпадает с критериальным множеством, эффективная граница оценок — верхняя ветвь пара­болы на плоскости (о², Е) или верхний луч на плоскости (о², Е).

Пусть для модели Блэка р = 0. В этом случае:

Е_П = Е₂ + (Е_х - Е_г% суп² = 01²1² + О-₂²(1 - I²) > 0. (6.8.19)

Можно опять выразить I через Еп, подставить в Оп и полу­чить зависимость а_п от Е_п, эта зависимость будет, как в преды­дущем случае, квадратичной. Для нахождения гшп сп (теперь

 

Риск портфеля меньше риска каждого из активов, но устра­нить его полностью нельзя. Как и в предыдущем случае: мини­мальная граница совпадает с критериальным множеством, эффек­тивная граница — верхняя ветвь параболы на плоскости (о², Е) (рис. 6.29).

При р = -1 получаем:

Е_п=Е₂+(Е_х-Е₂%а_п = |<7,*-(7₂(1-0| . (6.8.20)

------------------------------------------------------------------ ►

сг²

Рис. 6.29. Критериальное множество для некоррелированных активов

Анализируя зависимости (6.8.20), получим кривые рис. 6.30 и рис. 6.31, но

г*= °^г е(0;1) сг, +сг₂

И 0* лежит внутри дуги

 

Суть этого факта в том, что риск можно полностью устранить без привлечения заемных средств (хь хг > 0). Минимальная гра­ница опять совпадает с критериальным множеством, эффектив­ные границы — верхние ветви.

Аналогичный анализ возможен для любых значений р. Мож­но доказать, что при р ± 1 полностью устранить риск нельзя. При р > 0 вершина параболы £2* лежит вне дуги СЬбг, при р < 0 — внутри этой дуги.

6.8.6. Модель Марковица для двух активов

В данной модели, кроме ограничения + х₂ = 1, требуется еще выполнение условий Хь Хг ^ 0. Для параметрического пред­ставления XI = I, хг = 1 -1 получается условие/ е [0; 1], что означа­ет: критериальное множество в модели Марковица представляет часть критериального множества модели Блэка. Возможные си­туации представлены на рис. 6.32 — 6.35.

Если изобразить критериальные множества на плоскости (о², Е) для разных коэффициентов корреляции р, то получим тре-

 

 

<т²

Рис. 6.34. р = 0, участок от £5* до <2₂ — эффективные портфели

Е А

Рис. 6.35. р = -1, все портфели <2* 0._г — эффективные

угольник <21(2*62, соответствующий крайним значениям р = ±1, который сплошь заполнен частями гипербол, отвечающих осталь­ным значениям р (рис. 6.36).

При коэффициенте корреляции регшп] —, — I получается

[^аг ^а1 \

портфель с риском меньшим, чем риск каждого из активов. В этом случае портфель обязательно будет лучше, чем портфель, состоя­щий только из актива с меньшей доходностью.

Таким образом, как и в модели Блэка, в модели Марковица наличие отрицательной корреляции между доходностями активов позволяет добиться существенного снижения риска в том смысле, что оптимальный портфель будет лучше одного актива и не хуже другого. Нахождение параметра /*, который задает пропорции инвестиций оптимального портфеля, сводится к решению урав­нения с!а² / сН = 0. Поскольку в модели Марковица требуется нео­трицательность вектора х* (/*, 1 - г*), постольку при I* £ [0; 1] получается портфель, состоящий из какого-то одного актива.