6.2. ДИВЕРСИФИЦИРОВАННЫЙ ПОРТФЕЛЬ

В экономике часто встречаются ситуации, когда субъект (фи­зическое лицо или фирма) должен выбрать одну из альтернатив. Существует экономическая теория, которая занимается изучени­ем процесса выбора, используя так называемую функцию полез­ности. Функция полезности описывает правило, по которому каж­дому из возможных вариантов выбора приписывается некоторое числовое значение. Чем больше это значение, тем больше «полез­ность» данного варианта выбора. Говоря проще, в теории порт­феля функция полезности выражает предпочтения субъекта при определенных отношенях к риску и представлениях об ожидае­мых доходностях.

В графической форме функцию полезности отражают кривые безразличия. На рис. 6.1 они обозначены через щ, и₂, щ. На гори­зонтальной оси откладывается значение риска, а на вертикаль­ной — ожидаемые доходности. Кривые представляют собой на­боры портфелей с различными комбинациями риска и доходнос­ти. Точки одной такой кривой определяют значение риска и доходности для данного уровня полезности. Рассмотрим, напри­мер, два портфеля и и и* на кривой щ. Портфель и имеет большую доходность, но и больший по сравнению см*риск. При этом ин­вестору безразлично, какой из них выбирать. Наклон кривой без­различия означает, что с ростом риска инвестор требует его ком­пенсации большей доходностью.

Чем выше лежит кривая, тем больше полезность, поскольку по вертикали отложены доходности. Таким образом, из трех кри­вых на рис. 6.1 кривая щ имеет наибольшую полезность, а щ — наименьшую.

Все портфели, лежащие на одной заданной кривой безразли­чия, являются равноценными для инвестора.

При формировании портфеля следует различать рисковые и безрисковые активы.

Рисковые активы — это активы, доходность которых в буду­щем неопределенна. Предположим, что инвестор покупает акции компании и планирует держать их один год. В момент покупки он не знает, какой доход получит в конце срока. Это зависит от сто­имости акции через год и дивидендов, которые компания выпла­чивает в течение года. Поэтому эти акции, так же как и акции дру­гих компаний, — это рисковые активы. Даже ценные бумаги, вы­пускаемые правительством США, являются рисковыми. Допустим, например, что инвестор купил правительственные облигации со сро­ком погашения 30 лет. Он не знает, какой доход получит, если про­держит их всего один год. Дело в том, что на стоимость облигаций в течение года влияет изменение процентной ставки.

Тем не менее активы, будущая доходность которых известна в момент погашения, существуют. Такие активы называются без­рисковыми активами.

Как правило, это краткосрочные правительственные облига­ции. Допустим, инвестор покупает казначейские векселя США сроком погашения один год и планирует держать их до погаше­ния. В таком случае относительно доходности этих бумаг нет ни­какой неопределенности. Инвестор знает, что в день их погаше­ния правительство выплатит определенную сумму (номинал), по­гашающую долг. Обратите внимание на то, как отличается эта ситуация от предыдущей, хотя и в первом, и во втором случае цен­ные бумаги являются государственными.

Принимая решение о приобретении портфеля, инвестор дол­жен обращать внимание на ожидаемую доходность и стандарт­ное отклонение каждого портфеля.

Ожидаемая ставка доходности (среднее значение доходности) определяется как сумма всех возможных ставок доходности, ум­ноженных на соответствующую вероятность их получения:

Е(г) = Р_Л + Р₂г₂ +...+ Р_пг_л = £ Р,,г,.                                    (6.2.1)

1=1

Предположим, что ожидаемая доходность акций А —г_А = 10%, а акций В — г_в = 15%. Если весь капитал вложить в акции А, то ожидаемая доходность портфеля г и = т_А = 10%. Если инвес­тировать капитал только в акции В, то ожидаемая доходность инвестиции составит: г и = г в = 15%. При инвестировании ка­питала в акции равными долями ожидаемая доходность порт­феля будет равна средневзвешенной из доходности акций: гп = 0,5 ■ 10% + 0,5 • 15% = 12,5%. По истечении года фактические значения доходности акций А и В, а следовательно, и портфеля в целом, возможно, будут не совпадать с их ожидаемыми зна­чениями.

Рискованность одного актива измеряется дисперсией или сред­ним квадратическим отклонением доходов по этому активу, а риск портфеля—дисперсией или средним квадратическим отклонени­ем доходов портфеля.

Если для создания портфеля ценных бумаг инвестировать день­ги в какой-то один вид финансовых активов, то инвестор оказы­вается зависимым от колебания его курсовой стоимости. Поэто­му следует вкладывать капитал в акции нескольких компаний, хотя понятно, что эффективность также будет зависеть от курсовых колебаний, но уже не каждого курса, а усредненного, который, как правило, колеблется меньше, поскольку при повышении кур­са одной из ценных бумаг курс другой может понизиться, и коле­бания могут взаимно погаситься.

Такой портфель ценных бумаг, содержащий самые разнооб­разные типы ценных бумаг, называется диверсифицированным портфелем. Хотя подобный портфель значительно снижает дивер- сификационные (несистематические) риски, но полностью устра­нить инвестиционный риск нельзя, так как при вложении капита­лов присутствуют еще и недиверсифицированные или системати­ческие риски, присущие конкретной экономической системе в целом или отдельному рынку и не поддающиеся диверсификации. Систематический риск обусловлен общим состоянием экономи­ки, который связан с такими факторами, как: война, инфляция, глобальные изменения налогообложения, изменение денежной по­литики и т.п., и связан с изменениями цен на акции, их доходнос­тью, текущим и ожидаемым процентом по облигациям, ожидае­мыми размерами дивиденда, вызванными общерыночными коле­баниями.

Однако чтобы измерить риск портфеля, нам нужно не только знать вариацию доходов отдельных ценных бумаг, но и степень, с которой доходы пар ценных бумаг колеблются вместе. Нам необ­

ходимо знать ковариацию или же корреляцию доходов каждой пары активов в портфеле.

Риск портфеля, измеряемый через дисперсию, рассчитывается как взвешенная сумма ковариаций всех пар активов в портфеле, где каждая ковариация взвешена на произведение весов каждой пары соответствующих активов и дисперсия данного актива рас­сматривается как ковариация актива с самим собой.

Дисперсия или вариация случайной величины служит мерой разброса ее значений вокруг среднего значения. Для доходности (как случайной величины) вариация, оценивающая степень откло­нения возможных конкретных значений от средней или ожидае­мой доходности, служит мерой риска, связанного с данной доход­ностью.

Формула для определения вариации доходности /-го актива, записывается следующим образом:

и

(6.2.2.)

Вариация учитывает не только размер отклонений возможных значений доходности от среднего, но и вероятность такого откло­нения. В этом смысле дисперсия указывает меру неопределеннос­ти в ожиданиях инвестора, который оценивает будущую доход­ность как среднюю по всем возможным значениям. Это обстоя­тельство и позволило Марковичу считать дисперсию доходности мерой риска инвестиций.

Однако, можно привести два довода против использования вариации в качестве меры риска. Первый — вариация учитывает отклонение в обе стороны по отношению к среднему значению. Действительно, реализованная доходность может быть как выше, так и ниже среднего значения, при этом первый случай также вно­сит вклад в величину вариации и, следовательно, риска. Инвес­тор же не расценивает превышение реальной доходности над ожи­даемой как неприятный результат. Напротив, он только привет­ствует такой исход дела. Поэтому многие исследователи считают, что при измерении риска не должны рассматриваться случаи, когда возможная доходность выше ожидаемой.

Маркович понимал этот недостаток вариации и предла­гал меру риска, которая учитывала лишь случаи снижения до­

ходности по отношению к среднему значению. Эту меру на­зывают полувариацией. Полувариация рассчитывается как обычная вариация кроме тех случаев, когда доходность выше ожидаемой доходности. Однако сложности вычисления, свя­занные с использованием полувариации, привели к тому, что в своих работах Маркович был вынужден ограничиться обычной вариацией.

В настоящее время при измерении риска снижения стоимости ценной бумаги финансисты-практики пользуются обоими поня­тиями.

Второй довод, относящийся к недостаткам вариации как меры риска, состоит в том, что она нечувствительна к асимметричнос­ти распределения отклонений от среднего значения. В случае не­симметричных распределений приходится пользоваться другими характеристиками типа коэффициента асимметрии и т.п. Марко­вич не рассматривал подобные характеристики в своей теории. Использование вариации можно оправдать, основываясь на эм­пирических исследованиях, подтверждающих относительную сим­метричность статистических распределений доходностей акций. Поскольку считается, что для принятия решения инвестор рассмат­ривает только ожидаемую доходность и вариацию, теория порт­феля в формулировке Марковича получила название двухпара- метрической модели.

При вычислении стандартного отклонения портфеля пользу­ются понятием ковариачии. Ковариачия это статистическая мера взаимодействия двух случайных переменных. То есть это мера того, насколько две случайные переменные, такие, например, как доходности двух ченных бумаг г и зависят друг от друга. Поло­жительное значение ковариации показывает, что доходности этих ценных бумаг имеют тенденцию изменяться в одну сторону, на­пример лучшая, чем ожидаемая, доходность одной из ценных бумаг должна, вероятно, повлечь за собой лучшую, чем ожидае­мая, доходность другой ценной бумаги. Отрицательная ковариа- чия показывает, что доходности имеют тенденчию компенсиро­вать друг друга, например лучшая, чем ожидаемая, доходность одной ченной бумаги сопровождается, как правило, худшей, чем ожидаемая, доходностью другой ченной бумаги. Относительно не­большое или нулевое значение ковариачии, показывает, что связь между доходностью этих ченных бумаг слаба либо отсутствует вообще.

В общем случае вычисление стандартного отклонения порт­феля, состоящего из п ценных бумаг, требует двойного суммиро­вания п ценных бумаг, для чего необходимо сложить п² членов:

Уг

(6.2.3)

,=1 у=1

где Су обозначает ковариацию ценных бумаг г и /

Очень близкой к ковариации является статистическая мера, известная как корреляция. На самом деле, ковариация двух слу­чайных переменных равна корреляции между ними умноженной на произведение их стандартных отклонений:

=Рц^а1^аи                                                                                 (6.2.4)

где ру обозначает коэффициент корреляции между доходностью на ценную бумагу i и доходностью на ценную бумагу у. Коэффи­циент корреляции нормирует ковариацию для облегчения срав­нения с другими парами случайных переменных.

Коэффициент корреляции всегда лежит в интервале между -1 и +1. Если он равен -1, то это означает полную отрицательную корреляцию, если +1 — полную положительную корреляцию. В большинстве случаев он находится между этими двумя экстремаль­ными значениями.

Рисунок 6.2 (а) представляет собой точечную диаграмму до- ходностей гипотетических ценных бумаг А и В, когда корреляция между двумя этими ценными бумагами, полностью положитель­на. Заметим, что все точки лежат на прямой наклонной линии, идущей из левого нижнего квадранта в правый верхний. Это оз­начает, что когда одна из двух ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, тогда и другая ценная бумага имеет относи­тельно высокую доходность. Соответственно, когда одна из двух ценных бумаг имеет относительно низкую доходность, тогда и другая имеет относительно низкую доходность.

Однако корреляция между доходностями двух различных цен­ных бумаг будет абсолютно отрицательной, когда точечная диаг­рамма показывает, что точки лежат именно на прямой наклон­

ной линии, идущей из левого верхнего квадранта в правый ниж­ний, как это показано на рис. 6.2 (б). В данном случае можно ска­зать, что доходности двух ценных бумаг изменяются противопо­ложно друг другу. То есть когда одна из ценных бумаг имеет от­носительно высокую доходность, другая имеет относительно низкую доходность.

а) Полная

положительная корреляция между доходностями

Доходность бумаги В

• • •

\ Доходность бумаги А   •

Доходность бумаги А

Рис. 6.2. Доходность двух ценных бумаг

Особый случай возникает, когда точечная диаграмма доход­ности ценных бумаг показывает разброс точек, который даже при­близительно не может быть представлен прямыми наклонными линиями. В таком случае делается вывод о некоррелированности доходностей, т.е. о равенстве нулю коэффициента корреляции. Рис. 6.2 (в) представляет данный пример. В такой ситуации, когда одна из ценных бумаг имеет относительно высокую доходность, дру­гая может иметь и относительно высокую, и относительно низ­кую, и среднюю доходности.

Теперь на конкретном примере рассмотрим понижающий риск эффект диверсификации.

В центре внимания стратегии диверсификации Марковица прежде всего находится уровень ковариации доходностей акти­вов портфеля. Ключевой вклад Марковица состоит в постановке вопроса о риске активов как составляющих единого портфеля, а не отдельно взятых единиц.

Данная стратегия, стремясь к максимально возможному сни­жению риска при сохранении требуемого уровня доходности, со­

стоит в выборе таких активов, доходности которых имели бы воз­можно меньшую положительную корреляцию. Именно учет вза­имной корреляции доходностей активов с целью снижения риска отличает стратегию диверсификации Марковица от стратегии наивной диверсификации.

Способ диверсификации Марковица и важность корреляции активов можно проанализировать на примере портфеля из трех активов. Для этого мы сначала покажем общую взаимосвязь ожи; даемого риска портфеля из трех активов и корреляции их доход­ностей. Затем мы изучим влияние комбинирования активов с раз­личными корреляциями на риск всего портфеля.

Портфель составлен из трех видов ценных активов А, В, С. Веса, с которыми каждый актив представлен в портфеле, равны У_а = 50% = 0,5, У_ъ = 30% = 0,3 и У_с = 20% = 0,2.

Доходы по каждому из активов представлены в табл. 6.1.

 

Для нахождения связи между доходами каждой ценной бума­ги определяем ковариацию (корреляцию) каждой пары активов по формуле [69]

^соуху = Сху = ———і---------------------------------------------- (6.2.5)

п-1

и ковариацию актива с самим собой

У (х-х)(х-х) У (х-х)

соу^ = о= ^---------------------------------- = ^---------- .           (6.2.6)

п—1                                                               п-1

 

Ковариации доходов по всем возможным парам активов ото­бражаем в ковариационной матрице: