4.3. РИСК ПОТЕРЬ ОТ ИЗМЕНЕНИЯ ПОТОКА ПЛАТЕЖЕЙ

Компания, намеревающаяся взять взаймы сумму денег, или компания, имеющая долговые обязательства, по которым выпла­чиваются проценты по плавающей ставке, могут понести убытки в случае повышения процентных ставок, так как потребуется уве­личение потока денежных средств для обслуживания долга. И на­оборот, компании, управляющие фондом, имеющие депозиты, по которым выплачиваются проценты на основе плавающей ставки, подвержены риску в случае падения процентных ставок.

Колебания процентных ставок создают неопределенность как для заемщиков, так и для кредиторов. Неопределенность уровня процентных ставок в будущем может создавать препятствия при планировании бизнеса. Повышение процентных ставок по уже полученным денежным займам может серьезно отразиться на по­токе денежных средств. Методы уменьшения неопределенности, касающейся будущих процентных ставок, могли бы устранить основное препятствие для планирования и инвестиций.

Следующий гипотетический пример демонстрирует необходи­мость в инструментах хеджирования риска потерь от изменения потока денежных средств, связанного с колебаниями процентных ставок. Финансовый директор компании 1 февраля планирует получить 1 марта сумму в 1 млн у.е. от продажи активов. Учиты­вая финансовые потребности компании, он решает инвестировать денежные средства, которые будут получены 1 марта, в 3-месяч­ный долларовый депозитный сертификат. Текущая процентная ставка для подобного рода активов составляет 11,25% годовых, что могло бы принести доход в 27739 у.е. за период инвестирова­ния. Однако к 1 марта процентная ставка может снизиться, умень­шив поступления от предполагаемой инвестируемой суммы. Фи­нансовый директор мог бы избежать такой возможности, попы­тавшись «зафиксировать» процентную ставку на 1 февраля, или, по крайней мере, устранить риск потерь от неожиданного паде­ния процентной ставки.

4.3.1. Эквивалентные потоки

Рассмотрим эквивалентность во времени денежных сумм. С экономической точки зрения бессмысленно говорить о величине денежной суммы без указания даты ее получения. Очевидно, что 1000 руб. сегодня и 1000 руб., ожидаемые через год, не равноцен­ны, так как деньги могут быть вложены в дело и принести доход.

Денежные суммы Р(7) в момент Т и P(t) в момент t называют­ся эквивалентными по ставке сравнения i, если

Р(Т) = Р(/) ■ (1 + 0^(Г1).                                                         (4.21)

Это означает, что при Т> t сумма P(t), наращенная по ставке i сложных процентов, превратится в момент Т в сумму Р(7), одна­ко, если T < t, то сумма Р(Т), наращенная по ставке i сложных процентов, превратится в момент t в сумму P{t).

Пример 4.9. Какая сумма предпочтительнее при ставке 6%: 2000 у.е. сегодня или 3500 у.е. через 8 лет?

Найдем современную величину 3500 у.е. через 8 лет при ставке 6% из формулы (4.11)

Так как Р- 2196 > 2000, то следует предпочесть сумму 2196 у.е. через 8 лет.

Из формулы (4.21) следует, что при Т> t эквивалентность сумм Р(7) и P{t) означает, что сумма Р(Т), уменьшающаяся при движе-

1

нии в прошлое за каждый единичныи промежуток в у— раз, к моменту t превратится в точности в сумму:

P(t) = ^P(T)_Tl.                                                                        (4.22)

(1 + 0

Такой пересчет будущей суммы к настоящему моменту называ­ется приведением ее или нахождением ее современной величины.

Пример 4.10. Долг в размере 300 у.е. должен быть выплачен через два года. Найти эквивалентное по ставке 25% значение че­рез 5 лет.

Из формулы (4.21):

Р(5) = Р(2)(1 + 0,25)^{5 2} = 300(1 + 0,25)³ = 585,94 у.е.

Отметим важное свойство эквивалентности. При фиксирован­ной ставке сложных процентов из того, что сумма А эквивалент­на сумме В и сумма В эквивалентна сумме С, следует, что сумма А эквивалентна сумме С.

Докажем это свойство на следующем общем примере.

А                   ВС

Рис. 4.6

Пусть 0 — данный момент времени, тогда ^ — срок выплаты суммы А, (₂—срок выплаты суммы В и — срок выплаты суммы С.

Из эквивалентности А и В имеем:

В = А(1+0'²"'¹.

Так как В эквивалентна С, то

С = В( 1 + 0'³"'²-

Подставляя сюда В из первого соотношения, получим, что

С = А( 1 + 0'²"" (1 + 0'³"'² = А(1 + 0'³^ ■

а это означает, что А эквивалентна С.

4.3.2. Потоки платежей

Потоки платежей весьма часто встречаются на практике: зара­ботная плата, плата за квартиру, ежемесячный взнос на счет в банк некоторой суммы, откладываемой для покупки квартиры, и т.д.

Как правило, разного рода финансовые операции предусмат­ривают не отдельные разовые платежи, а множество распределен­ных во времени выплат и поступлений. Совокупность ряда рас­пределенных во времени платежей принято называть потоком платежей или денежным потоком. Любая финансовая операция предполагает наличие двух потоков платежей: входящего — по­ступления (доходы) и исходящего — выплаты (расходы, вложе­ния). Эти потоки, а также поток процентных платежей, создавае­мый начислением процентов, формируют соответствующий денеж­ный фонд.

Поток называется конечным или бесконечным в зависимости от количества платежей в нем.

Пусть Рп - {Р_к, tк} — поток платежей, где ?_к — момент време­ни, а Р_к — платежи. Предполагается, что известна ставка процен­та i, обычно неизменная в течение всего потока.

Величиной потока в момент Т называется сумма платежей потока, дисконтированная к этому моменту

Р_п(Т) = ^Р_к(1 _{+ 1})^т"

к

Величина Ря(0) называется современной величиной потока. Если есть последний платеж, то величина потока в момент этого платежа называется конечной величиной потока.

Пример 4.11. Имеем поток платежей Рп = {(-1000; 1), (1000; 2), (1800; 3), (2500; 4)}. Найдем характеристики этого потока при 8% ставке.

-1000            1000   1800   2500

I----------------------- 1------------- 1------------- 1------------- 1 ►

0            12              3      4

Рис. 4.7

Прежде всего найдем современную величину потока

Рп{0) = -1000(1 + 0,08)"' + 1000(1 + 0,08)"² + + 1800(1 + 0,08)~³ + 2500(1 + 0,08)"^ = 3197,89.

Теперь найдем конечную величину потока

Р_л(4) = Рл(0)(1 + О⁴ = 3197,89 (1 + 0,08)⁴ = 4350,69.

Поток платежей, все члены которого положительные величи­ны, а промежутки между платежами одинаковы, называют финан­совой рентой или просто рентой.

Временной интервал между двумя последовательными выпла­тами называется периодом ренты. Срок от начала первого перио­да до конца последнего называется сроком ренты. Различают два основных типа рент: безусловные и условные ренты. Безусловные ренты — это ренты с фиксированным периодом, т.е. даты первой и последней выплат определены до начала ренты. Условные рен­ты — ренты, в которых дата первой или последней выплаты зави­сит от некоторого события, например пенсия.

По количеству выплат членов ренты на протяжение года рен­ты делятся на годовые (выплаты раз в году) и т — срочные (т — количество выплат в году). При анализе производственных инве­стиционных процессов иногда применяются ренты с периодами, превышающими год. Перечисленные виды рещд^ываются дис­кретными.

В финансовой деятельности встречаются и такие потоки пла­тежей, которые производятся столь часто, что их практически можно рассматривать как непрерывные.

Текущим значением ренты называется денежная сумма эквива­лентная множеству всех выплат в начальный момент ренты. Нара­щенным значением (суммой) ренты называется сумма, эквивалент­ная множеству всех выплат в конце всего срока ренты. Для обыч­ной ренты текущее значение определяется за один период до первой выплаты, а наращенное значение — в момент последней выплаты. Очевидно, что и текущее, и наращенное значения зависят от про­центной ставки, используемой в уравнении эквивалентности.

По количеству начислений процентов на протяжении года различают ренты с ежегодным начислением, с начислением п раз в году, с непрерывным начислением. Моменты начисления про­центов могут совпадать или не совпадать с моментами выплат членов ренты. Однако, расчеты значительно упрощаются, если два указанных момента совпадают. Ренты по этому признаку класси­фицируются на простые и общие соответственно.

Пример 4.12. Найти текущее и наращенное значение ренты с выплатами 1000 у. е. в конце каждого месяца в течение двух лет. Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке 6%  |

годовых.                                                                                                    |

Приведем временную диаграмму выплат (рис. 4.8).

0,5% 1000 1000 1000                                  1000 1000 1000

|------------ 1----- 1----- 1------------------------------ 1----- 1---- 1

0 1 2 3                                                          22 23 24

Рис. 4.8

Эффективная ставка за месяц ^{г = =} 0,5%.

Если Р, наращенное значение простой обычной ренты, состо­ящей из п выплат, каждая в размере К с процентной ставкой г за период начисления, то уравнение эквивалентности для даты пос­ледней выплаты имеет вид:

Р, = Я + + 1) + Я(1 + /) + ... + + 0"

Применяя к правой части уравнения формулу суммы членов геометрической прогрессии с первым членом Я и знаменателем (1 + г), получим:

Р.-С + 'У-¹*.                                                                         (4.23)

I

Множитель

(4.24)

называется коэффициентом наращения простой обычной ренты.

Текущее значение ренты Р определяется из условия эквивален­тности для текущего и наращенного значения обычной ренты:

Р, = (1 + г)"Р или р = ¹~^{(1 +} '⁾ " Д .                                    (4.25)

Коэффициент перед Я в формуле (4.25) называется дисконти­рующим множителем обычной простой ренты.

Переходим к нашему примеру. По формуле (4.25) вычисляем текущее значение ренты

Р-'-Р^"*-1000 = 22562,87 у.е.

0,005

Наращенное значение найдем по формуле (4.23) _Р|=£1ММ,000 = 25431,96 у.е.

По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты, ренты делятся на немед­ленные и отложенные, или отсроченные. Для отложенной ренты срок ренты начинается в некоторый момент в будущем и ее при­нято считать обычной.

Важным является различие рент по моменту выплат платежей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце пери­одов, то соответствующие ренты называют обыкновенными, или постнумерандо, если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо. Иногда контранты предусматри­вают платежи или поступления денег в середине периодов.

Для вычисления параметров произвольного потока платежей и, в частности, ренты достаточно уметь составлять уравнение эк­вивалентности для заданного момента времени. Однако для про­извольного ряда выплат эта задача может оказаться трудоемкой. Поэтому для вычисления параметров общей ренты целесообраз­но преобразовать ее в эквивалентную простую ренту. Пусть Лоб — величина выплат общей обычной ренты; п — число выплат общей ренты в году; г — процентная ставка, соответствующая периоду об­щей ренты;

Л — величина выплат простой ренты, эквивалентной

исходной общей ренте; т — число периодов начисления в году; у — процентная ставка за период начисления.

Для простоты восприятия изобразим временную диаграмму (рис. 4.9.).

^                    ^06 ^06______________ ^об Ррб

п выплат в год Я                    Я           Я           Я          Я

 

Из определения эквивалентности процентных ставок и перво­го условия имеем:

(1+0" = (1+УГ-                                                                    (4.26)

Приравнивая наращенные за год значения обеих рент, получим: ] ^

С учетом (4.26) формула (4.27) запишется так:

Подставляя сюда выражение для /, найденное из (4.26), полу­чим формулу для выплат простой ренты:

I) ___________________  ___ ■__ п

а ⁰⁶.                                                                                         (4.28)

Пример 4.13. Заменить общую ренту сроком два года с выпла­тами 1000 у.е. в конце каждого полугодия и начислением процен­тов по кварталам по ставке 8% годовых простой рентой с поквар­тальными выплатами.

Временная диаграмма выплат приведена на рис. 4.10.

1000 1000 1000 1000