4.2. ПРОЦЕНТНЫЕ РИСКИ

4.2.1. Виды процентных рисков

Процентные ставки, вероятно, — наиболее часто используе­мые финансовые показатели. Многие читатели в своей жизни бе­рут кредит и платят проценты по этому кредиту, помещают день­ги в банк или другое финансовое учреждение и получат за это про­центные платежи. Во время этих действий они заметят, что существует большое разнообразие процентных ставок по креди­там и вкладам. Эти ставки отличаются не только по величине, но и по методу их вычисления. Одни процентные ставки фиксирова­ны в течение всего периода действия договора, другие же могут изменяться на оговоренных условиях в определенные промежут­ки времени. Существуют и такие, например по ипотечным ссу­дам, которые могут меняться по желанию кредитора. Выясним, почему выплачиваются проценты по кредитам и депозитам?

Ясно, что деньги приносят выгоду или обеспечивают благосо­стояние только косвенно, являясь средством обмена. Это означа­ет, что они должны быть обменены на другие товары или услуги, чтобы принести прямую пользу. Следовательно, деньги сами по себе (банкноты, монеты, банковские счета) мало удовлетворяют жизненные потребности. Это происходит путем обмена денег на товары и услуги, такие, как продукты питания, одежда и жилье.

Таким образом, когда кто-либо инвестирует деньги, он отка­зывается от возможности обратить их в товары и услуги, которые приносят пользу напрямую. Поэтому ему придется довольство­ваться более низким уровнем полезности, чем если бы деньги были употреблены для приобретения товаров и услуг вместо инвести­рования. Эта потеря потенциальной полезности должна быть ком­пенсирована — в этом состоит важнейшая функция процента.

Далее, кредитор сталкивается со значительной неопределеннос­тью относительно стоимости денег, когда они к нему возвращаются (будущая стоимость этих денег неопределенна). Количественная мера этой неопределенности известна как риск. Кредиторы встречаются с различными видами рисков, и это может уменьшить их выгоду или благосостояние. Одной из функций процента является компенсация этой потери выгоды, существующей из-за рисков.

Если мы объединим риск потери потенциальной выгоды, ин­фляционный риск и риск невыполнения обязательств, мы полу­чим группу факторов, которые делают обладание деньгами в на­стоящем более предпочтительным по сравнению с их обладанием в будущем. Люди предпочитают иметь деньги сейчас, чем доволь­ствоваться обещаниями получить их позднее. О деньгах говорят, что они характеризуются положительным временным предпочте­нием.

Проценты компенсируют заимодавцу невозможность удовлет­ворить эти предпочтения в момент инвестирования средств. За­емщики готовы заплатить за использование средств, потому что это позволяет им иметь дополнительную выгоду раннего потреб­ления в результате получения средств от инвестора.

Процентный риск — это риск для прибыли, возникающий из-за неблагоприятных колебаний процентной ставки, которые приво­дят к повышению затрат на выплату процентов или снижению до­хода от вложений и поступлений от предоставленных кредитов.

Фирма, идущая на поглощение другой фирмы, через некоторое время окажется в зоне процентного риска, если это приобретение финансируется за счет заемных средств, а не путем выпуска акций.

Банки и другие финансовые учреждения, которые обладают значительными средствами, приносящими процентный доход, обычно в большей мере подвержены процентному риску. Если фир­ма взяла значительные кредиты, то неэффективное управление про­центными рисками может привести фирму на грань банкротства.

Изменения процентных ставок влекут за собой несколько раз­новидностей риска:

1.  Риск увеличения расходов по уплате процентов или сниже­ния дохода от инвестиций до уровня ниже ожидаемого из-за коле­баний общего уровня процентных ставок.

2.   Риск, связанный с таким изменением процентных ставок после принятия решения о взятии кредита, которое не обеспечи­вает наиболее низких расходов по уплате процентов.

3.   Риск принятия такого решения о предоставлении кредита или осуществлении вложений, которое в результате не приведет к получению наибольшего дохода из-за изменений процентных ста­вок, произошедших после принятия решения.

4. Риск того, что сумма расходов по уплате процентов по кре­диту, взятому под фиксированный процент, окажется более высо­кой, чем в случае кредита под плавающий процент, или наоборот.

Чем больше подвижность ставки (регулярность ее изменений, их характер и размеры), тем больше процентный риск.

Рассмотрение процентного риска зависит от того, в каком по­ложении вы находитесь — заемщика или кредитора. Предполо­жим, например, что у вас на банковском краткосрочном вкладе находится 5000 у.е., причем процентная ставка меняется ежеднев­но, отражая конъюнктуру рынка. В вашем положении вкладчика (т.е. кредитора банка) процентный риск — это риск того, что став­ка снизится. Ваша политика страхования должна заключаться в страховании от падения ниже некоего минимума процентной став­ки, т.е. в обеспечении защиты от убытков, вызванных минималь­ной процентной ставкой.

А теперь наоборот, представим, что вы заемщик. Предполо­жим, например, что вы только что купили дом и взяли в банке ипотечный кредит с регулируемой ставкой. Предположим, что процентная ставка по закладной, которую вы выплачиваете, при­вязана к ставке процента по годичным казначейским векселям. В этом положении ваш процентный риск состоит в том, что ставка будет расти. Ваша политика страхования процентной ставки дол­жна заключаться в страховании от превышения некоего потолка процентной ставки, т.е. убытков, связанных с максимальной про­центной ставкой.

Большинство ипотек с переменной ставкой (так называемой ARM), заключенных в США в 80-е и 90-е годы, содержат условия о потолке процентной ставки. Часто этот «потолок» принимает форму максимальной величины, до которой процентная ставка может увеличиться в течение годичного периода. Может также быть и общий (global) потолок процентной ставки на весь период погашения ипотечного кредита.

Риск для заемщика имеет двойственную природу. Получая займ по фиксированной ставке, он подвергается риску из-за паде­ния ставок, а в случае займа по свободно колеблющейся ставке он подвергается риску из-за их увеличения. Риск можно снизить, если предугадать, в каком направлении станут изменяться процентные ставки в течение срока займа, но это сделать достаточно сложно.

Риск для кредитора — это зеркальное отображение риска для заемщика. Чтобы получить максимальную прибыль, банк должен предоставлять кредиты по фиксированной ставке, когда ожида­ется падение процентных ставок, и по плавающей ставке, когда ожидается их повышение.

Инвестор может помещать средства на краткосрочные депо­зиты или депозиты с колеблющейся процентной ставкой и полу­чать процентный доход. Инвестор должен предпочесть фиксиро­ванную процентную ставку, когда предполагается падение про­центных ставок, и колеблющуюся, когда ожидается их рост.

Изменение процентных ставок в зависимости от срока займа можно выразить с помощью кривой процентного дохода. Нор­мальной кривой процентного дохода считается восходящая кри­вая. Она означает, что процентные ставки для долгосрочных зай­мов обычно выше, чем для краткосрочных, и тем самым компен­сируют кредиторам связанность их средств на более длительный срок и более высокий кредитный риск в случае долгосрочных зай­мов.

Точка зрения банка на процентный риск отличается от точки зрения его корпоративных клиентов. Процентный риск для финан­совых учреждений бывает базовым и риском временного разрыва.

Базовый риск связан с изменениями в структуре процентных ставок. Базовый риск возникает, когда средства берутся по одной процентной ставке, а ссужаются или инвестируются по другой.

Риск временного разрыва возникает, когда займы получают или предоставляют по одной и той же базовой ставке, но с неко­торым временным разрывом в датах их пересмотра по взятым и предоставленным кредитам. Риск возникает в связи с выбором времени пересмотра процентных ставок, поскольку они могут из­мениться в промежутке между моментами пересмотра.

Из вышеизложенного ясно, что существует множество процен­тных ставок. В любое время на финансовых рынках существует ряд процентных ставок, поэтому полезно разделить факторы, оп­ределяющие эти ставки, на две группы: те, которые определяют общий уровень процентных ставок, и те, которые определяют раз­личие процентных ставок.

Факторы, влияющие на уровень процентных ставок:

•   политика правительства;

•   денежная масса;

•   ожидания относительно будущей инфляции.

•    

Факторы, влияющие на различие процентных ставок:

•   время до погашения финансовых обязательств;

•   риск невыполнения обязательств;

•   ликвидность финансовых обязательств;

•   налогообложение;

•   другие различные факторы, специфические для конкретных финансовых обязательств, например, предоставлено ли обеспече­ние активами, включены ли права выбора в договор.

4.2.2. Операции с процентами

Если ставка простая, то начисляемые проценты на депозит или по кредиту рассчитываются как произведение процентной став­ки г на количество лет п (или их соответствующих долей) до сро­ка погашения и суммы вклада Р.

Так, если разместить 1000 у.е. на 9 месяцев под 8% годовых, то проценты начисленные по простой ставке, будут равны:

1000 0,08 -^- = 60 у.е.

Будущая стоимость депозита составит:

Тогда в общем виде формула для нахождения будущей сто­имости по простой процентной ставке выглядит так:

Р_буд. = Р{1 + ш).

Наращение по сложным процентам относится к периодичес­кому добавлению накопленных процентов к основной сумме дол­га, то есть накопленные проценты добавляются к основной сумме и полученная увеличенная сумма является исходной для начисле­ния процентов в следующем периоде. При фиксированной про­центной ставке инвестирование на один период, соответствующий процентной ставке по сложным и простым процентам, приводит к одному и тому же наращенному значению. Поэтому начисление сложных процентов эквивалентно начислению простых процен­тов при реинвестировании средств в конце каждого периода. Сле­

довательно, будет справедливой следующая формула, называемая формулой сложных процентов,

Р₍ = Р(/ + /)^,₎                                                                         (4.11)

где       Р, — наращенная за время / (срок в периодах, соответствующий

процентной ставке г);

г

( = — коэффициент дисконтирования (процентная ставка в долях); Р — основной капитал (текущая стоимость вклада).

Графики зависимости наращенного значения капитала от срока г для фиксированиях процентных ставок приведены на рис. 4.2 (Р = 1).

Для получения формулы наращения, когда проценты начис­ляются чаще, чем раз в год, необходимо изменить выражение (4.11). Годовая процентная ставка делится на количество периодов на­числения в году, а степень / умножается на количество периодов начисления в году:

где т — количество периодов начисления в году.

До сих пор мы рассматривали случаи дискретного начисле­ния процентов. Представляет интерес определить процент как результат непрерывного начисления.

 

В начальный момент времени имеется вклад Р. Поставим за­дачу добиться к концу года максимального роста этой суммы. Если банк дает г% годовых, то за год хранения вклад возрастет на г%, за любой меньший срок вклад возрастет пропорционально этому сроку, например, за один месяц прирост составит 7(2%, а за один день ^г/зб5%- Если представить себе (только теоретически), что опе­рация открытия — закрытия вклада производится непрерывно, то можно рассмотреть следующую общую задачу.

Сумма Р, вложенная в банк под г% годовых, хранится ? лет. Разделив отрезок [0; <] на п равных периодов, получим теорети­чески возможную конечную сумму:

 

—— і =Р Ііш 100-и

п

100И ~)100 г/ ^ п

100 п

 

Таким образом, для конечной суммы вклада имеем формулу непрерывных процентов:

Р,=Ре™=Р?^и, ^где,' ⁼ Ш'

Например, при годовой ставке г = 100% можно к концу второ­го года получить Р = Ре² = Р • 7,41, т.е. увеличить начальный вклад более чем в семь раз.

Пример 4.1. Найти разницу наращенных за два года значений на сумму 300 тыс. у.е. по ставке 10% при непрерывном и ежеме­сячном начислении процентов.

При непрерывном начислении процентов наращенная сумма будет:

Р, =300-е°'²² =366,421 тыс. у.е., а при ежемесячном начислении процентов наращенная сумма равна:

IV^{2 2}

= 366,117 тыс. у.е.

и разница составляет:

366421 -366117 = 304 у.е.

 

4.2.3. Средние величины процентов

Рассмотрим некоторые виды средних величин, которые ши­роко применяются в финансовых операциях. Средние величины позволяют снижать имеющуюся информацию. Так, если в отрас­ли занято п человек и по каждому работнику имеется информация

о его доходах </„ 0 = 1, и), то можно, например рассчитать сред­нюю зарплату по отрасли, вычислив величину:

л

х«.

й =                                                                                          (4.14)

называемую средним арифметическим.

Можно также пользоваться и такой величиной, как среднее геометрическое. Пусть, например, имеются данные об индексах инфляции а, по каждому из п лет (/ = 1, и). Так как а, есть отноше­ние уровня цен на конец г'-го года к уровню цен на начало года, то за все п лет уровень увеличивается в (ау, а₂ ... , а„) раз. Поэтому для определения среднего годового индекса цен лучше использо­вать среднее геометрическое, равное:

а_г =nja_ia₂...a_n .                                                                     (4.15)

Отметим еще одну среднюю величину, которую называют сред­ним гармоническим и равную:

ov=i—г----------- -                            (416)

— + — + ...+ — «1 «2 а„

Анализ показывает, что

а>а_г, а>а_гар , а<о_а, где о_а — среднее квадратическое.

Пример 4.2. Пусть в течение 1-го, 2-го и 3-го годов цены уве­личивались на 30%, а в течение 4-го и 5-го годов снижались на 180 45%. Среднее годовое изменение уровня цен за 5 лет, полученное с помощью среднего арифметического, составит

 

(30 + 30+30-45-45)=0%.

а среднее геометрическое изменение цен будет:

(3/1,3-1,3-1,3-0,55 -0,55 -1) • 100% = -7,85%.

Так как за пять лет уровень цен действительно понизился, то можно сделать вывод, что целесообразно применять среднее гео­метрическое при определении среднего индекса цен за ряд после­довательных лет.

Рассмотрим другой пример. Пусть в обращении имеется п на­личных рублей и (г = 1, п) есть среднее время, в течение которого 1-ый рубль находился в собственности одного человека. Среднее время, в течение которого каждый рубль принадлежит одному лицу, равно:

г_х+і 2+... + Г

/ =

П

Рассмотрим другой подход. Вычислим число оборотов каж­дого рубля за год по формуле К і = — и найдем среднее арифмети­ці

ческое числа оборотов:

К₁ + К₂+... + Л',

П

и определим среднее время по формуле:

 

 

т.е. имеем среднее гармоническое оборота рубля.

Если за V принять суммарный объем всех операций за год с участием наличных денег, то связь между массой наличных денег и и объемом операций имеет вид:

_и = ;.у, где У = К₁ + К₂+...К_п.

Анализ показывает, что среднее время, рассчитанное как сред­нее арифметическое, является завышенной оценкой среднего вре­мени, рассчитанного как среднее гармоническое.

4.2.4. Переменная процентная ставка

На практике может иметь место ситуация, когда процентная ставка будет изменяться в течение срока, на которой предостав­ляется ссуда.

Пример 4.3. С учетом реальной экономической ситуации в стране банк поставил следующие условия выдачи ссуды в сумме 10 млн у.е. на один год: за первые 60 дней ссудный процент равен 100%; за следующие 60 дней — 120%, за следующие 60 дней — 150%, за следующие 60 дней — 190%, за следующие 60 дней — 240% и за остальные 65 дней — 300%. Требуется определить сум­му, возвращенную банку.

Если /1 — продолжительность 1-го периода ссуды, на котором используется ссудный процент г\, продолжительность 2-го перио­да г₂, на котором используется ссудный процент г₂ и т. д., то воз­вращаемую сумму можно определить так:

 

60 100 60 120 ⁺ 365 100 ⁺365'100⁺

 

60 150 60 190 60 240 65 3001 „„ .„„ ⁺ 365 •Т00 ⁺ 365'Ш0 ⁺ 365 ' Ж^f 365 '100 j = ^493 млн у,.

Пример 4.4. Цена на товар понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравне­нию с первоначальной ценой?

Так как проценты снижения равны г\ = 40% и г₂ = 25%, то индекс снижения г°1 = 0,4 и i₂ = 0,25. Новая стоимость товара со­ставляет (1 - 0,4)(1 - 0,25) = 0,45 или 45% от старой, а поэтому цена товара понизилась на 100 - 45 = 55%.

 

Пример 4.5. За первый месяц цена товара возросла на 25%, а во втором месяце вернулась к прежнему уровню. На сколько про­центов уменьшилась новая цена товара?

Если товар стоил 100 у.е., то после подорожания стал стоить 100(1+0,25) = 125 у.е., а затем, после снижения, стал опять стоить

100

100 у.е., т.е. его цена уменьшилась на 1-^-100% = 20% .

Пример 4.6. За год цена товара в рублях возросла на 500%, а цена того же товара в долларах возросла на 20%. На сколько про­центов изменился курс доллара по отношению к рублю?

Пусть товар стоил Р руб., а стал стоить (6Р) руб., т.е. его сто­имость возросла на 500% или в 6 раз, в долларовом эквиваленте товар стоил И у.е., а стал стоить (1,2 П) у.е. Очевидно, что курс

Р

доллара к рублю до инфляции составлял — , а после инфляции — 6Р 5Р „

у-зд = ~. Следовательно, курс доллара к рублю стал составлять 5 Р

~Л00%

—-------- = 500%, или повысился на 400%.

_Р

Б

4.2.5. Рисри процентных ставок .

Изменение уровня процентных ставок на финансовом рынке влечет колебания в цене обращающихся облигаций, причем по­вышение процентных ставок является причиной понижения цены и убытков держателя облигации. Риск при инвестировании, свя­занный с изменением процентных ставок, называется риском про­центных ставок.

Стоимость любого финансового актива: акции, облигации, физического актива (недвижимости, оборудования) и др. опреде­ляется как текущее значение потока платежей, связанных с этим активом. Для облигаций поток платежей представляет собой обыч­ную ренту, состоящую из выплат купонных процентов и возме­щения номинальной стоимости. И тогда текущая стоимость об­лигации равна текущему значению такой ренты.

Пусть г — текущая рыночная процентная ставка, Р — номи­нальная стоимость облигации, к — купонная процентная ставка,

 

К = Рк — величина купонных платежей, Л — текущая рыночная стоимость облигации, < — срок, одтзщдийся _до цр^ашения обли­гации.

Для вывода формулы текущей рыночной стоимости облига­ций составим диаграмму выплат (рис. 4.3).

Рис. 4.3

Суммируя левый столбец, имеем:

 

„ ^К к

Р,=--- +----- -+ ... +-

(1+0 (1 + 0'

_Р(=Ьо+о1_{к+а+1ГРт}

 

Для того, чтобы эта стоимость была равна номиналу, нужно, чтобы выполнялось равенство:

_р=1-(1 + 0 _{к + (}1 ₊ 1у'_{Р или (1}__{(1 + 1)}-'_{)Р = (1}_₍₁_₁₎-'₎^ I                                «

Отсюда К = Р, или Р, = Рк, т.е. г" = к.

А это означает, что если купонная ставка равна рыночной процентной ставке, то цена облигации равна номиналу.

Для обоснованного выбора облигации недостаточно сравнить данные об их доходности. Необходимо как-то оценить и риск,

который связан со сроком облигации — чем больше срок, тем выше риск. Однако непосредственное сравнение сроков не приве­дет к правильным выводам, поскольку при этом не учитываются особенности распределения доходов во времени. Понятно, что облигации с нулевым купоном более рискованны, чем облигации с периодическими выплатами процентов при одном и том же их сроке. Для характеристики облигаций с точки зрения их риско­ванности применяют средний срок.

Этот показатель обобщает сроки всех выплат по облигации в виде средней взвешенной арифметической величины. В качестве весов берутся суммы выплат. Иначе говоря, чем больше сумма выплаты, тем большее влияние на среднюю оказывает соответ­ствующий срок. Для облигаций с ежегодной оплатой купонов и погашением номинала в конце срока получим:

кРУц+1Р

Т =_________ -__ =_ =—-- / =12 /

ШР+Р 'V ¹'^/>-'>                                                          (4.18)

I

где Т— средний срок;

— сроки платежей по купонам в годах;

5,- — сумма платежа;

I — общий срок облигации.

Учитывая, что для ^ = 1, 2, ... , г

' ~ 2 '

получаем расчетную формулу для среднего срока:

У облигации с выплатой купонного дохода Т< и Из формулы (4.19) следует, что чем больше купонный процент к, тем меньше средний срок. У облигаций с нулевым купоном Т =

Пример 4.7. Облигация со сроком шесть лет, проценты по ко­торой выплачиваются один раз в году по норме 8%, куплена по курсу 95 у.е.

По формуле (4.19) находим средний срок:

6(0,08(6+ 1) +2) 2(0,08-6+1)

В числителе формулы (4.18) показан полный размер кредит­ной услуги по облигации — все ожидаемые поступления умноже­ны на соответствующие сроки. Средний срок указывает на мо­мент в сроке облигации, который уравнивает размеры кредитных услуг. Сумма кредитной услуги до среднего срока равна кредит­ной услуге после этого момента:

5/А =                                                     ,                               (4.20)

где г,, /> — временные интервалы от даты платежа до среднего срока, (/ — платежи, производимые до среднего срока, к — после этого срока).

Следовательно, через 5,19 года размер оказанной кредитной услуги и кредитная услуга для оставшегося срока равны. Анало­гом среднего срока может служить точка равновесия платежей во времени. Отсюда следует, что, чем меньше средний срок, тем ско­рее получает отдачу от облигации ее владелец и, следовательно, меньше риск. Поэтому при сравнении облигаций предпочтение нужно отдавать тем, у которых меньше средний срок.

Пример 4.8. Имеются две 15% купонные облигации сроком 1 год и 10 лет с номинальной стоимостью 1000 у.е.

Рассмотрим рыночную цену облигаций для различных теку­щих рыночных ставок. Для этого воспользуемся формулой (4.17) и результаты вычислений сведем в табл. 4.4.

 

 

Данные табл. 44 изобразим графически на рис. 4.4.

Из рис.4.4 видно, что цена долгосрочной облигации гораздо более чувствительна к изменению рыночной ставки, чем краткос­рочной, так как рыночная цена облигации устанавливается на таком уровне, чтобы доходность облигации была равна текущей рыночной ставке.

2000 --

1500 --

1000 --

500 +- 0

Так, при повышении рыночной ставки с 15% до 20%, владелец 15%-ной купонной облигации теряет 5% от номинала один раз при сроке погашения 1 год, и десять раз при сроке погашения 10 лет. Следовательно, при продаже облигации сразу после повы­шения, ее владелец может рассчитывать только на цену меньше номинала на текущую стоимость будущих убытков.

Так, для облигации со сроком в 1 год текущая стоимость убыт­ков равна:

0,05-1000 50 а для облигации с 10-летним сроком погашения

^{50 50                                  50                     50}                , 0/1 -71 ,   О ЛС

— +-------------- +------ + ... +---- — = 41,67 + 34,72+ ... +8,08 =

В этой сумме первое слагаемое отвечает потерям за первый год, второе — за второй год и последнее — за десятый год. Цена облигации в первом случае равна 1000 - 41,67 = 95,8,33 у.е., а во втором — 1000 - 209,62 = 790,38 у.е.

Таким образом, при прочих равных условиях риск процент­ных ставок выше для облигаций с большим сроком погашения.

Отметим, что хотя риск процентных ставок по краткосрочным облигациям ниже, чем по долгосрочным, но реинвестиционный риск, т.е. риск снижения доходов при реинвестировании, выше как раз для краткосрочных облигаций. Действительно, при пониже­нии рыночной процентной ставки с 15% до 10% доход, получен­ный при погашении 15%-ой купонной облигации со сроком на 1 год, может быть реинвестирован только под 10%, в то время как десятилетняя облигация обеспечивает 15%-ную доходность в те­чение десяти лет, т.е. в первом случае владелец теряет 5% от номи­нала ежегодно.

4.2.6. Процентный риск облигаций

Принято считать, что покупка долгосрочных облигаций Каз­начейства США со сроком обращения свыше 10 лет представляет собой консервативную инвестиционную политику, так как при этом отсутствует риск дефолта. Однако для инвесторов, вложив­ших в них средства, непредсказуемая экономическая среда с ее меняющимися процентными ставками, может принести как боль­шие доходы, так и большие потери.

На рис. 4.5 показана чувствительность цен долгосрочных об­лигаций к изменению процентных ставок. Этот график отражает динамику изменения цен на бескупонные дисконтные облигации со сроком погашения 30 лет и на купонные 8%-ные облигации с аналогичным сроком погашения. Предполагается, что сразу пос­ле их приобретения процентные ставки в экономике отклоняются от своего первоначального значения (8%). Каждая кривая пред­ставляет соответствующий ей тип облигаций. На оси О У нанесе­на шкала, показывающая коэффициент отношения цены облига­ции, рассчитанной исходя из переменного значения процентной ставки, к ее цене, рассчитанной по исходной 8%-ной ставке.

Допустим, что при процентной ставке 8% в год, цена 30-летней купонной облигации с номинальной стоимостью 1000 долл. равна 1000 долл. А уже при 9%-ной ставке ее цена равна 897,26 долл. Та-

ким образом, ртношение цены облигации при 9%-ной ставке к ее

897 26

цене при 8%-ной ставке составит —£—=0,89726 . Поэтому мож-

1000

но сказать, что если бы уровень процентных ставок поднялся с 8% до 9%, цена номинальной облигации упала бы примерно на 10%.

График описывает динамику изменения цен на бескупонные дисконтные облигации со сроком погашения 30 лет и на купонные 8%-ные облигации с аналогичным сроком погашения, если сразу после их приобретения процентные ставки отклонились бы от сво­его первоначального значения (8%). Значения оси О У представля­ют собой отношение цены облигации, вычисленной по рассматри­ваемой процентной ставке к ее цене, рассчитанной по исходной дисконтной 8%-ной ставке. Таким образом, при процентной став­ке 8% соотношение цен для обеих облигаций составляет 1.

С другой стороны, при процентной ставке 8% в год цена 30- летней бескупонной облигации с номинальной стоимостью 1000 долл. равна 99,38 долл., а при 9%-ной ставке ее цена равна 75,37 долл. Таким образом, отношение цены облигации при ставке 9%

75,37

К ее цене при 8%-ной ставке составляет ' = 0,7684. Поэтому

99,Зо

можно сказать, что если бы уровень процентных ставок поднялся с 8% до 9%, то цена бескупонной дисконтной облигации упала бы примерно на 23%.

Так как кривая, описывающая бескупонную дисконтную об­лигацию, более крутая, чем кривая, описывающая купонную об­лигацию, то она более чувствительна к изменению уровня про­центных ставок.