2. Дисперсія і її властивості. Дисперсія має цілу низку математичних властивостей, урахування яких дає змогу суттєво спростити її обчислення.

Властивість 1. Якщо від усіх варіантів відняти будь-яке стале число А, то середній квадрат відхилень від цього не зміниться:

 .

А це означає, що дисперсію можна обчислити не за даними варіантами , а за їх відхиленнями від будь-якого сталого числа.

Властивість 2. Якщо всі значення варіантів поділити на будь-яку сталу І, то дисперсія зменшиться внаслідок цього на І2 разів; а середнє квадратичне відхилення – в І разів:

 

 Властивість 3. Якщо обчислити середній квадрат відхилень від будь-якої величини А, що тією чи іншою мірою відмінна від середньої арифметичної , то він завжди буде більшим за середній квадрат відхилень (дисперсію), обчислений від середньої арифметичної:

 ,

 при чому більший на певне значення – квадрат різниці між середньою і цією величиною, тобто ( -А)2 :

 ;

 звідки

 

Дисперсія від середньої завжди має властивість мінімальності, тобто вона завжди менша від дисперсії, обчисленої від будь-яких інших величин. У цьому разі, коли А прирівняти нулю, то:

 , або .

Отже, дисперсія ознаки, або середній квадрат відхилень дорівнює різниці між середнім квадратом значень ознаки 2 і квадратом середнього значення ознаки ( )2 :

 = 2 – ( )2 .

Цей спосіб розрахунку дисперсії широко використовують у статистичній практиці.

Види дисперсій та правило їх додавання.

Загальна дисперсія, характеризує загальну варіацію ознаки під впливом усіх умов і причин, що зумовили цю варіацію,

 .

Для визначення впливу постійного фактора на розмір варіації потрібно розчленувати всю сукупність на групи та знайти, як зміниться результат під дією чинника, покладеного в основу групування. Для цього попередньо необхідно обчислити для кожної групи середню величину ознаки, групові (часткові) дисперсії, середню з групових та міжгрупову дисперсії.

Групова (часткова)дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки в середині групи від середньої арифметичної відповідної групи. Її можна обчислити як середню просту і як зважену за формулами

 

або спрощеним способом:

 

Ця дисперсія відображає варіацію ознаки лише за рахунок умов і причин , що діють всередині групи.

Середня з групових (часткових) дисперсій – це середня арифметична, зважена з групових дисперсій :

Міжгрупова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх від загальної середньої :

 

 де - міжгрупова дисперсія; - середня кожної окремої групи; Х – загальна середня всієї сукупності; fi – частоти ( ваги).

Міжгрупова дисперсія характеризує варіацію результативної ознаки за рахунок групувальної ознаки.

Між наведеними типами дисперсій існує певне співвідношення : загальна дисперсія дорівнює сумі середньої з групових дисперсій та міжгрупової дисперсії:

 

Це співвідношення називають правилом додавання дисперсії, за яким, знаючи два види дисперсії, можна визначити третій:

 ;

Міжгрупова дисперсія характеризує варіацію групових середніх, спричинену різним кваліфікаційним розрядом у групах. Отже, чим більший внесок міжгрупової дисперсії в загальну дисперсію, тим сильніший вплив групувальної ознаки. У статистичному аналізі широко використовують показник, що виражає частку міжгрупової дисперсії в загальній дисперсії – емпіричний коефіцієнт детермінації,

 .

Корінь квадратний з емпіричного коефіцієнта детермінації називають емпіричним кореляційним відношенням,

 .

Дисперсія альтернативної( якісної) ознаки.

Поряд із показниками варіації кількісної ознаки обчислюють показники альтернативної ознаки. Серед варіаційних ознак часто трапляються такі, варіація яких проявляється в тому, що в одних одиниць сукупності вони є, а в інших – немає. Такі ознаки називають альтернативними, особливість їх полягає в тому , що вони не мають кількісного вираження.

Кількісна варіація альтернативної ознаки дорівнює нулю В одиниць, що не мають цієї ознаки, а В одиниць, що мають цю ознаку – одиниці. Частку одиниць , що має досліджувану ознаку, позначають великою буквою р, а решту, що не має її – q :

p + q = 1,звідки q =1 – p.

Розрахуємо середнє значення альтернативної ознаки та її дисперсію

 

Отже, середнє значення альтернативної ознаки дорівнює частці Р одиниць, що мають цю ознаку.

Обчислимо дисперсію альтернативної ознаки :

 

Отже, дисперсія альтернативної ознаки дорівнює добутку частки одиниць , які мають цю ознаку, на частку одиниць, що її не мають. Корінь квадратний з є середнім квадратичним відхиленням.

Знаючи , що Р+q = 1 , нескладно пересвідчитись, що альтернативної ознаки кількісно не може перевищувати значення