5. Середня гармонійна та умови її застосування

Статистичні середні завжди виражають якісні властивості суспільних явищ і процесів. Під час досліджень важливо правильно вибрати тип середньої, відповідно до природи взаємозв'язків явищ та їх ознак. Поряд із середньою арифметичною в статистичних дослідженнях використовують інші види, зокрема, середню гармонійну.

За своїми властивостями середню гармонійну можна застосовувати тоді, коли загальний обсяг ознаки формується як сума зворотних значень варіантів. У сфері соціально-економічних явищ таке трапляється відносно нечасто. Проте середню гармонійну застосовують у статистиці досить широко: наприклад, коли треба вагу (тобто добуток варіантів на частоту) поділити на варіант, або, що те саме, помножити на обернене їм число. Отже, середня гармонійна величина обернена середній арифметичній, її розраховують із обернених значень ознаки.

Наприклад, розрахунок середніх витрат часу, необхідного для виготовлення однієї деталі в бригаді виробників (токарів), відповідає співвідношенню сумі витрат часу на виготовлення всієї продукції бригадою та кількості виготовлених деталей за цей час.

 Відомо, що бригадою токарів із п'яти чоловік вироблявся за зміну один вид продукції і на її одиницю кожен із них витрачав певний час.

Витрати часу на виготовлення одиниці продукції за зміну

Номер робітника      1        2        3        4        5

Витрати часу на виготовлення

однієї деталі, хв.        12      15      14      16      14

На перший погляд, середні витрати часу на виготовлення однієї деталі можна визначити:

 хв.

Та протягом дня кожен із робітник виготовляв різну кількість деталей і середню витрату часу на виготовлення однієї деталі в бригаді слід визначати за методикою, наведеною вище, тобто діленням загальних витрат часу бригади на кількість виготовлених ними деталей. Якщо відомо, що тривалість зміни становить вісім годин (одна година — 60 хв.), то можна визначити кількість деталей, виготовлених бригадою за цей час:

 хв.

Визначений за формулою середньої арифметичної результат (13,5хв.) не збігається з отриманим за формулою середньої гармонійної (13,3хв.). Останній показник є обґрунтованим і реальним.

Формула середньої гармонійної простої має такий вигляд:

 ,

де — сума зворотних значень варіантів; n — число варіантів.

 Цю формулу використовують у тому разі, коли обсяг явищ, тобто добутки, за кожною ознакою рівні. Якщо ці добутки за кожного ознакою нерівні, використовують середню гармонійну зважену:

 ,

де W — добуток варіанта X на частоту f, звідки ; обернені

З розглянутого випливає загальне правило: середню гармонійну використовують тоді коли вагою слугують не одиниці сукупності (носії ознаки), а добуток цих одиниць на значення ознаки, W=Xf.

З цього правила видно: середня гармонійна в статистиці — це перетворена середня арифметична, яку застосовують у разі, коли чисельність сукупності невідома, а варіанти зважуються обсягом ознаки.