4.Математичні властивості середньої арифметичної і техніка її обчислення
Середня арифметична має цілу низку математичних властивостей , що спрощують її обчислення. Розглянемо найважливіші з них.
1)Добуток середньої на суму частот завжди дорівнює сумі добутку варіантів на частоти, тобто
.
Якщо ліву і праву частини поділити на сталу величину, яка дорівнює , то дістанемо .
2) Якщо від кожного варіанта відняти будь-яке довільне число А, то
,
звідки , де — середня, обчислена з варіантів, зменшених на значення А.
Отже, для визначення середньої величини слід до знайденої зменшеної середньої додати число А, на яке зменшували кожний варіант.
3) Якщо до кожного варіанта додати будь-яке число, то середня збільшиться на це саме число, тобто
,
звідки .
Отже, для визначення середньої величини слід від добутої збільшеної середньої відняти число А, на яке збільшували кожний варіант.
4) Якщо кожний варіант поділити на будь-яке число i, то середня арифметична зменшиться в стільки ж разів, тобто
,
звідки .
Отже, для визначення середньої величини треба знайдену зменшену в iразів середню величину збільшити в iразів.
5) Якщо кожний варіант помножити на будь-яке число /, то середня арифметична збільшується в стільки ж разів, тобто
,
звідки /i.
Отже, для визначення середньої величини треба отриману збільшену в i разів середню величину зменшити в i разів.
6) Якщо всі частоти поділити чи помножити на будь-яке число, то середня арифметична від цього не зміниться.
Ця властивість базується на тому, що частоти при розрахунку середньої арифметичної мають значення ваги не як абсолютні величини, а як питомі ваги, що мають окремі варіанти в усьому варіаційному ряді. Збільшення чи зменшення однаковою мірою частоти в усіх варіантів не змінює питомої ваги кожного окремого варіанта в ряді, тобто
.
7) Сума відхилень варіантів від значення їх середньої завжди дорівнює нулю:
.
Це означає, що в середній арифметичній взаємно погашаються будь-які відхилення варіантів.
Викладені вище властивості середньої арифметичної дають змогу в багатьох випадках суттєво спростити її обчислення.
На підставі другої та четвертої властивостей можна:
• відняти від усіх варіантів стале число, найкраще добрати варіант з найбільшою частотою;
• поділити всі варіанти на стале число, переважно за таке беруть інтервал;
• інколи доцільно частоти виражати в процентах.
Обчислення середньої арифметичної за вказаним способом дістало у статистиці назву способу відліку від умовного нуля, або способу моментів. Його використовують у рядах з рівними інтервалами і розрахункова формула має такий вигляд:
,
де за формулою
обчислюють момент першого порядку.
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 Наверх ↑