2. Дисперсія і її властивості. Дисперсія має цілу низку математичних властивостей, урахування яких дає змогу суттєво спростити її обчислення.
Властивість 1. Якщо від усіх варіантів відняти будь-яке стале число А, то середній квадрат відхилень від цього не зміниться:
.
А це означає, що дисперсію можна обчислити не за даними варіантами , а за їх відхиленнями від будь-якого сталого числа.
Властивість 2. Якщо всі значення варіантів поділити на будь-яку сталу І, то дисперсія зменшиться внаслідок цього на І2 разів; а середнє квадратичне відхилення – в І разів:
Властивість 3. Якщо обчислити середній квадрат відхилень від будь-якої величини А, що тією чи іншою мірою відмінна від середньої арифметичної , то він завжди буде більшим за середній квадрат відхилень (дисперсію), обчислений від середньої арифметичної:
,
при чому більший на певне значення – квадрат різниці між середньою і цією величиною, тобто ( -А)2 :
;
звідки
Дисперсія від середньої завжди має властивість мінімальності, тобто вона завжди менша від дисперсії, обчисленої від будь-яких інших величин. У цьому разі, коли А прирівняти нулю, то:
, або .
Отже, дисперсія ознаки, або середній квадрат відхилень дорівнює різниці між середнім квадратом значень ознаки 2 і квадратом середнього значення ознаки ( )2 :
= 2 – ( )2 .
Цей спосіб розрахунку дисперсії широко використовують у статистичній практиці.
Види дисперсій та правило їх додавання.
Загальна дисперсія, характеризує загальну варіацію ознаки під впливом усіх умов і причин, що зумовили цю варіацію,
.
Для визначення впливу постійного фактора на розмір варіації потрібно розчленувати всю сукупність на групи та знайти, як зміниться результат під дією чинника, покладеного в основу групування. Для цього попередньо необхідно обчислити для кожної групи середню величину ознаки, групові (часткові) дисперсії, середню з групових та міжгрупову дисперсії.
Групова (часткова)дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки в середині групи від середньої арифметичної відповідної групи. Її можна обчислити як середню просту і як зважену за формулами
або спрощеним способом:
Ця дисперсія відображає варіацію ознаки лише за рахунок умов і причин , що діють всередині групи.
Середня з групових (часткових) дисперсій – це середня арифметична, зважена з групових дисперсій :
Міжгрупова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх від загальної середньої :
де - міжгрупова дисперсія; - середня кожної окремої групи; Х – загальна середня всієї сукупності; fi – частоти ( ваги).
Міжгрупова дисперсія характеризує варіацію результативної ознаки за рахунок групувальної ознаки.
Між наведеними типами дисперсій існує певне співвідношення : загальна дисперсія дорівнює сумі середньої з групових дисперсій та міжгрупової дисперсії:
Це співвідношення називають правилом додавання дисперсії, за яким, знаючи два види дисперсії, можна визначити третій:
;
Міжгрупова дисперсія характеризує варіацію групових середніх, спричинену різним кваліфікаційним розрядом у групах. Отже, чим більший внесок міжгрупової дисперсії в загальну дисперсію, тим сильніший вплив групувальної ознаки. У статистичному аналізі широко використовують показник, що виражає частку міжгрупової дисперсії в загальній дисперсії – емпіричний коефіцієнт детермінації,
.
Корінь квадратний з емпіричного коефіцієнта детермінації називають емпіричним кореляційним відношенням,
.
Дисперсія альтернативної( якісної) ознаки.
Поряд із показниками варіації кількісної ознаки обчислюють показники альтернативної ознаки. Серед варіаційних ознак часто трапляються такі, варіація яких проявляється в тому, що в одних одиниць сукупності вони є, а в інших – немає. Такі ознаки називають альтернативними, особливість їх полягає в тому , що вони не мають кількісного вираження.
Кількісна варіація альтернативної ознаки дорівнює нулю В одиниць, що не мають цієї ознаки, а В одиниць, що мають цю ознаку – одиниці. Частку одиниць , що має досліджувану ознаку, позначають великою буквою р, а решту, що не має її – q :
p + q = 1,звідки q =1 – p.
Розрахуємо середнє значення альтернативної ознаки та її дисперсію
Отже, середнє значення альтернативної ознаки дорівнює частці Р одиниць, що мають цю ознаку.
Обчислимо дисперсію альтернативної ознаки :
Отже, дисперсія альтернативної ознаки дорівнює добутку частки одиниць , які мають цю ознаку, на частку одиниць, що її не мають. Корінь квадратний з є середнім квадратичним відхиленням.
Знаючи , що Р+q = 1 , нескладно пересвідчитись, що альтернативної ознаки кількісно не може перевищувати значення
25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 Наверх ↑